1.5 全称量词与存在量词-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语收出9 1.5全称量词与存在量词 重点和难点 课标要求 重点：全称量词和存在量词的意义：使用存在量词对全称 通过本节的学习，学生要在理解全称量词与存 量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题 在量词的意义的基础上，正确地使用存在量词对全 进行否定 称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命 难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假，正确地 题进行否定，认识到全称量词命题的否定是存在量词 写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命 命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律 题的否定 01必备知识梳理一。 基础梳理 知识点1全称量词与全称量词命题 园敲黑板 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称 1,全称量词所表示的数量 量词，并用符号“”表示 可能是有限的，也可能是无限 全称量词命题：含有全称量词的命题，叫作全称量词命题 的.如“所有的属于集合A (1,3)或集合B=2,4}的元素 符号语言：通常，将含有变量x的语句用p(x),g(x),r(x),… 构成了集合AUB=1,2,3, 表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中 4}”,其中全称量词“所有的”只 任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为Hx∈M,p(x). 含有4个元素：“所有的属于集 [注意]全称量词命题就是陈述某集合所有元素都县有某种 合A={x一1≤x≤1}或集合 性质的命题，有些命题省去全称量词，但仍为全称量词命题.如 B={x|1≤r≤3}的元素构成 “正方形都是矩形”省去了全称量词“所有的” 了集合AUB={x|一1≤x 3}”,其中“所有的”是指集合 知识点2存在量词与存在量词命题 (x-1≤≤3)中的无数个数. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作 2.一个全称量词命题通 存在量词，用符号“3”表示 常可以有多种不同的等价叙 存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题 述方式，例如，命题“对任意的 符号语言：存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立” 实数x,x是非负数”可以叙 述为“对所有的（或对任意一 可用符号简记为3x∈M,p(x). 个，或对每一个)实数x,x是 [注意](1)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个” 非负数” “对某些”“有的”等 3.一个全称量词命题可 (2)含有存在量词“存在”“有一个”等，或虽没有写出存在量 以包含多个变量.例如，对任 词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题，都是存在量词 意x∈R,y∈R,都有(x十 命题 y)(x-y)>0. 33 国避食手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) (3)同一个全称量词命题、存在量词命题，由于自然语言的不 同，可以有不同的表述方法.现列表总结如下： 全称量词命题 存在量词命题 “Hx∈M,p(.x)” “3x∈M,p(x)” ①对所有的x∈M,p(x)成立 ①存在x∈M,使p(,x)成立 ②对一切的x∈M,p(x)成立 ②至少有一个x∈M,使(x)成立 述 ③对每一个x∈M,p(x)成立 ③对有些x∈M,p(x)成立 法 ④任选一个x∈M,p(.x)成立 ④对某个x∈M,p(.x)成立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使p(x)成立 国敲黑板 重难拓展 全称命题：Hx∈M,p(x) 重难点1含有一个量词命题的否定 的否定为：3x∈M,一p(x). 