1.3 集合的基本运算-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手细高中数学必修第一册（上）尺A(浙江专用) 1.3 集合的基本运算 重点和难点 课标要求 重点：并集与交集的含义，用集合语言表达 本节的主要内容是研究集合的基本运算.通过本节的学习， 数学对象或数学内容。 学生能掌握集合的基本运算，会用三种语言（自然语言、符号语 难点：补集的含义 言，图形语言)表达数学研究对象，并能进行转换 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1并集 1,并集的概念 国敲黑板 对并集含义的理解 自然 殷地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为 语言 集合A与B的并集，记作AUB(读作“A并B”) L.AUB仍是一个集合， 由所有属于集合A或属于集 符号 AUB={xx∈A或x∈B 合B的元素组成 语言 2.“或”的数学内涵如 图1.3-1所示. xEA或xEB A(3) 图形 (1)A=B=AUB-B(2)B年A→AUB-A(3)A=B=AUB-A=B 语言 ① x∈A月xB∈AHr∈Bx∈B月：民A 图1.3-1 (4)A与B有公共元素，4，不包含 (5)A与B无公共元素 3.定义中的“或”字与日常 生活中所说的“或”字有所不 2.并集的性质 同.例如，日常生活中说“由甲 性质 含义 或乙去完成这件工作”往往指 AUB=BUA 两个集合的并集满足交换律 只去一人即可，而并集定义中 的“或”的含义还包括两人 AUA=A 任何集合与其本身的并集等于集合本身 都去 AU0=②UA=A 任何集合与空集的并集等于集合本身 4.集合A,B中的相同元 AC(AUB), 任何集合都是该集合与另一集合的并集的子集 素在AUB中只出现一次，即 BC(AUB) 满足集合中元素的互异性. 若ACB,则AUB 任何集合与它的子集的并集等于集合本身 =B,反之也成立 16 第-章集合与常用泛辑用语么出 知识点2交集 1.交集的概念 冒敲黑板 对交集含义的理解 自然 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为 1.交集中的“且”指的是 语言A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 用“且”连接的几个条件必须 符号 同时满足 语言 A∩B={xx∈A且x∈B 2.对于“A∩B={xx∈ A且x∈B)”,它不仅表示 “A∩B中的任意元素都是A A A(I3) 与B的公共元素”，同时还表 示“集合A与B的公共元素 (1)A至B=A∩B=A(2)B年A→A∩B=B(3)A=B→A∩B=A=B 图形 都属于A∩B”.这就是定义中 A∩B 语言 “所有”二字的含义，而不是 “部分”公共元素，如A={1, 2,3,4},B={2,3,4,5,则 (4)A与B相交（有公共元素. (5)A与B分离.A∩B(无共公 互不包？》 元索) A∩B=〈2,3,4，即2∈An B.3∈A∩B,4∈A∩B. 2.交集的性质 3.当集合A与B没有公 共元素时，不能说A与B没 性质 含义 有交集，而是A∩B=必. A∩B=BnA 两个集合的交集满足交换律 A∩A=A 一个集合与其本身的交集是其本身 A∩0=0∩A=0 一个集合与空集的交集是空集 (A∩B)二A, 两个集合的交集是其中任一集合的子集 (A∩B)CB 若A二B,则A∩B=A, 一个集合与其子集的交集是其子集 反之也成立 若A=B,则A∩B=A 若两个集合相等，则它们的交集是其本身 (或A∩B=B) 若A与B无公共元素， 无公共元素的两个集合的交集是空集 则A∩B=0 3.集合的运算律 结合律：(1)A∩(B∩C)-(A∩B)∩C. (2)AU(BUC)=(AUB)UC. 分配律：(3)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C). (4)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC). 17 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) 知识点3全集与补集 1.全集 冒敲黑板 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元 对补集含义的理解 素，那么就称这个集合为全集，通常记作U, 1.补集既是集合之间的一 全集不是固定不变的，它是依据具体问题来选择的.例如，在 种关系，同时也是集合之间的 研究数集时，通常把实数集R看成全集；在立体几何中，三维空间 一种运算.