1.4 充分条件与必要条件-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语》么 1.4充分条件与必要条件 重点和难点 课标要求 重点：充分条件、必要条件和充要条件的 通过本节的学习，学生能理解这三个常用逻辑用语的意义， 意义 会辨析充分不必要条件、必要不充分条件，充要条件和既不充分 难点：对必要条件的意义，充要条件与教学 又不必要条件，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必 定义之间的关系的理解 要条件的关系，数学定义与充要条件的关系 01必备知识梳理，一 母础梳理 知识点1充分条件与必要条件 般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出 同敲黑板 q,这时，我们就说，由p可以推出q,记作p→q,并且说，p是qg的 对充分条件与必要条件的理解 充分条作，9是p的必要条作. L,p是g的充分条件说 如果“若p,则g”为假命题，那么由条件p不能推出结论q,记 明了p→q,而9是p的必要 作p力q,此时，我们就说p不是q的充分条件，9不是p的必要 条件也说明了p→g,所以p 条件。 是q的充分条件与g是p的 必要条件表述的是同一个逻 知识点2充要条件 辑关系，只是说法不同.而P 将命题“若p,则g”中的条件p和结论q互换，就得到一个新 是q的充分条件只反映了p→ 的命题“若9，则p”,称这个命题为原命题的逆命题 g,与q能否推出p没有任何 一般地，如果既有p→q,又有q→p,就记作p台g,此时，我们 关系 说p是q的充分必要条件，简称充要条作 2.注意以下等价的表述形式： 条件p与结论g的关系 结论 (1)p→g. (2)P是q的充分条件. →g,且中p 中是？的充分不必要条件 (3)q的充分条件是p, q→p,且ppg p是q的必要不充分条件 (4)q是p的必要条件. (5)p的必要条件是q: p→q,且→p,即=g p是q的充要条件 p→q,且g中p p是q的既不充分也不必要条件 重难拓展 重难点】从集合的角度看充分、必要条件 下表为从集合A={xp(x)}与集合B={xg(x)}之间的包 含关系推导出的p与g之间的关系. 27 重避点手圆高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 关系 图示 结论 同敲黑板 A兵B p是q的充分不必要条件 对充要条件的理解 1.如果p是q的充要条 BSA p是q的必要不充分条件 件，那么9也是p的充要条 件，也就是说，如果p仁g,那 A=B （A(B) p是q的充要条件 么p与日互为充要条件. A庄B且 2.“p是9的充要条件” AB或AB BA p是q的既不充分也不必要条件 也可以说成“p与q是等价 刷目(2024·山东泰安四中月考)若a∈R,则“a=2”是“(a 的”“p成立当且仅当g成立” “q成立当且仅当p成立”等. -1)(a-2)=0”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 解析“a=2”可以看成集合A={2},“(a一1)(a-2)=0”的 解集为B=1,2. .'AB, ∴.“a=2”是“(a一1)(a一2)=0”的充分不必要条件. 答案A 重难点2充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 冒敲黑板 1.定义法 用集合判断充分、必要 (1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论， 条件的适用范围 (2)找推式：判断“p→g”及“g→p”的真假. 当所要研究的p,q含有 (3)根据推式及条件得出结论。 变量，即涉及方程的解集，不 2.集合法 等式的解集，或者与集合有 写出集合A={xp(x)}及B={xg(x)},利用集合间的包含 关，或所描迷的对象可以用集 关系进行判断. 合来表示时，可以借助集合间 3.传递法 的包含关系，利用Venn图或 若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推 数轴解题. 式图，根据图中推式的传递性进行判断. 4.特殊值法 对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条 件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题 例2已知p,g都是r的必要条件，s是r的充分条件，g是s 的充分条件.