1.2 集合间的基本关系-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语么9 1.2集合间的基本关系 重点和难点 课标要求 重点：集合间包含与相等的含义，用集合语言表达 通过本节的学习，学生能掌提集合之间的包含关系与 数学对象或数学内容 相等关系，能识别给定集合的子集，了解空集的含义，初步 难点：对相似概念及符号的理解，例如区别元素与 学会用三种语言（自然语言、符号语言，图形语言）表达数学 集合，属于与包含等概念及其符号表示 研究对象，并能进行转换， 口01-必备知识梳理。 基础梳理 知识点1Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. L.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩 形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. 2.用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，即 直观地表示集合间的关系；缺点是集合中元素的公共特征不明显. 例如，如图1.2-1所示，可用Venn图表示下列集合之间的关 系：A={xx是平行四边形}，B={xx是菱形)，C={xx是矩 形}，D={xx是正方形. A B (D C 图1.2-1 知识点2子集的概念及其性质 1.子集的概念 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中的任意一个元素 自然语言 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 符号语言 对任意元素x∈A,必有x∈B,记作A二B(或B口A),读作 “A包含于B”(或“B包含A”) 图形语言 4(B 9 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) 2.子集的性质 2记方法园 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A二A 证明或判断集合相等的方法 (2)对于集合A,B,C,如果A二B,且B二C,那么A二C(传递性). 1.若ACB,且BCA,则 知识点3集合的相等 A=B:反之，若A=B,则A 般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同 B,且B二A.这就给出了证明 时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.那么集合A与集 两个集合相等的方法，即欲证 合B相等，记作A=B.也就是说，若A二B,且B二A,则A=B. A=B,只需证ACB与B三A 均成立 知识点4真子集的概念及其性质 2.判断两个集合相等，可 1.真子集的概念 把握两个原则： 自然 如果集合A是集合B的子集，且在集合B中至少存在一个元素不 (1)两集合A,B均为有 语言 是集合A的元素，我们称集合A是集合B的真子集 限集，若两集合的元素个敢相 同，对应元素分别相同，则两 如果集合A二B,但存在元素x∈B,且x任A,就称集合A是集合B 集合相等，即A=B. 符号 的真子集，记作AB(或B早A),读作“A真包含于B”(或“B真包 语言 (2)两集合A,B均是无 含A”) 限集，只需看两集合的代表元 素满足的条件是否一致，若一 图形 致，则两集合相等，即A=B. 语言 园作较 2.真子集的性质 子集与真子集的区别 对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC(传递性). 当A二B时，允许A=B 3.两集合间的关系 或AB成立：当AB时， 两个集合A,B之间的关系如下： A=B不成立.所以若A二B, A=B→ACB且BCA ACB 则A至B不一定成立.如集合 A≠B=→A三B A={0,1},B={1,0}.则A是 A生B B的子集，记为A二B,但A 4.集合间的基本关系与实数的大小关系的类比 不是B的真子集，即A手B不 实数 集合 成立 a≤b包含两层含义：a=b或 定义 a<b A二B包含两层含义：A=B或AB 相等 若a≤b.b≤a,则a=b 若A二B.BCA,则A=B 传 若a≤b,b≤c,则a≤c 若A二B,B二C,则AC 性 若a<b,b<c,则a<c 若AB,BC,则AC 因此，对于集合的关系符号的含义，可类比实数的大小关系 符号“=，≤，<”来理解和记忆 10 第一章集合与常用逻辑用语么9 知识点5空集 1.