命题 Vx∈M,p(x) 3x∈M,p(x) 这里的研究对象的集合M不 命题的否定 3x∈M,p(.x) Hx∈M,p(.x) 变，只是把“V”玫成“3” 全称量词命题的否定是存在存在量词命题的否定是全称 例如：Hx∈{x1<x< 结论 量词命题 量词命题 3),x2-5x十4>0的否定是： 注：通常，我们用符号“一p(x)”表示“p(x)不成立” 3x∈{x|1<x<3},x2 例1写出下列命题的否定， 5.x十4≤0，而不是：3x氏{x (1)Hx∈R,2x+4>0.(2)3x,y∈N,2x+y=10. 1<x3},.x2-5.x+4≤0. 解析(1)这是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题， 里记方法 即3x∈R,2.x十4<0. 写全称量词命题与存在 (2)这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题， 量词命题的否定的思路 即Hx,y∈N,2x十y≠10. 在写全称量词命题与存 例2写出下列命题的否定. 在量词命题的否定时，一定要 (1)所有的矩形都是平行四边形. 抓住决定命题性质的量词，从 (2)有些实数的绝对值是正数。 量词入手来写命题的否定，全 称量词命题的否定是存在量 点拨(1)是全称量词命题，(2)是存在量词命题. 词命题，存在量词命题的否定 解析(1)的否定是：存在一个矩形不是平行四边形. 是全称量词命题， (2)的否定是：任何实数的绝对值都不是正数或Hx∈R,x≤0. 口02-关建能力提升-。 题型方法 是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明 题型1全称量词命题与存在量词命题真假 (x)都成立.如果在集合M中找到一个元素 的判断 x,使得p(x)不成立，那么这个全称量词命题 1.要判定全称量词命题“Hx∈M,p(x)” 就是假命题. 34 第-章集合与常用逻辑用语么9 2.要判定存在量词命题“3x∈M,p(x)” 题型2含有一个量词命题的否定 是真命题，只需在集合M中找到一个元素x, 例④写出下列命题的否定，并判断其真假. 使p(x)成立即可.如果在集合M中，使p(x) (1)p:每一个素数都是奇数： 成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题 (2)p:有些实数的绝对值是正数. 就是假命题 (3)p:某些平行四边形是菱形. 例③判断下列命题的真假。 解析(1)由于全称量词“每一个”的否定 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数 为“存在一个”，因此，一：存在一个素数不是 对(，y)都对应一点P. 奇数，是真命题. (2)每一条线段的长度都能用正有理数来 (2)由于存在量词“有些”的否定为“所 表示 有”，因此，一：所有实数的绝对值都不是正 (3)存在一个实数x,使得x2+x十8=0成立 数，是假命题， (4)Vx∈{xl1<x<3,x2-5x-1<0. (3)由于存在量词“某些”的否定为“每一 解析(1)是真命题. 个”，因此，一p:每一个平行四边形都不是菱 (2)是假命题.如边长为1的正方形，其对 形，是假命题， 角线的长度为√2，不能用正有理数表示。 点评全称量词命题与存在量词命题之所 (3)是假命题.因为方程x十x+8=0的 以有区别，是因为构成这两种命题的量词不 判别式△=一31<0，故方程无实数解. 同，可以发现，全称量词与存在量词正好构成 (4)是真命题， 了意义相反的表述，如：“对所有…都成立” 方法一当x=1时，有1一5-1<0. 与“至少有一个…不成立”，“都有”与“不都 当x=3时，有9-15-1<0. 有”等 又抛物线y=x2-5.x一1开口向上，由图 ◆变式1写出下列命题的否定，并判断其 象知对于1<x<3,都有x2-5.x-1<0. 