那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ [点拨本题主要考查对充分条件、必要条件及充要条件的判 断，可将已知p,q,r,s的关系用“→”作图表示（如图1.4-1所示）. 28 第一章集合与常用逻辑用语收出9 s今r→p 你↓ 图1.4-1 解析(1)q→5，→→9，即s台q,∴s是g的充要条件. (2)→g,→→r,.r是q的充要条件. (3):q→→r→p,p是q的必要条件. 口02-关建能力提升。 题型方法 D.既不充分也不必要条件 题型1充分、必要条件的判断 (2)(2024·上海浦东新区高一检测)已知x, 例3(2022·黄冈中学期末)填空： y∈R,则“x>1或>1”是“x十>2”的(. (1)p:x2-2x-3<0,9:x>3,则p是q A.充要条件 的 条件。 B.充分不必要条件 (2)p:平行四边形，q:正方形，则q是p的 C.必要不充分条件 条件 D.既不充分也不必要条件 解析令A={xp(x)},B={xg(x). 解析(1)当？一4ac<0时，函数y= (1)设A={xx2-2x-3<0}={x-1< a.x2十bx十c的图象与x轴没有交点，当a<0 x<3},B={x|x>3}={xx>3或x<-3. 时，函数图象恒在x轴下方，所以不是充分条 由图1.4-2可知A车B,且B中A, 件；当函数y=a.x十bx十c的图象恒在x轴上 所以饣是？的既不充分也不必要条件 a>0, 方时，则 所以一4ac<0成 △=-4ac<0, B 正方形)A 平行四边形 立.因此是必要条件。 -3-1 图1.42 图1.4-3 (2)方法一设集合A={(x,y)x>1或 (2)由图1.4-3可知BA,所以q是p的 y>1},集合B={(x,y)x+y>2}, 充分不必要条件 在直角坐标系中分别作出集合A和B中 答案(1)既不充分也不必要. 的元素形成的区域，如图1.4-4所示.由图可 知BA.故为必要不充分条件. (2)充分不必要 例4(1)已知a,b,c∈R且a≠0，则“ 4ac<0”是“函数y=a.x2十bx十c的图象恒在 x轴上方”的( A.充分不必要条件 图1.4-4 B.必要不充分条件 方法二设集合A={(x,y)x>1或y>1}, C.充要条件 B={(x,y)x十y>2},全集为U. 29 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 则CA={(x,y)|x≤1且y≤1}，CB= 件是m≥2. (x,y)|x+y≤2. 必要性：因为x2十m.x十1=0有两个负实 当x≤1且y≤1时，x十y≤2成立， 根，设两根为x1,x2,且x1x2=1, 当x=3,y=-4时，满足x十y≤2， △=m-40, [m2或≤-2， 所以 但x≤1且y≤1不成立， +x2=-0,>0, 所以CA军CB,即B丢A.故为必要不充 所以m≥2， 分条件 即x2十mx十1=0有两个负实根的必要条 答泰(1)B(2)C 件是m≥2. ●变式1(2022·湖南联考题改编)（多选） 综上可知，关于x的方程x2十mx十1=0 下面给出的命题中为真命题的是(). 有两个负实根的充要条件是m≥2， A.“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件 点评分清题中的充分性和必要性，充分 B.设a,b∈R,则“(a-b)a2>0”是“a>b” 性：条件→结论，题中的条件为m≥2，结论为 的必要不充分条件 方程x十mx十1=0有两个负实数根，故证明 C.“x>2”是使不等式“x2一3.x+2>0”成 充分性是由m≥2→关于x的方程x2十mx十1 立的一个充分不必要条件 =0有两个负实根，证明条件的必要性是关于x D使不等式“-1<x<号”成立的一个必 的方程x2十mx十1=0有两个负实根→m≥2. 要不充分条件是“一3<x<1” 例B已知ab≠0，求证：a+b=1是a3+ ◆变式2(2022·广东中山期中)设U为 6+ab一a2一=0的充要条件。 全集，MU,NCU,则“M二CN”是“M∩N= 证明充分性：，a十b=1,∴.b=1一a. 必”的( ). ∴.a3+b+ab-a2- A.充分不必要条件 =a3+(1-u)3+a(1-a)-a2-(1-a)9 B.必要不充分条件 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a-1+ C.充要条件 2a-a2 D.既不充分也不必要条件 =0 题型2充要条件的证明 即a3+b+ab-a2-=0. 例固求证：关于x的方程x2十m.x十1=0 必要性：，"a3十b+ab-a2一=0， 有两个负实根的充要条件是≥2. ,.(a+b)(a2-ab+)-(a2-ab+形)=0. 证明充分性：因为m≥2， ∴.(a2-ab+2)(a+b-1)=0. 