空集的概念 不含任何元素的集合叫作空集，记为☑ 2.空集的特征 (1)空集只有一个子集，即它本身，☑二⑦. (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即若 A≠0，则☑军A. 3.0与0、{0}、{必}之间的关系 0与0 ☑与0】 0与{0 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 ☑是集合：0是实 0不含任何元素：0不含任何元素：{0}含 不同点 数 {0}含一个元素0 个元素，该元素是心 关系 0氏0 0年{01 ☑年{0或0∈{0) 重难拓展 重难点1子集、真子集个数的确定 1.当一个集合的元素个数较少时，我们可以一一列举出全部 子集，从而求出子集与真子集的个数.注意不要漏掉空集， 2.当一个集合的元素个数比较多时，一一列举子集不太现 实，对于其子集的个数有如下结论： 若一个集合中含有n个元素，则该集合的子集有2"个.原因 是集合中的每个元素都可以有选和不选2种可能，所以含有n个 元素的集合中，子集有2×2×…×2，即2个.由此可知： n个2 ①含有n个元素的集合有2”个子集： ②含有n个元素的集合有(2一1)个真子集： ③含有n个元素的集合有(2一1)个非空子集； ④含有n个元素的集合有(2”一2)个非空真子集 例1若(1,2)二A二{1,2,3,4,5}，则满足条件集合A的个 数是(). A.8 B.7 C.4 D.3 解析方法一（列举法）满足条件{1,2}二A二{1,2,3,4,5》 的集合A有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2. 3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个 方法二（计数法）因为集合A满足{1,2}二A≤1,2,3,4,5}， 所以集合A一定含有元素1,2（可不考虑），可能含有元素3,4,5， 故集合A的个数即为集合{3,4,5}的子集个数，即为23=8. 答案A 11 国避手册高中数学必修第一册（上）/A(浙江专用) 重难点2区别元素与集合、集合与集合间的关系 1.元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的关系，即用符号 习防误区 表示为“∈”或“任”，例如1∈N,一1任N 判断集合之间的关系不 2.集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的关系，即用符号 能仅凭表面的理解，应当注意 表示为“二"或“车”，例如N二R,{1,2,3}生{4,5,6}. 观察集合中元素的特征.解题 时要思考两个问题： 例2(2024·杭州联考)已知集合A={0,1},B={x|x三 (1)两个集合中的元素分 A},则下列关于集合A与B的关系，正确的是( ) 别是什么： A.ACB B.AB C.B年A D.A∈B (2)两个集合中元素之间 解析因为x二A,所以B={☑，{0，{1}，{0,1}，则集合 的关系是什么. A={0,1}是集合B中的元素，所以A∈B. 答案D 口-02关建能边提升。 题型方法 ②当P是奇数时，力=2m一1(m∈Z),则 题型1集合间关系的判断 p==22+mz==m 2 例B已知集合M={x=m十6，m∈Z, 3m∈Z. N=女=-3neZ,P=xx=+ 从而可得N=P.综上可知，M军N=P p∈Z.试确定M,N,P之间满足的关系. 方法二 :M==m十合m∈Z 家面方法-集合M={x=m十行， --6mg1.mez m∈Z. =-8g中lme, 关于集合N:①当n是偶数时，令n=2m (me),则N==m-3meZ: N=女=3eZ ②当n是奇数时，令n=2m十1(m∈Z),则 =x=3n2, 6,n∈Z N==21名me=女=m+ ==3mg出，nez, 6 合m∈Z 从而可得M军N P=t=2+6pEZ 关于集合P:①当p是偶数时，p=2m 1.e). (m∈D,则P=x=m+言m∈Z: 比较三个表达式可得MN=P 12 第一章集合与常用逻辑用语么9 方法三（数轴法）由M=xx=m十， 题型2有限集合的子集个数 刚④(2021·湖北部分重，点中学第二次联考) m∈Z可知M中的元素之间的距离相隔1的整 数倍，M中的元素在数轴上表示如图1.2-2(a)所 已知集合A=c乙号0，B=w= x∈A},则集合B的子集的个数为( 示，同理，N中的元素之问的距离相隔)的整数 A.7 B.8 C.15 D.16 倍，在数轴上表示如图1.2-2(b)所示.P中的元素 铜集台A={eZ0=x 之间的距离也相隔)的整数倍，在数轴上表示如 Z-2x≤2}={-1,0,1,2}，B={yly=x, 图1.2-2(b)所示. x∈A}={0,1,4},故集合B的子集的个数为 由图可知，MV=P. 23=8. 