求集合A的补集的 可以看作一个全集，这时平面就是全集的一个子集：而在平面几 前提是“A是全集U的子集”， 集合A其实是给定的条件. 何中，整个平面可以看作一个全集。 2.补集CA是针对给定 2.补集 的集合A和U(ACU)而言的 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集 一个相对概念，一个确定的集 自然 合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 语言 合A.对于不同的集合U,它 CoA 的补集不同.如集合A={正 符号 方形}，当集合U={菱形}时， CA={xx∈U且xEA 语言 CA=〈有一个内角不等于 90°的菱形)，而当集合U 图形 {矩形}时，CA={邻边不相 语言 等的矩形 3.CA表示U为全集时A 3.全集与补集的性质 的补集.如果全集换成其他集 合（如B)时，则符号中的U”必 性质 含义 须换成相应的集合，即CA. A∩C:A=O 一个集合与其补集的交集是空集 4.若x∈U.AU,则x∈ AU CA=U 一个集合与其补集的并集是全集 A且xECA,或x∈CA且 Cu(CA)=A 一个集合的补集的补集是其本身 xA.如U={1,2,3,4,5}, A=(1,2,3},CA={4,5},则 CU=☑ 全集的补集是空集 有2∈A且2ECA,或5∈CA C=U 空集的补集是全集 且5GA. 重难拓展 重难点1德·摩根(De Morgan)定律 设集合U为全集，A,B为U的子集，则有 (1)(AnB)=(CA)U(GB). (2)C(AUB)=(CA)(CB). 这一结论被称为德·摩根定律。 下面用图形解释： (1)C(A∩B)=(CA)U(CB),利用Venn图表示为如 图1.3-2所示的阴影部分. 18 第一章集合与常用逻辑用语么9 U U AO AOD AOB A∩B CLA CB OB AOB C(AOB) (CA)U (CB) 图1.32 (2)Cu(AUB)=(CuA)∩(CB),利用Venn图表示为如 图1.3-3所示的阴影部分. U U A○B AK○B OR AUB CA C.B OR AOD C.(AUB) (CAn(B 图1.3-3 例①已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7, 8},求A∩B,AUB,(CA)∩(CuB),A∩(CeB),(CA)UB. 点拨本题考查集合的混合运算，是一题多解问题.可利用通 法，分别求出A∩B,AUB,CA,CB后再求解，也可以利用性质 或Venn图求解. 解折方法-A∩B={4},AUB={3,4,5,7,8). GA={1,2,6,7,8},CeB={1,2,3,5,6 ∴.(CA)∩(CuB)=1,2,6},A∩(CB)=(3,5,(CA)U B={1,2,4,6,7,8 方法二A∩B,AUB,A∩(CB)的求法同方法一，然后利 用德·摩根定律求解 (CA)∩(CB)=C(AUB)={1,2,6}, (CA)UB=C:(A∩(CuB)=1,2,4,6,7,8. 方法三画出Venn图，如图1.3-4所示. 3.5 7.8 .2.6 图1.3-4 由图可得A∩B={4},AUB=3,4,5,7,8}, 19 国避食手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) (CA)∩(CB)=1,2,6},A∩(CuB)={3,5}, (CA)UB={1,2.4,6,7,8 重难点2集合运算中的元素个数问题 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问 题，常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用card表示有限 集合元素的个数，即card(A)表示有限集A的元素个数，则有如 下结论： (1)card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AB). (2)card (AUBUC)=card (A)+card (B)+card (C)- card(A∩B)-card(A∩C)-card(BnC)+card(A∩B∩C). 这一结论在计数上称为容斥原理 下面用Venn图来解释以上两个结论. 对结论(1)： 如图1.3-5所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素 个数：②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数：③表示A∩B 区域里的元素个数 ① 图1.3-5 则card(AUB)表示A和B区域里一共有的不同的元素个 数，即card(AUB)=①+②+③； card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)= ①+③： card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)= ②+③. 