真假 方法二由x2-5.x-1=0,得x (1)p:Hx∈R,x2-x+4≥0. 5±√29 2 (2)4:所有的正方形都是矩形. (3)r:3a,b∈R,a2+ab+<0. 2-5x-1<0的解集为x5=2四 2 (4)s:至少有一个实数x,使x3十1=0. r5+29 题型3全称量词命题与存在量词命题中的 2 含参问题 又x1<x<3)cx5-2四<< 2 例5已知：x∈R,x2+2x十a≥0， 5+29 q:3x∈R,x2+2a.x十2-a=0.若p和g都是 2 真命题，则实数a的取值范围为( 原命题为真命题 A.{aa≤-2或a=1 35 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) B.{aa≤-2或1≤a≤2 a>0在x∈{x1<x<4}上有解. C.{aa≥1} 由x2-4.x-2-a>0得2十a<x2-4x D.{al-2a≤1 .2十ax2-4x在x∈{x1<r4}上有解， 点拨已知p,q都是真命题，先将p,q对 .2+a<(x2-4x)mmx 应的参数范国求出来，再求交集即可，对于p, 又x2-4x=(x-2)2-4,x∈{x1<x4}. 表示函数y=x2十2.x十a的图象在x轴上方 .当x=4时，(x2-4x)mx=0, (包括顶点在x轴上的情况)，只需△≤0：对于 ∴.2+a<0,.a<-2. q,表示方程x2+2a.x十2一a=0有解，即△>≥0. 方法二p:Vx∈{x1<x<4},x2 解析已知p为真命题，且y=x2十2.x十a 4x-2-a≤0. 的图象开口向上，对x∈R,有x2十2x十a>0, 设y=x2-4x-2-a 即y的图象与x轴有1个交，点或没有交点，即 ,抛物线y=x2一4x一2一u的开口向上， △=？-4ac=4-4a≤0，所以a≥1.已知g为 .当一p为真命题时，有x=1时，y≤0， 真命题，即x2十2a.x十2一a=0有实数根，则 1-4-2-a≤0. x=4时，y≤0，即 △=(2a)2-4×1X(2-4)≥0，解得a≤-2或 16-4×4-2-a≤0. a≥l.因为b和q都是真命题，所以Q≥1，即实 ∴a≥-2. 数a的取值范围为{aa≥1}，故选C 所以当一p为假命题，即p为真命题时， 答案C 有a<-2. 例⑥若对于一切x∈R且x≠0，都有x> 点评全称量词“”表示任意一个，指的 a.x,求实数a的取值范围. 是在指定范围内的恒成立问题，而存在量词 “]”表示存在一个，指的是在指定范围内的有 解析若x>0,由x>ax得a<工=1： 解问题.求参数取值范围是一类重要的题型， 若x<0,由x>ax得a>=-1 通常利用分离参数法或判别式法求解 易错警示 若对于一切x∈R且x≠0，都有x>a.x 则实数a的取值范围是{a一1<a<1. ◆易错题7（错误率25%）已知命题p: ●变式2若命题“3x∈R,使得x2十mx十 存在一个实数x,使得x一x一2<0，那么 2m一3<0”为假命题，则实数m的取值范围是 p为 易错题8（错误率37%）写出下列命 例☑已知命题p:“3x∈{x|1<x<4}使 题的否定， 得不等式x2一4x一2-a>0成立”是真命题， (1)能被5整除的数，末位是0. 求实数a的取值范围. (2)能被3整除的数，也能被4整除 [解析方法一由题设知x2一4x一2 参考答案见《全书易错题集》第2页 36 第一章集合与常用运辑用语么出9 03-核心素养聚堪一。 考向分类 考向2含有量词命题的否定 考向1全称量词命题与存在量词命题真假 例9(2016·浙江卷)命题“Vx∈R, 的判断 3n∈N”,使得n≥x2”的否定形式是( 例⑧（经典·江西卷）下列叙述中正确的 A.Vx∈R,3n∈N”,使得nx 是(). B.Vx∈R,Vn∈N°，使得n<x C.3x∈R,3n∈N,使得<x A.若a,b,c∈R,则a.x2十bx十c≥0”的充 D.3x∈R,Hn∈N”,使得<x 分条件是“2-4ac≤0” 解析]将“”改写为“彐”，“3”改写为 B.若a,b,c∈R,则“ab>cb”的充要条件 “V”,再否定结论可得，命题的否定为“了x∈ 是“a>c” R.n∈N,使得n<x2” C.