答案B 0 (a】 例5(2024·江苏省如皋中学高一阶段 练习)（多选）定义集合运算A☒B={之|之= 0 (6) (x十y)X(x-y),x∈A,y∈B},设集合A= 图1.2-2 {2w5),集合B=1w2},则( 点评啊1.方法二较简单，先将分母化成相 A.A☒B中有4个元素 同的数6，再看分子，集合M的分子是被6除余 B.A☒B中有7个真子集 1的数，集合P和N的分子是被3除余1的数， C.3∈A②B 2.方法三利用集合中元素之间相差都是 D.A☒B中的元素之和为13 某个常数的整数倍，从而在数轴上画出这些元 解析x可取2，√5，y可取1W2,则之可取 素，可以很直观地得到它们之间的关系 (2+1)×(2-1)=3,(2+√2)×(2-√2)=2， 记方陆 (w5+1)×(5-1)=4,(5+2)×(5- (1)一个整数被2整除，可记为2k(k∈ Z):一个整数被2除余1，可记为2k十1或 √2)=3. 2k-1(k∈Z). 由集合的互异性可知AB中有3个元 (2)一个整数被3整除，可记为3k(k∈ 素，故选项A错误； Z):一个整数被3除余1，可记为3k十1或 A⑧B={2,3,4},则A⑧B的真子集有 3k一2(k∈Z):一个整数被3除余2，可记为 23一1=7个，故选项B正确； 3k-1或3k+2(k∈Z). 3∈A☒B,故选项C正确： (3)一个整数被4整除，可记为4(k∈ A☒B中所有元素之和为2十3+4=9，故 Z):一个整数被4除余1，可记为4k十1或 选项D错误 4k一3(k∈Z):一个整数被4除余2，可记为 答案BC 4k十2或4k一2(k∈Z)；一个整数被4除余 例6已知集合A={1,3,5}.求集合A的 3,可记为4k+3或4k-1(k∈Z). 所有子集的元素之和 13 国避手册高中数学必修第一册（上）/A(浙江专用) 解析集合A的所有子集分别是0，{1》， △=(-2)2-4a=0, 所以 解得a=1. 3},{5},1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.注意 12-2×1+a=0, 到A中的每个元素都出现在A的4个子集之 当A={4}时，x2一2.x十a=0有两个相等 中，即在其和中出现了4次.故所求之和为 的实根4， (1+3+5)×4=36. △=(-2)2-4a=0, ●变式1(2023·西安长安区质量检测) 所以 此方程组无解 42-2×4+a=0, 若x∈A,则二∈A,就称A是伙伴关系集合，在 综上所述，实数a的范图是a≥l. 集合M=-1,0,2号2.3)的所有非空子集 ◆变式3(2023·上海师大附中高一阶段 练习)若集合{xla.x2+2x+1=0}={b},则 中，具有伙伴关系的集合的个数是( b的值为 A.31 B.7 C.3 D.1 例9设集合A={.x一2≤x≤5}，B={x 题型3由集合间的关系确定参数范围 m+1≤x≤2m-1. 1.利用集合相等的关系求参数 (1)若B二A,求实数m的取值范围. 例7若{0，-1,2a}={a-1.-a,a十1}， (2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数 求a的值。 解析(1)当m+1>2m-1,即m<2时， 解析由题意知，当a一1=0时，a=1,此 B=心，满足B二A. 时{0，一1,2}={0，一1,2}，特合题意. 当m十1≤2m-1,即m≥2时，要使B二A 当a一1=一1时，a=0,此时{0，一1,0}不 符合集合中元素的互异性，舍去， m+1≥-2， 成立，如图1.2-3，只需 即2≤m≤3. 当a一1=2a时，a=一1，此时{0，一1， 2m-15. 一2}={一2，一1,0}，特合题意. 综上，当B二A时，m的取值范围是{m 综上可知，a=1或a=一1. m≤3}. ◆变式2若集合A={a,ab},B={1,b), 且A=B,求a,b的值， -2m+12-15 2.