注意到card(A)+card(B)-card(A∩B)=(①十③)+（②+ ③)一③=①十②+③=card(AUB),则结论(1)得证. 对结论(2)： 如图1.3-6所示，card(AUBUC)表示A,B,C中所含不同 元素的总个数，而card(A)+crd(B)+card(C)中A∩B,A∩C, B∩C区域里的元素个数分别出现两次，故应分别减去一次.又 card(A∩B∩C)在card(A∩B),card(A∩C),card(B∩C)中各出 现一次，即出现三次，但又已被减去三次，故需再加上 故有结论：card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C) card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 20 第一章集合与常用逻辑用语么9 ANB A B AnBnC BnC C 图1.3-6 例2(2023·福州调考)某班举行数理化竞赛，每人至少参加 一科竞赛.已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人， 参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科竞赛的有10人， 参加物理、化学两科竞赛的有7人，参加数学、化学两科竞赛的有 11人，而参加数、理，化三科竞赛的有4人，则全班人数为 解析设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分 别为A,B,C 由题意可知，集合A,B,C中的元素个数分别为27,25,27，集 合A∩B,B∩C,A∩C,A∩B∩C中的元素个数分别为10,7,11,4. 画出Venn图，如图1.3-7所示. 10 12 13 图1.3-7 故全班人数为10+13+12+6+4+7+3=55. 答案55. 02关建能力提升。 题型方法 整数}={1,2,3,4,5,6,7,8,9 题型1集合的运算 (CA)∩B=1,3},(CB)∩A=(2,4,8, 例B全集U=《x|x是不大于9的正整 .{1,3}CB,{2,4,8}二A. 数}，A,B都是U的子集，(CA)∩B={1,3}, .(CA)∩(CB)=Cu(AUB)={6,9}, (CB)∩A=(2,4,8),(CA)∩(CB)={6, .AUB={1,2,3,4,5,7,8 9},求集合A,B. 1,3A,2,4,8B 解析]方法一U={xx是不大于9的正 .A∩B={5,7}. 21 国雕手细高中数学必修第一（上）A(浙江专用】 .A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}. 由图1.3-10可知，AUB=A台AB. 方法二U={xx是不大于9的正整数) B ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},且(CA)∩B={1,3} (CB)∩A={2,4,8},(CA)∩(CB) 图1.3-9 图1.3-10 C(AUB)={6,9},作出Venn图，如图1.3-8. ◆变式2已知集合A={x4x2-11ax十8劭= 0}和B={xx2-a.x+b=0},满足(CRA)∩B= 2.4.85. 1.3 (2},A∩(CkB)={4},求实数a,b的值 6.9 题型2集合的综合运算 图1.3-8 例固已知集合A={x:x≤-1或x≥5}， A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}. 集合B={x2a≤x≤a十2}. ◆变式1(2022·重庆南开中学高一测 (1)若a=-1,求A∩B和AUB. 试)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子 (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. 集，且A∩B={3},(CB)∩A={9},则A 解析(1)若a=一1.则B={x一2≤x≤1， () .A∩B={x|-2≤x≤-1}，AUB={x A.{1,3} B.{3,7,9} x≤1或x≥5}. C.{3.5,9} D.{3,9 (2)A∩B=B,.BCA. 