所以△=m2-4≥0， 又，'ab≠0，.a≠0且b≠0 所以方程x2十m.x十1=0有实根. 设两根为x1,x2, a-ab+=a-2)+6>0, 由根与系数的关系知x1x2=1>0, ..a十b-1=0..a+b=1. 所以x1x2同号 综上可知，当ab≠0时，a十b=1是a3十 文x1十x2=一m≤-2<0， 6十ab一a一？=0的充要条件 所以1,2同为负数， ◆变式3证明一元二次方程a.x2十br十 即x2十m.x十1=0有两个负实根的充分条c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 30 第一章集合与常用泛辑用语么 题型3利用充分、必要条件确定参数的取 例8求使方程a.x2+2.x十1=0至少有 值范围 个负实根的充要条件。 例☑已知全集U=R,非空集合A=x 解析当a=0时，x=一 2,符合题意： 当a≠0时，若方程两根一正一负（没有零根）， 2号0，B=a-ax-d-2)<0. A>0, 则 (1)当a=2时求(uB)UA 1∠0 解得4<0；若方程两根均负，则 (2)条件p:x∈A,条件q:x∈B,若q是p △0， 的必要不充分条件，求实数α的取值范围， 2<0,解得0<a<1 解析(1)：当a=2时，A={x2<x< 70 3,B=2x< 综上所述，充要条件是a≤1. 小结探求充要条件的方法 (0uB)UA={r≤2或>2。 方法一（必要性先行法）先由结论寻找 (2)A={x2<x<3}, 使之成立的条件，再由条件来推证结论成立， a+2)-a=(a-}+星>0， 要保证必要性和充分性都成立. 方法二（等价转化法）先由结论出发，寻 .a2+2>a, 找使之成主的等价条件.若要分类，要不重不 .B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}={xl 漏地分析每一种情况。 a<xa2+2} 易错攀示 又，g是p的必要不充分条件， ◆易错题5（错误率42%）使不等式2x gp且g为p,.AB, 一5.x一3≥0成立的一个充分不必要条件是 a≤2， a≤2， a2+2≥3. a2≥1. A.x≥0 B.x<0或x>2 解得a≤-1或1≤a≤2. C.x∈{-1,3,5} 故实数a的取值范国为{aa≤一1或1≤ D.x≤-2或x≥3 a≤2. ◆易错题6（错误率32%）(2023·湖南 ◆变式4已知集合A={xx2-3x+2 名校第二次联考)已知“a≤x≤a十1”是 0},B={xx2一m.x十2=0}，若条件p:x∈A “一2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a 是条件q:x∈B的必要不充分条件，求实数m 的取值范围是 的取值范围。 参考答案见《全书易错题集》第1页 31 重避点手圆高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 03-核心素养聚基一。 考向分类 真团演练 考向1充要条件的判定 1.(2020·天津卷，考向1)设a∈R,则 例日(2023·天津卷)“a2=2”是“a2+ “a>1”是“a2>a”"的( ). 2=2ab”的( A.充分不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析若a2=,不妨设a=1,b=一1，显 2.(2019·天津卷，考向1)设x∈R,则 然有12=(-1)2， “x2-5.x<0”是“|x一1<1”的(). 但12+（一1）≠2×1×（一1） A.充分不必要条件 所以a2=a2+b=2ab. B.必要不充分条件 若a2十=2ab,则(a-b)2=0,故a=b,显 然有a2= C.充要条件 所以a2+b=2ab=→a2=b D.既不充分也不必要条件 综上，“a2=b”是“a2十=2ab”的必要不 3.(2016·四川卷，考向1)设p:实数x,y 充分条件 满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x十y>2, 答案B 则p是g的( 命题意图：考查充分条件、必要条件的综 A.充分不必要条件 命题规律合应用 真题深源：教材P21例3(3) B.必要不充分条件 常考题型选择题难度系数0,9 高考热度 ★★ C.充要条件 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 D.既不充分也不必要条件 32C-COA-COB. 分条件，所以BA AUBUCI=IA+BI+ICI-IANBI-IBOCI- 根据集合中元素的个数对集合B进行分类， 1CnA+lA∩BnC. 