利用集合包含关系求参数（注意☑的情况） 图1.2-3 例8已知集合A={xx2-2x十a=0}, (2)当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, B={1,4},且A至B,求实数a的范围. 所以集合A的非空真子集的个数为2一 2=254. 解析]因为A至B且B={1,4}的真子集 易错警示 有⑦，{1}，{4}， 所以A=☑，A=1}或A={4〉. ◆易错题3（错误率36%）(2021·武汉 当A=☑时，x-2x十a=0无实根， 期末)已知集合A={x|x≥4或x<一5}， 所以△=(-2)2-4a<0,解得a>1. B={xa十1≤x≤a十3，a∈R,若BCA,则 当A={1}时，x2一2.x十a=0有两个相等 a的取值范围为 的实根1， 参考答案见《全书易错题集》第1页 14 第一章集合与常用逻辑用语收出9 口03-核心素养聚盘一。 考向分类 续表 考向】判断集合间的关系 常考题型选填题难度系数0,5高考热度★★ 例1⑩（经典·全国1卷改编）已知集合 核心素养 数学运算 素养水平水平三 A={xx>5或x<4},B={x-5<x<5), 考向3子集的个数 则(. 例2（经典·湖北卷）已知集合A={x A.ACBB.BCAC.ABD.B年A x2-3.x+2=0,x∈R},B={x0<x<5,x∈ 解析由图1.2-4可知，B军A. N),则满足条件A二C二B的集合C的个数为 B☐AA ). -50545 A.1 B.2 C.3 D.4 图1.2-4 答案D 解析因为集合A={1,2},B={1,2,3, 4》,所以当满足A二C二B时，集合C可以为 命题意图：考查集合之间的关系 命题规律 真题探源：教材P9习题1.2复习巩固第1题 {1,2},{1,2,3},{1,2,4},1,2,3,4},故满足 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 条件的集合C有4个. 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 答案D 者同2由集合间的关系确定参数 命题意图：考查集合子集的含义 例1①(2023·新高考全国Ⅱ卷)设集合 命题规律 真题探源：教材P8例1的拓展应用 A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}.若ACB, 则a=(）. 常考题型选填题难度系数0.9 高考热度★★ 核心素养 数学运算 素养水平水平二 A.2 B.1 c号 D.-1 自题演练 解析，ACB,.0∈B且一a∈B 1.(经典·福建卷改编，考向1、2)已知集 若0=a一2，则a=2,故A={0,一2}，B 1,0,2},而一2任B,故不满足条件 合A=1,a,B={1,2,3},那么(). 若0=2a一2，则a=1,故A={0,-1}, A.若a=3,则A二B B={1,一1,0}，满足条件. B.若A二B,则a=3 答案B C.若a=3,则A车B D.若A二B,则a=2 命题意图：考查集合关系中含参问题 命题规律 真題深源：教材P9拓广探索第5题的拓 2.(经典·江苏卷，考向3)集合{一1,0,1} 展应用 共有 个子集 15立+情+器-0： 10.(1)x1 1-_3_42 3-42一-2， ∴mgA @当，中恰有2个为负数时，>0.则尚 :xn=√9-4√2=-1+22，∴m∈A 高+情+架-0， x=(1-3②)2=19-6V2,.∈A. (2)任取x,∈A,设x4=m十m2,x=me十 ④当>0时e>则后十方十同+架- m2(m1,m,m,2∈Z),则十=(m十12)十 综上可得M={一4,0,4，故选CTD. (me十√2)=(m1十e)+(h十龙)w2,其中(m1+ 5.(12,3.提示：A={x-2≤x≤2，B={1,2,3). ),(1十)∈Z,所以x1十∈A.由于xx= 6.18.提示：A⊙B={0,6.12) (m十V2)(十h√2)=(mh十2h)十(mh十 7.-是.提示：-2eA且a2+1l, mm1W②，其中(mm十2n1）,(m1十mm)∈Z,所 ∴.a-1=-2或2a2+5a+1=-2, 以x:xs∈A. a=-1或a=一受 11,(1)m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z) 当a=-1时，a-1=2a2+5a十1=-2，不符合集合的 令a=3k十1，b=3k十2，则m=a十b. 