例④设A={-3,4},B={xx2一2a.x十 ①若B=0,则2a>a十2，.a>2: b=0},B≠⑦且A∩B=B,求a,b的值. ②若B≠心，存在两种情况（如图1.3-11）， 解析，A∩B=B,.B二A. a≤2， a≤2， 又，A={一3,4}且B≠⑦， 则 或 ∴.a≤-3. a十2≤-1 2a≥5， .B={一3}或{4}或{-3,4}. 若B={-3}, 2a+2-1 i 2a a+? 2a=-3+(-3), a=-3, 则 即 图1.3-11 b=-3×(-3), b=9. 综上，实数a的取值范围为{a|a>2或 2a=4十4，a=4, 若B={4},则 即 a≤-3}. b=4×4,b=16. 小结(1)注意空集的特殊性 若B={-3,4}, ①若B二A,则应分成B=⑦和B≠⑦两类 2a=-3+4, .1 进行讨论， 则 即 b=-3×4, b=-12. ②若A∩B=0,则集合A,B可能的情况有： A,B均为空集；A与B中只有一个空集： a=-3, [a=4, 1 综上所述， 或 或 A,B虽然均为非空集合，但无公共元素 1b=9 b=16 1b=-12. (2)注意结合数轴分析端点值的大小 小结集合间的关系与集合的运算的重要 ◆变式3设集合M={x|-2<x<5}, 性质： N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若MUN= 由图1.3-9可知，A∩B=A台ACB: M,求实数t的取值范围 22 第一章集合与常用逻辑用语么9 题型3集合中补集思想的应用 162-4(3-4a)<0, 例6(2023·成都重点中学高一联考)若 慰(a-1P-4d<0,解得-<a<-1. 集合A={xa.x2+3.x十2=0}中至多有1个元 42+8<0. 素，则实数a的取值范围为 D=a-<a<-1 解析假设集合A中含有2个元素，即 ∴.满足三个方程至少有一个有实根的a的 a.x2十3.x十2=0有两个不相等的实数根，则 取值范国为D的补集，即aa≤-是或a>-l。 a≠0， △=9-8a>0 解得a<号且a≠0，此时实数a ◆变式4集合A={xx2-2x+9-a=0}, 的取值范国是aa<号且a≠0 B={xax2一4x十1=0，a≠0}，若集合A,B中 至少有一个非空集合，求实数a的取值范围， 在全集U=R中，集合aa<号且a≠0 题型4集合中的新定义运算问题 例⑧设M和P是两个非空集合，规定 的补集是aa≥8或a=0,所以满足题意的 M一P={xx∈M且x廷P}.根据这一规定， 计算M一(M一P)等于(). 实教a的取值范周是aa>g或a=0。 A.M B.P 香案{aa>≥8或a=0小. C.MUP D.M∩P 解析由M一P={xx∈M且x在P}台 例⑦(2024·成都诊断)若三个关于x的 M-P=M∩(CP)(U为全集)，得M-(M 方程x2+4a.x-4a十3=0，x2+(a-1).x十a2= P)=M-[M∩(CP)]=M∩{C[M∩ 0,x2十2ax一2a=0中至少有一个方程有实根， (GP)])=Mn[(CoM)U Co(CoP)]=Mn 求实数a的取值范围。 [(CM)UP]=[M∩(CM)]U(M∩P)= 解析]方法一若方程x2十4a.x一4a十 U(M∩P)=M∩P.故选D. 3=0有实根，则△=16a2-4(3-4a)>≥0， 答亲D 解得A=aa≥2或a≤-多引： 点评本题还可利用Venn图来求解，这种 方法比较简单、直观 若x2十(a一1)x十a2=0有实根，则△ 例日(2024·佛山调研)对于集合A,B, (a-1)2-4a≥0， 我们把集合{(a,b)a∈A,b∈B)记作A×B. 解得B=a-l<a≤3 例如，A=1,2},B={3,4},则有 若x2+2a.x-2a=0有实根，则△=4a2+ A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}, 8a≥0，解得C={aa≥0或a≤-2. B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, 综上所述，满足题意的α的取值范围是 A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}, B×B={(3,3).(3,4),(4,3),(4,4)}. AUBUC=-aa≤-2或a>-1: 据此回答下列问题： 方法二假设已知的三个方程都无实根， (1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D a的取值范围为集合D. (2)已知M×N={(1,2),(2,2)},求集合 23 国雕手细高中数学必修第一册（上）亿A(浙江专用) M.N. 元素，则A×B中元素的个数为3×4=12. (3)若A中有3个元素，B中有4个元素， ●变式5设集合M={女m≤r≤m+: 试确定A×B中有几个元素. 