讨论：B=⑦，B={1}或B={2. ∴证明原不等式等价于证明号(A十B卧十1C)≥ 当B=⑦时，方程x一x十2=0无实数解，△=2 8<0,解得-22<m<2√2： |A∩B+|BnC+CnA, 当B=〈1}或B={2)时， 而A+B+|C=A'I+|B1+|C+21A∩B+ 21BOCI+2ICOAI. 14=0, 无解 1一m+2=0或4-2m十2=0 (Al+B+ICD-IAnBI-IBNCI-ICNAI- 综上所述，m的取值范围为一22<m<2√2. 合A1+B+C'≥0.即名A+1B+C)≥ 真题演练答案 L.A提示：若a>1,不等式两边同乘以a,则a2>a,故 |A∩B+BnC+CnA,故原不等式得证. “a>1”是“a>a"的充分条件。 (2)当A'=B=C=时取等号.如A=1,21.B 若a=-1,显然有（一1）2>一1，即满足a2>a,但不满 (2,3},C=(1,3}. 足a>1,所以“a>1”不是“a2>a”的必要条件 1.4充分条件与必要条件 2.B提示：x2-5x<0,∴.0<x<5. 变式训练答案 lx-1<1,∴0<<2. [变式1]ACD提示：：ab≠0等价于a≠0且b≠0， ,“x-5x<0“是“x一1<1"的必要不充分条件 .“ab≠0”能推出“a≠0”，故A正确. 3.A提示：若r>1且y>1,则有x十y>2成立，所以 ,(a-b)a2>0等价于a>b且a≠0， =g:由x+y>2不能得到x>1且y>1,即gp.所 .“(a一b)a>0”"能推出“a>b”:反之不成立，故B错误 以p是9的充分不必要条件. ,x-3x十2>0的解集为.xx>2或x<1,而xx> 练习册答案 2}(xx>2或<1}， A基础过关练 ∴.“x>2”能推出“x2-3x+2>0”,故C正确. 1.B2.A :{-1<}-3<<1, 3.B提示：由x≠1，可令x=2,则有x-3x+2=0,故 .“-1<<2”能推出-3<r<1”,故D正确， “x≠1"不是“x-3x十2≠0”的充分条件：反过来，若 x2-3x+2≠0→r≠1且x≠2，有x≠1.故“x≠1”是 [变式2]C提示：，MCCN,NnN=, “x2一3x+2≠0”的必要条件。 .MnN=⑦，.充分性成立.当M门N=时， 4.A提示：已知a>0,b>0: ,M□U,NU,.M仁CN,.必要性成立 充分性：若alb>1,(a-b)2≥0，.a2+F≥2ab, [变式3]充分性：”a<0,∴.A=-4ac>0, ∴.(a十b)≥4ab,∴.(a十b)>4,∴a+b>2. .方程ax2+bx十c=0有两个根，设为x, 必要性：若a十b>2,则当a=3,b=号时，ab=1. “0=后<0， ∴.必要性不成立 ∴.一元二次方程a十b十c=0有一个正根和个负根. 因此“a山>1”是“a十b>2”的充分不必要条件 必要性：：一元二次方程a.x2十r十c=0有一个正根 和一个负根， 5.壹6>.提示：A=x>2,B=xbm>1 na=台<0.iuc<0 :A=B,6=2 综上所述，“一元二次方程ax十bx十c=0有一个正根 (2)若A是B的充分不必要条件，则>0，且方<2， 和一个负根”的充要条件是“a0” [变式4]由已知得A=1,2},因为p是q的必要不充 7则a十3<-5或a十1≥4，解得a<-8或a≥3. 误区1忽略集合中元素的互异性 答案{aa<-8或a≥3l. 易错题1（错误率30%）已知集合A是由a一2,2a2+ 易错探因求解过程中容易忽略等号能否成立，得到α十 5a,12三个元素组成的集合，且一3∈A,则实数a的值 3一5或a十1≥4，解得a≤一8或a>3. 为(). 事实上，在求出a≤一8或a≥3后也可以直接将端点 值回代，看是否符合题意，进而进行适当取舍即可.当 A.-1 R一号 a=一8时，不符合题意，舍去：当a=3时，符合题意.故 C.-1或-3 n-1或号 正确结果应为{aa<一8或a≥3. 正解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 误区4忽略空集的特殊性 解得a=-1或a=一号 易错题4（错误率35%）已知A={x∈Rx<一2或x> 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足元素 3},B={x∈Ra≤x≤2a-1.若AUB=A,求实数a 的取值范围 的互异性： 正解AUB=A,.B二A 当a=-号时一2 ,2m十5u=-3,符合题意. 7 1a≤2a-1. a≤2a-1, ①当B≠时， 或 解得a>3: 所以a= 3 2a-1<-2(3<a. ②当B=☑时，由a>2a一1，解得a<1. 答案B 综上所述，实数a的取值范围是a<1或a>3. 易错探因本题易忽略集合中元素的互异性，在解得α 易错探因⑦有两个独特的性质：(1)对于任意集合A, 的值后要代回检验： 皆有A∩必=0：(2)对于任意集合A,皆有AU0= A.