互异性，舍去： 故若m∈M,有a∈A,b∈B,使m=a十b成立. (2)设a=3k+1,b=3+2,k,1∈Z,则a+b=3(k+0+3. 当a=-多时A={仁号，-2，是}符合题意 所以当k+l=2p(p∈Z)时，a十b=6p十3∈M,此时有 8.A表示y的取值集合，由反比例函数的图象可知A= m∈M,使a+b=m成立：当k十I=2p+1(p∈Z)时， (yy<0或y>0}={yy≠0，y∈R. a十b=6p十6任M,此时不存在m使a十b=m成立. B的代表元素是x,所以B表示x的取值集合，即B C拓展拔高练 (x.z2-2x≥0}={xx≤0或x≥2}，B是由小于等于 0和大于等于2的实数构成的集合 C表示反比例函数y=子的图象上的点集， 2.五个数中任取四个可以得到五个和值，故必有两个和 值相等.而这五个和值之和为4（十2十十十）， D的代表元素是点(x,y),表示直线y=x一3上除去点 是4的倍数，又44十45+46+47=182，所以这个相等 (3,0)外所有的点. 的和值只可能是46，从而x十十十+= E表示以方程“x=0”和“y=1”为元素的一个二元集， F表示以方程“x十y=1”和“x一y=一1”为元素的一个 44十45+46+47+46=57，则这五个数分别为57- 二元集. 44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57- 9.(1):A中有两个元素， 46=11.即10,11,11.12,13 '.关于x的方程a2一3x一4=0有两个不相等的实数根， 1.2集合间的基本关系 d-9+16o>0,即o>-是且a≠0 变式训练答案 (2)当a=0时.A={-号} [变式)B提示：集合M={-1,0号，52,3}的所 当a≠0时，若关于x的方程a.x2-3x一4=0有两个相 有非空子集中具有伙伴关系的集合为一1，（号2}。 等的实数根，则△=9十16a=0,即a=-号：若关于x 9 33{-1,2{133分23 的方程无实数根，则△=9+16a<0,即a<一6 9 -1,23 9 故a的取值范围是a≤一或a=0, [变式2]由A=B知两集合的元素相同. 2 若a2=1,解得a=士1. x≠0}表示直线y=x上除去点(0,0)外所有点的集合， 当a=1时，A=1,b,B=1,b, ..BSA. 此时A=B需满足b∈R且b≠1： 6.a≥6.提示：A二B,∴a在数轴上的对应点位于 当a=-1时，A={1,-b1,B=(1,b, 6所对应的点的右侧或为6所对应的点，∴a的取值 此时A=B需满足6=一b,即b=0. 范围是a≥6. 若a=b时，A=b,ab外，B=(1,b,此时A=B需满足 7.-1.提示：M=1,号，b-0 ab=1,取a=1,b=1,这时不满足集合的互异性，故舍去 综上所述，当a=1时，bER且b≠1：当a=一1时，b=0. :M=N,∴分=0，即a=0, [变式3)-2或-1 提示：根据题意知集合{xa十 此时集合M={1,0.b,V={0,b,b}, 2x十1=0}={b价. ∴=1..b=1或=-1 则集合中只有一个元素，即a.x2+2.x+1=0只有一个 当b=1时，集合M中有2个1，不成立，舍去： 实数根 当b=-1时，集合M=1,0,一1成立. ∴.a=0,b=一1，即a22+后2=0十(-1)202=一1. ①当a=0时，a2+2x十1=0即2x+1=0,解得x=-2: B综合提能练 时集合rar+2r+1o0={r=-号}则6=一2 1A提示：方法-”A={女r=号neZ={…, ②当a≠0时，△=4-4a=0,则a=1, -2--1，-01是2号… 5 此时集合{zx2+2.x+1=0}={xx=-1},故=-1. 所以6的值为一号或-1 B-{=m+ez-{,-号，-是，- 真题演练答案 1.A提示：当a=3时，A={1,3.B=1,2,3},A二B成 立.当ACB时，a=2或3.故选A 方法三B={r=+名ne==2 2.8.提示：由于集合中有3个元素，因此该集合的子集 共有2=8个. n∈Z,2m十1表示奇数，而n表示整数，∴.B运A 练习册答案 方法三可分别在数轴上表示出集合A,B,易知BA A基础过关练 2.C提示：x∈N,二5<0，r=1或2或3或4 1.B提示：①②正确， :1,2}=A{1,2,3.4, 2.B提示：集合M中必含元素a,且为{a,b,c,d)的真子 ∴.A=1.2,3}或A=1,2.4. 