点拨由这里的新定义集合及示例可知， N=女n-名<<，且M,N都是集合 集合AXB就是从集合A,B中各取一个元素 0≤x≤1}的子集.如果把b一a叫作集合{x a,b,由a,b组成的有序元素对(a,b)所组成的 a≤x≤b,a,b∈R}的“长度”，那么集合M∩N 集合 的“长度”的最小值是( ). 解析(1)CXD={(a,1),(a,2),(a,3). (2)M×N=〈(1,2)，(2,2)}， B号 清 .M={1,2},N={2. 易错警示 (3)从以上解题过程中可以看出，A×B中 ◆易错题4（错误率35%）已知A= 元素的个数与集合A和B中的元素个数有关， {x∈R|x<-2或x>3},B={x∈Ra≤ 即集合A中的每一个元素与B中的每一个元 x≤2a一1}.若AUB=A,求实数a的取值 素对应后，得到AXB中的元素，若A中有m个 元素，B中有n个元素，则AXB中的元素个数 范围。 应为mXn.故若A中有3个元素，B中有4个 参考答案见《全书易错题集》第1页 03核地泰养聚选二。 考向分类 B.{xx=3k-1,k∈Z 考向1集合的基本运算 C.{xx=3k-2,k∈Z 例10(2023·新高考全国1卷)已知集 D.0 合M={-2,-1,0,1,2},N={xx2-x-6≥ 解析集合A表示被3除余1的整数，集 0},则M∩N=( ) 合B表示被3除余2的整数，则AUB表示被 A.{-2,-1.0,1} B.{0,1.2 3除余1或2的整数，AUB的补集表示能被3 C.{-2} D.{2 整除的数 解析，N={xx2-x-6≥0}={x|x 答案 A -2或x≥3}， 命题意图：考查集合的运算 .M∩N={-2. 命题规律 真题探源：教材P12例2、P13例6和P14 习题1,3中第4题 答案C 例11(2023·全国甲卷)设集合A={x 常考题型选择题难度系数0,9高考热度★★★ x=3k+1,k∈Z},B={xlx=3k十2，k∈Z},U 核心素养 数学运算 素养水平水平 为整数集，则C(AUB)=(). 者向2由集合运算确定参数 A.{xx=3k,k∈Z 例12(2020·全国I卷)设集合A={x 24 第一章集合与常用逻辑用语么 x2-4≤0}，B={x2x十a≤0}，且A∩B={x {1,b,b,b},有4个元素： -2≤x≤1}，则a=(). 当台=b时，=ab,所以台 =a,即b= A.-4 B.-2C.2 D.4 a2(a≠1)，此时S={a,a,a3},T={a3,a, [解析易知A={x一2≤x≤2}，B={xx≤ a},所以SUT={a,a2,a2,a,a5},有5个元 -号}，因为AnB={x-2≤x≤1.所以 个素.故排除CD. ②当S中有4个元素时，设S={a,b,c, 一号-1，解得a=-2 d},a<b<cd,所以abac<ad<bdl<cd,且 答案B {ab.ac,ad,bd,cd}ST,所以e<4<bd 命题意图：考查两个集合的交集 命题规律真題探源：教材P14习题1.3第1题的拓 品且器器=5所以%=a器-6 ab 展应用 常考题型选择题难度系数0.8 高考热度 c,cd=d,所以b=d2,c=a,d=a(a≠1. ★★ ab "ab 核心素养 此时S={a,a2,a3,a},T={a3,a4,a,a8,a}, 数学运算、直观想象 素养水平水平 所以SUT={a,a2,a3,a,a,a5,a},有7个元 考问3集合中元素的个数问题 素，故选A 例13(2020·浙江卷)设集合S,T,S□ [答案A N",T三N',S,T中至少有2个元素，且S,T 满足： 命题意图：以集合为载体，考查学生的逻 命题规律 辑推理能力 ①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T: 真题探源：教材P10并集与PI5集合中元 素的个数的综合应用 ②对于任意的，y∈T,若x<y,则兰∈S 常考题型选择题难度系数0.5 高考热度★★ 下列命题正确的是() 核心素养 逻排推理、数据分析 素养水平水平三 A.若S有4个元素，则SUT有7个元素 真题演练 B.若S有4个元素，则SUT有6个元素 1.(2022·新高考全国I卷)若集合M= C.若S有3个元素，则SUT有5个元素 D.若S有3个元素，则SUT有4个元素 {xWx<4},N={x|3.x≥1}，则M∩N= 解析①当S中有3个元素时，设S={a, b,c,a<bc,则{ab,be,acST,所以2∈S, A.{x0≤x<2 B{3<<2 bes.ces. C.{x|3≤x<16} n3<<16 2.(2021·全国乙卷)已知集合S={ss= 当=c时，a=1,所以5=b,即c=,此 2m+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则 时S={1,b,},T={b,b,b},所以SUT= S∩T=(). 