命题“对任意x∈R,有x≥0”的否定是 答案D “存在x∈R,有x2≥0” 命题意图：考查含有全称（存在）量词命题 D.l是一条直线，a,3是两个不同的平面， 命题规律 的否定 若a,lLB,则a∥B 真题探源：教材P29例3 解析由一4ac≤0推不出ar2十br十 常考题型 选填题难度系数0.9 高考热度 ★★ c≥0，所以A不正确：当？=0时，由a>c推不 核心素养 逻辩推理 素养水平水平 出a>cb,所以B不正确；“对任意x∈R,有 口题演练 x>0”的否定是“存在x∈R,使x<0”,所以 1.(经典·全国1卷，考向2)设命题： C不正确：易知D正确（此部分内容为后面将 3n∈N,n>2,则p为( 要学习的知识). A.Hn∈N,n>2 B.3n∈N,2≤2 [答案D C.Hn∈N,n2≤2" D.3n∈N,n2=2 2.(经典·重庆卷，考向2)命题“对任意 命题意图：将充分条件、必要条件的概念 x∈R,都有x≥0”的否定为(). 命题规律 与全称量词命题真假的判断综合在一起 考查 A.存在x∈R,使得x<0 真题探源：教材P31习题1.5第1、3题 B.对任意x∈R,都有x2<0 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ C.存在x∈R,使得x≥0 核心素养 逻辑推理 素养水平水平 D.不存在x∈R,使得x<0 37即方程x2+2a.x+2a十b-1=0的两个根为2和3， m.r十2m-3<0”的否定为“Vx∈R,使得x2+mx+ 5 1-2a=5, a=-21 2m一30”， 根据韦达定理有 2a+b-1=6, 解得 因为命题了x∈R,使得2十十2m-3<0"为假命题， b=12. 则“Hx∈R,使得x2十m.x十2m一3≥≥0”为真命题， 14.若1-3<1.则2<r≤1： 所以△=2一4(2m一3)0，解得2m≤6. 若x2-(2a+1)x+a(a十1)≤0，则a≤r≤a+1. 则实数m的取值范围是2≤m≤6. 真题演练答案 :p是q的充分不必要条件， L.C提示：命题p是一个存在量词命题，其否定是全称 a+1≥1， 量词命题“Vn∈N,r≤2”. 1 即0<a≤2，故实数a的取值范围是0<a≤2 2.A提示：根据定义可知命题的否定为“存在xo∈R,使 15.先证明条件的充分性： 得<0”. :/0≥2， 练习册答案 ∴.a2≥4b,∴.4=4(d-b)>0, b≤4， A基础过关练 方程有实数根。 L1.B提示：A的否定：所有实数的绝对值都不是正数，假 设方程的两个实数根为，， 命题：B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题： :/a≥2. 1-2a≤-4， C的否定：有些等边三角形不相似，假命题： ① b≤4， -4≤≤4， D的否定：3不是方程x2一9=0的一个根，假命题. .(-2)十(2-2)=（十2）-4=-2a-4≤ 2.D提示：原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个 -4一4=-8<0， 能被2整除的整数不是偶数” 而(.x1-2)(2-2)=x1xa-2(x十)十4=b+4a十 3.3x<0,使得(1十x)(1一9x)>0 4≥-4+8十4=8>0， 4.存在量问命题：假：Hx∈R,x+2x十5≥0：真， 1(x1一2)+(x2一2)<0， 0<2, 提示：因为2+2.x+5=(x+1)2+4>0恒成立， ② (.4-2)(.a-2)>0, 2 所以命题p是假命题，一p是真命题. 由①②知“α≥2且b≤4”是“方程有实数根，且两个 5.(1)假命题，因为只有x=2或x=3时才满足- 根均小于2”的充分条件. 5x+6=0. C拓展拔高练 (2)假命题，因为不存在实数x,使x2+1=0成立. 1.D提示：取a,b,c分别为1,1,2，另取A,B,C分别为 (3)真命题，因为存在正整数2和4，使2+4=20. 1,1,3,则ax2+bx+c≥0与Ax2+Bx+C≥0的解集 B综合提能练 相同，都为R而只-合≠气： 1.B提示：对于A,:0<3,0∈Z,∴A为真命题，但 不是全称量词命题. 取a.b.c分别为1,1，一1，另取A,B,C分别为-1，-1， 对于B.:a2+f-2(a十b-1)=(a-1)+(6-1)≥0， 1.则片-合-名，而ar+缸+c≥0与A+B+ ,B为真命题，也是全称量词命题 C≥0的解集不同. 