因此，如果A∩B=②，就要考虑集合A或B可能是 误区2忽略对二次项系数的讨论 ☑：如果AUB=A.就要考虑集合B可能是心. 易错题2（错误牵41%）若集合A={x十2x十2=0 误区5混淆充分条件与必要条件 中有两个元素，则实数m的取值范围为 正解由题意得n≠0且△=22一4m×2>0, 易错题5（错误率42%）使不等式2r-5x-3≥0成立 解得m<之且m≠0 的一个充分不必要条件是(). A.x≥0 B.x<0或x>2 答案m<受且m≠0， C,x∈{-1,3,5} DK-7或≥3 易错探因忽略对二次项系数的讨论，直接使用判别式 正解由于不等式2x2-5.x-3≥0的解为r≥3或x≤ 误区3没有验证取值范围的边界处 1 一2，所以8有x5一1.3,5是使不等式22-5x 易错题3（错误幸36%）(2024·武汉期未)已知集合 30成立的一个充分不必要条件 A={xx≥4或x<-5},B={xa+1≤x≤a+3,a∈ 答案C 易错探因本题在正解中的画波浪线处容易因颜倒了充 R},若B二A,则a的取值范围为 分性和必要性而误选B. 正解利用数轴法表示B二A,如图所示， 误区6忽略对端点值的检验 A a-1a+3-5 0 易错题6（错误率32%）(2023·湖南名校第二次联考) 已知“a≤x≤a2+1”是“一2≤x≤5”的充分不必要条 A 4a+1u+33 件，则实数a的取值范围是 1 正解，“a≤≤d十1”是”一2≤≤5”的充分不必要条件. 易错探因本题容易犯的错误是忽略命题中隐含的量 .(xa≤x≤a2+1){x|-2≤r≤5. 词，例如常会误认为命题(1)的否定是“能被5整除的 又a2+1-a=(a-)）'+>0, 数，末位不是0”：误认为命题(2)的否定是“能被3整除 的数不能被4整除”，它们忽略了(1)(2)都属于全称量 ,.十1>a恒成立. 词命题，其否定不能只否定结论. /公2 但等号不能同时成立. a2+1≤5， 误区9误用不等式的性质 a≥-2， 由 得-2≤a≤2. 易错题9（错误率30%）已知1a-2且2a十b≤ a2+1≤5 4,求4a一2b的取值范围。 当a=-2时，a≤xra+1等价于-2≤x≤5，不符合 正解令a十b=,a一b=,则2≤≤4，l≤≤2 题意： a=utv 当a=2时，a≤r≤a+1等价于2≤r≤5，符合题意. a+b=, 2 由 整理得 .-2<a≤2. la-b=v, b=uv 答案-2<a≤2 2 易错探因由于本题是充分不必要条件，所以容易误认 4a-2h=4.”-2.=24+2+w=+3. 2 2 为等号都不能取. 2≤u≤4,3≤3≤6， 误区7混淆含有量词的命题的否定 .5≤+3≤10，即5≤4a-2b≤10. ,.4a一2b的取值范围为5≤4a一2≤10. 易错题7（错误率25%）已知命题p:存在一个实数x, 易错探因同向不等式的两边可以相加减，但是这种转 使得x一x-2<0,那么7p为 化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转 正解一p:对任意的实数x,都有x2一x一20. 化，就有可能扩大所求代数式的取值范围.所以选用不 易错探因本题易产生如下错解： 等式的性质求解代数式的取值范围时务必小心谨慎。 错解一：7p为“存在一个实数x,使得x2一x一2≥0” 错解二：一p为“对任意的实数x,都有x产一x一2<0” 误区10忽略不等式的性质成立的条件 错解三：一p为“Vx任R,使得x2一x一2≥0” 易错题10（错误率42%）给出下列命题： 该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题，错 解一得到的一力仍是存在量词命题，显然只对结论进 ①若a<b.c<0,则后<斤： 行了否定，而没有将存在量词改为全称量词：错解二只 ②若ac>x.则a>b: 将存在量词改为全称量词，而没有对结论进行否定：错 ⑧若a>b且k∈N,则a>∥： 解三对命题的适用范围也进行了否定， ④若>a>b>0.则“。>白 误区8忽略命题中隐含的量词 其中正确命题的序号是 易错题8（错误率37%）写出下列命题的否定. 正解①当a<0时，台<云不成立，故①不正确： (1)能被5整除的数，末位是0. ②当c<0时，a<b,故②不正确： (2)能被3整除的数，也能被4整除 ③当a=1,b=一2，k=2时，命题不成立，故③不正确： 正解(1)省略了全称量词“任意一个”，命题的否定为 ①a>b>0→-a<一b0→0<c-a<c-b, “有些可以被5整除的数，末位不是0” 两边同乘以。一一而得0<。十。 (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为“存在一个 能被3整除的数，不能被4整除”. 又>>0，。>产0放④正确 2