255.B提示：(x1≤x≤5}C{x∈Rx2-4r≤a十2}， ②当a>0时A={女<r<}月 ∴.x2-4.x≤a十2在x∈(x1≤r≤5}上恒成立. 令y=x2-4r=(x-2)2-4, 1≥-1 当x=5时，y=5, ,A二B,如图1所示， ..a≥2. 21 ∴.5≤a+2,∴.a≥3. 6.90.提示：P={-1,1.3,5,71, ,集合P的含有3个元素的子集个数有10个，即k=10. 图2 在这10个子集中，P中每个元素都出现了6次， .S。+S+…+S=6×(-1+1+3+5+7)=6×15 ③当a<0时A={女吕<<} =90. 7.≥1.提示：集合A=(x∈R1.x-4≤2}={x2≤ A二B,如图2所示， ∴a≤-2. x≤6，若集合B为空集，则2a>a十3，即a>3时满足 2 题意：若集合B不为空集，可得2a≤a十3，即a≤3， 综上可知，所求实数a的取值范围为{aa=0或a≥2 2a≥2， 由BA得 解得1≤a≤3. 或a≤-21. a十3≤6， C拓展拔高练 综合两种情况可知a≥1. 1.C提示：元素和为8的子集A有8}，{1,7}，{2.6}， 8.(1)集合A={1.-1}, 3,5},{1,2,5),{1,3,4},共6个. 若B=(11,根据韦达定理可知a=1+1=2,b=1: 2.C提示：方程x2-3x一a+2=0的根的判别式△= 若B={-1,则a=-1+(-1)=-2,b=1: 1+4>0,方程有两个不相等的实数根，故M中有 若B=(-1,1},则a=-1+1=0,b=-1×1=-1. 2个元素，所以集合M的子集的个数为2=4. (2)集合A={1,-1}, 1.3集合的基本运算 -1∈C,若1∈C,则2m+1=1或m=1. 变式训练答案 经检验，m≠一1，故m=0或m=1. [变式1门D提示：方法一由已知条件得3∈A,9∈A, 9.①任取∈A,即=12m十81，m,n∈Z 若5∈A,则5￠B(否则5∈A∩B), 当m,n同奇或同偶时，A=20m十16×”，”： 从而5∈CB,则(CB)∩A=(5,9}, 2 与题中条件矛盾，故5EA. 当m,1一奇一偶时，=20(m一2)+16×着二m十5 同理，1EA,7A,故A={3,9. 2 方法二A=A∩(BUB) :m,n∈乙，.”2∈Z弘m,n同奇或同偶). =(A∩B)U(A∩CB) 且”一十5∈m,m一奇一偶. ={3}U(9={3,9. 2 [变式2]由条件(CRA)∩B={2}和A∩(CRB)={4 a=20p+16gp,q∈Z,∈B,ACB. 知2∈B,但2EA,4∈A,但4EB. ②任取e∈B,即2=20p+16q,p,q∈Z, 将x=2和x=4分别代入， ∴.=12p+8(p+2g). 14-2a+b=0. 得方程组 p,qeZ,.p+2g∈Z, 16-11a+2b=0. .=12m十8n,m,n∈Z, 解得。=号6=一号，检验成立，即为所求。 ∴.∈A,∴.BCA [变式3]由MUV=M得NCM, 由(1)(2)可知A=B. 故当N=☑时，有21+1≤2-t, 10.:B={x一1<x<1,而集合A与a的取值范围有关 ①当a=0时，A=必，显然A二B. 即≤子时，MUN=M成立. 2-1<21+1, 故有x十2=60，x十y十=96，y+=82, 当N≠时，由图可得 21+1≤5. 解得g<<2 解得x=46. 2-t≥-2， 练习册答案 A基础过关练 22- 2+15e 1.A2.C3.C4.C 综上可知，所求实数1的取值范围是≤2 [变式4]对于A,由△=4-4(9-a)<0,解得a<8: 5.Bn(CA).提示：由图可知C=Bn(CA). 对于B,由△=16一4a<0,解得a>4. 3气 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集， 6.{0}. 提示：：A={xx2十x=0}={0,-1}, 所以a的取值范围是{aa≥8或a≤4，且a≠0. .A∩B=0,-1}∩{xx≥0}=01 [变式5]C提示：由题意可知，集合M,N都是由数轴 7.由A∩B=必可知： 上0一1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图 (1)若A=0,有2a>a+3,即a>3. 所示).且集合M.N的长度”分别为子，了因此要使 (2)若A≠⑦，如图所示. M门N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可 38「 知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最 2a≥-1， 少，所以所求最小值为十号-1= ∴a+35,解得-名<a<2 2a≤a十3， 综上所述，a的取值范围是-号<a≤2或u>3, B综合提能练 真题演练答案 1.B 1D提示：M=(x0≤r<16.N={x≥号}故 2.B提示：设100名携带药品出国的旅游者组成全集1， 其中带感冒药的人组成集合A,带胃药的人组成集合 MN-(16) B.