对于C,可知它为真命题，但不是全称量词命题。 1.5全称量词与存在量词 对于D,它是全称量词命题，但为假命题， 2.B提示：x2十2r十3=0的△=一8<0，故方程无实根。 变式训练答案 即3x∈R,x2+2x+3=0错误，故A错误 [变式1]①)p:3x∈Rd-x+}<0.假命题， x>1台.x<-1或x>1,故“x>1”是“x>1"的充分不 (2)一g:至少存在一个正方形不是矩形.假命题， 必要条件，故B正确. (3)r:Va,bER,a2+ab十≥0.真命题. 当x≤1时，≤2，故Hx∈N,x2>x2错误，故C错误. (4)s:Hx∈R,x十1≠0.假命题 若a=1,b=一1，则a>b.但a2=,故D错误 [变式2]2≤m≤6.提示：命题“3x∈R,使得2十3.B提示：该命题是一个存在量词命题，于是“存在”否 -9正解，“a≤≤d十1”是”一2≤≤5”的充分不必要条件. 易错探因本题容易犯的错误是忽略命题中隐含的量 .(xa≤x≤a2+1){x|-2≤r≤5. 词，例如常会误认为命题(1)的否定是“能被5整除的 又a2+1-a=(a-)）'+>0, 数，末位不是0”：误认为命题(2)的否定是“能被3整除 的数不能被4整除”，它们忽略了(1)(2)都属于全称量 ,.十1>a恒成立. 词命题，其否定不能只否定结论. /公2 但等号不能同时成立. a2+1≤5， 误区9误用不等式的性质 a≥-2， 由 得-2≤a≤2. 易错题9（错误率30%）已知1a-2且2a十b≤ a2+1≤5 4,求4a一2b的取值范围。 当a=-2时，a≤xra+1等价于-2≤x≤5，不符合 正解令a十b=,a一b=,则2≤≤4，l≤≤2 题意： a=utv 当a=2时，a≤r≤a+1等价于2≤r≤5，符合题意. a+b=, 2 由 整理得 .-2<a≤2. la-b=v, b=uv 答案-2<a≤2 2 易错探因由于本题是充分不必要条件，所以容易误认 4a-2h=4.”-2.=24+2+w=+3. 2 2 为等号都不能取. 2≤u≤4,3≤3≤6， 误区7混淆含有量词的命题的否定 .5≤+3≤10，即5≤4a-2b≤10. ,.4a一2b的取值范围为5≤4a一2≤10. 易错题7（错误率25%）已知命题p:存在一个实数x, 易错探因同向不等式的两边可以相加减，但是这种转 使得x一x-2<0,那么7p为 化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转 正解一p:对任意的实数x,都有x2一x一20. 化，就有可能扩大所求代数式的取值范围.所以选用不 易错探因本题易产生如下错解： 等式的性质求解代数式的取值范围时务必小心谨慎。 错解一：7p为“存在一个实数x,使得x2一x一2≥0” 错解二：一p为“对任意的实数x,都有x产一x一2<0” 误区10忽略不等式的性质成立的条件 错解三：一p为“Vx任R,使得x2一x一2≥0” 易错题10（错误率42%）给出下列命题： 该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题，错 解一得到的一力仍是存在量词命题，显然只对结论进 ①若a<b.c<0,则后<斤： 行了否定，而没有将存在量词改为全称量词：错解二只 ②若ac>x.则a>b: 将存在量词改为全称量词，而没有对结论进行否定：错 ⑧若a>b且k∈N,则a>∥： 解三对命题的适用范围也进行了否定， ④若>a>b>0.则“。>白 误区8忽略命题中隐含的量词 其中正确命题的序号是 易错题8（错误率37%）写出下列命题的否定. 正解①当a<0时，台<云不成立，故①不正确： (1)能被5整除的数，末位是0. ②当c<0时，a<b,故②不正确： (2)能被3整除的数，也能被4整除 ③当a=1,b=一2，k=2时，命题不成立，故③不正确： 正解(1)省略了全称量词“任意一个”，命题的否定为 ①a>b>0→-a<一b0→0<c-a<c-b, “有些可以被5整除的数，末位不是0” 两边同乘以。一一而得0<。十。 (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为“存在一个 能被3整除的数，不能被4整除”. 又>>0，。>产0放④正确 2