集，可按元素个数分类依次写出集合M为{a,a,b;, 3.AD提示：若m2=4,则m=士2. (a,c},{a,d0,{a,b,e},{a,b,d,{a,e,d. 当m=2时，A中有两个元素都为4，不符合题意 3BD提示：P,Q均为数集，P={xy=x2=R,Q=(y 当m=一2时，A={3,4,一24，B={3,4},符合题意. y=)=yly20).QP.QCP. 若m=7m一10，则m=2或m=5. 4.B提示：可按集合A中元素的个数依次分类写出.含 当m=5时，A={3,4,25,B=3,25},符合题意. 有一个元素：{1}，3.含有两个元素：(0,1}，{1,2}， 4.C提示：满足条件的集合有两类：(1)有四个连续元素 (0,3),{2,3},1,3.含有三个元素：(0,1,2}，(0,1,3}， 的集合共有3个，即0,1,2,3}，(1,2,3,4)，{2,3,4,5. {0,2,3},{1,2,3.含有四个元素：{01,2,3. (2)四个元素分成两组，每组两个元素是连续的且两组 5.B=A.提示：A={(x,y)y=x}表示直线y=x上 之间的元素是不连续的集合有3个，即{0,1,3,4， 的点的集合，B={(x,y兰=1}=(，y1y=x (1,2,4,5},0,1,4,5),所以满足条件的集合共有6个.则a十3<-5或a十1≥4，解得a<-8或a≥3. 误区1忽略集合中元素的互异性 答案{aa<-8或a≥3l. 易错题1（错误率30%）已知集合A是由a一2,2a2+ 易错探因求解过程中容易忽略等号能否成立，得到α十 5a,12三个元素组成的集合，且一3∈A,则实数a的值 3一5或a十1≥4，解得a≤一8或a>3. 为(). 事实上，在求出a≤一8或a≥3后也可以直接将端点 值回代，看是否符合题意，进而进行适当取舍即可.当 A.-1 R一号 a=一8时，不符合题意，舍去：当a=3时，符合题意.故 C.-1或-3 n-1或号 正确结果应为{aa<一8或a≥3. 正解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 误区4忽略空集的特殊性 解得a=-1或a=一号 易错题4（错误率35%）已知A={x∈Rx<一2或x> 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足元素 3},B={x∈Ra≤x≤2a-1.若AUB=A,求实数a 的取值范围 的互异性： 正解AUB=A,.B二A 当a=-号时一2 ,2m十5u=-3,符合题意. 7 1a≤2a-1. a≤2a-1, ①当B≠时， 或 解得a>3: 所以a= 3 2a-1<-2(3<a. ②当B=☑时，由a>2a一1，解得a<1. 答案B 综上所述，实数a的取值范围是a<1或a>3. 易错探因本题易忽略集合中元素的互异性，在解得α 易错探因⑦有两个独特的性质：(1)对于任意集合A, 的值后要代回检验： 皆有A∩必=0：(2)对于任意集合A,皆有AU0= A.因此，如果A∩B=②，就要考虑集合A或B可能是 误区2忽略对二次项系数的讨论 ☑：如果AUB=A.就要考虑集合B可能是心. 易错题2（错误牵41%）若集合A={x十2x十2=0 误区5混淆充分条件与必要条件 中有两个元素，则实数m的取值范围为 正解由题意得n≠0且△=22一4m×2>0, 易错题5（错误率42%）使不等式2r-5x-3≥0成立 解得m<之且m≠0 的一个充分不必要条件是(). A.x≥0 B.x<0或x>2 答案m<受且m≠0， C,x∈{-1,3,5} DK-7或≥3 易错探因忽略对二次项系数的讨论，直接使用判别式 正解由于不等式2x2-5.x-3≥0的解为r≥3或x≤ 误区3没有验证取值范围的边界处 1 一2，所以8有x5一1.3,5是使不等式22-5x 易错题3（错误幸36%）(2024·武汉期未)已知集合 30成立的一个充分不必要条件 A={xx≥4或x<-5},B={xa+1≤x≤a+3,a∈ 答案C 易错探因本题在正解中的画波浪线处容易因颜倒了充 R},若B二A,则a的取值范围为 分性和必要性而误选B. 正解利用数轴法表示B二A,如图所示， 误区6忽略对端点值的检验 A a-1a+3-5 0 易错题6（错误率32%）(2023·湖南名校第二次联考) 已知“a≤x≤a2+1”是“一2≤x≤5”的充分不必要条 A 4a+1u+33 件，则实数a的取值范围是 1