设既携带感冒药又携带胃药的人数为x,则仅携带 感冒的人数为75一x,仅携带胃药的人数为80一x 2C提示：集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被 由图可知75一x+x十80一2≤100 4除余1的整数组成的集合，所以T二S,则S∩T=工 所以x≥55，故最少人数是55. 3.B提示：：B={xx-1≤1}={x-1≤x-1≤1}= {x0x2).A={-1,1,2,4},.A∩B=1,2}. 75- 80- B 4C提示：，A∩B=1,∴.1∈B,即1-4十m=0, 解得m=3,∴.方程为x2-4x+3=0,解得x=1或 3.C提示：M-N=(1,2,3.N-M=(7,8.9.10, x=3,.B=(1,3} ∴.M©N=(M-N)U(N-M0=1,2,3,7,8,9,10. 5.1.提示：A∩B=1,1∈B, ,∴.M©N中元素的个数为7. .a=1或a2+3=1. 4.D提示：U=AUB中有m个元素，(CA)U(CB) 又a为实数，a=1. C(A∩B)中有n个元素， 6.C提示：设只喜欢足球的百分比为x%,只喜欢游泳 A∩B中有m一n个元素. 的百分比为y%,两个项目都喜欢的百分比为%，如 5.{2,3,5,7}:{1,2,3,8}. 图所示 提示：由(CA)∩B=(1,8)知1∈B,8∈B: 由(CA)∩(CB)=C(AUB)=4,6.9知4.6,9EA,且 足球 游泳 4.6,9任B 由A∩B=2,3知2,3是集合A与B的公共元素。则a十3<-5或a十1≥4，解得a<-8或a≥3. 误区1忽略集合中元素的互异性 答案{aa<-8或a≥3l. 易错题1（错误率30%）已知集合A是由a一2,2a2+ 易错探因求解过程中容易忽略等号能否成立，得到α十 5a,12三个元素组成的集合，且一3∈A,则实数a的值 3一5或a十1≥4，解得a≤一8或a>3. 为(). 事实上，在求出a≤一8或a≥3后也可以直接将端点 值回代，看是否符合题意，进而进行适当取舍即可.当 A.-1 R一号 a=一8时，不符合题意，舍去：当a=3时，符合题意.故 C.-1或-3 n-1或号 正确结果应为{aa<一8或a≥3. 正解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 误区4忽略空集的特殊性 解得a=-1或a=一号 易错题4（错误率35%）已知A={x∈Rx<一2或x> 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足元素 3},B={x∈Ra≤x≤2a-1.若AUB=A,求实数a 的取值范围 的互异性： 正解AUB=A,.B二A 当a=-号时一2 ,2m十5u=-3,符合题意. 7 1a≤2a-1. a≤2a-1, ①当B≠时， 或 解得a>3: 所以a= 3 2a-1<-2(3<a. ②当B=☑时，由a>2a一1，解得a<1. 答案B 综上所述，实数a的取值范围是a<1或a>3. 易错探因本题易忽略集合中元素的互异性，在解得α 易错探因⑦有两个独特的性质：(1)对于任意集合A, 的值后要代回检验： 皆有A∩必=0：(2)对于任意集合A,皆有AU0= A.因此，如果A∩B=②，就要考虑集合A或B可能是 误区2忽略对二次项系数的讨论 ☑：如果AUB=A.就要考虑集合B可能是心. 易错题2（错误牵41%）若集合A={x十2x十2=0 误区5混淆充分条件与必要条件 中有两个元素，则实数m的取值范围为 正解由题意得n≠0且△=22一4m×2>0, 易错题5（错误率42%）使不等式2r-5x-3≥0成立 解得m<之且m≠0 的一个充分不必要条件是(). A.x≥0 B.x<0或x>2 答案m<受且m≠0， C,x∈{-1,3,5} DK-7或≥3 易错探因忽略对二次项系数的讨论，直接使用判别式 正解由于不等式2x2-5.x-3≥0的解为r≥3或x≤ 误区3没有验证取值范围的边界处 1 一2，所以8有x5一1.3,5是使不等式22-5x 易错题3（错误幸36%）(2024·武汉期未)已知集合 30成立的一个充分不必要条件 A={xx≥4或x<-5},B={xa+1≤x≤a+3,a∈ 答案C 易错探因本题在正解中的画波浪线处容易因颜倒了充 R},若B二A,则a的取值范围为 分性和必要性而误选B. 正解利用数轴法表示B二A,如图所示， 误区6忽略对端点值的检验 A a-1a+3-5 0 易错题6（错误率32%）(2023·湖南名校第二次联考) 已知“a≤x≤a2+1”是“一2≤x≤5”的充分不必要条 A 4a+1u+33 件，则实数a的取值范围是 1