1.1 集合的概念-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 重点和难点 课标要求 重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语 通过本节的学习，学生要在了解集合含义的基础上，会用符号语 言刻画集合 言刻画集合，并能判断元素与集合之间的关系 难点：用描迷法表示集合。 01业备知识梳理◆ 基础梳理 知识点1集合与元素的概念 1.元素与集合的概念 同敲黑板 一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 判断一个“全体”是集合的方法 a,b,c,…表示. 集合是数学中最基本的 把一些元素组成的总体叫作集合（简称为集），通常用大写拉 概念，它表示某些确定的元素 丁字母A,B,C,…表示 组成的总体.这是一个抽象的 2.对集合与元素概念的理解 概念，不是一个明确的具体的 定义，所以对于集合，我们只 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面 能判断某个对象“是”或“不 几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明， 是”集合的元素，有什么特征， (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含 而不能定义集合具体是什么. 义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体. 判断一个“全体”是否能 (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式，也 构成一个集合，关键是看组成 可以是人或物等， 这个“全体”的对象是否确定 [注意]尽管组成集合的对象具有广泛性，但并不是所有对 例如，“我国著名的演员”不能 象都能组成集合，只有具有确定性的对象才能组成集合。 构成一个集合，因为“著名”难 3.元素与集合的关系 以界定，但是“获得过百花奖 元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系.如果a是集合A 的演员”能构成一个集合. 中的元素，就说a属于集合A,记作a∈A:如果a不是集合A中 的元素，就说a不属于集合A,记作u任A. 4.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.当 集合中元素的个数有限时，称之为有限集：当集合中元素的个数 无限时，称之为无限集 国避食手细高中教学必修第一册（上）PA(浙江专用) 知识点2集合中元素的特性 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性 1.确定性 作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不 能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个 集合的元素也就确定了.例如，集合A={1,2,3},则1∈A,4￠A 2.互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或者说 是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象， 相同的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素.例如，集 合{x,x2-x}中的x应满足x≠x一x,即x≠0且x≠2. 3.无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分.例如，集合{1,0}和{0,1} 是同一个集合 知识点3集合的表示方法 1.集合的两种基本表示方法 [巴作比较 (1)列举法 N,N,N+的区别 含义：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号 1.N为非负整数集（即自 “{”括起来表示集合的方法称为列举法， 然数集)，N”或N,表示正整 优点：方便、快捷，集合中的元素一目了然。 数集，不同之处就是N包括 0,而N或N+不包括0. 缺点：不易看出元素所具有的属性，且有些集合是不能用列 2.N”和N的含义是一样 举法表示的，如2x一3>0的解集. 的，初学者往往误记为N,或 (2)描述法 N,为避免出错，对于N和 含义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 N,,可形象地记为“星星(*) 共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)》,这 在天上，十字架（十）在地下” 种表示集合的方法称为描述法， 优点：语言简洁，元素的规律与性质能清楚地表示出来， 缺点：比较抽象，不易看出集合中的具体元素。 2.常用数集的记法 集合 符号 非负整数集（白然数集） N 正整数集 N或N 整数集 z 有理数集 Q 实数集 R 2 第一章集合与常用运辑用语么出9 雨难拓展 重难点1元素与集合关系的判断 L.a∈A与a在A取决于a是否为集合A中的元素.元素a 2提个醒 与集合A,在a∈A与a任A这两种情况中必有一种且只有一种 元素与集合的区别 成立 元素和集合是两个完全 2.符号“∈”“￠”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合 不同的概念，元素是集合中的 之间的从属关系 某一对象，而集合是由所有的 元素组成的 例①（多选）设所有被4除余数为k(k=0,1,2,3)的整数组 元素与集合是相对的，如 成的集合为A,即A={xx=4十k,n∈Z},则下列结论中正确 a与a}的区别，{a}表示的是 的是( 一个集合，a是集合{a}中的 A.2023∈A 一个元素.例如，0与{0}是不 B.-1∈A 同的，0表示数字0，{0}表示 C.a∈A,b∈A6,则a-b∈A 由数字0组成的集合.集合有 D.a+b∈A,则a∈A1,b∈A 时也可以作为元素，如集合 解析根据题意，A中的元素是被4除余数为k的数，因此 ({a1,(b}}中，{a}只表示其中 对于A,2023=4×505+3,故A正确；对于B.一1=4×（一1）+ 的一个元素 3,故B正确；对于C,a=4n十k,b=4n'十k,故a一b=4(n一n)十 0,故C正确：对于D,举一个反例即可，如a=2,b=1,则a十b=3, 有a十b∈A,但是a∈A2,b∈A1,故D错误. 答案ABC 重难息2描逃法和列举法的区分 描述法和列举法是集合常用的两种表现形式.两种表示具有 提个醒7 自己的特点，要注意区别.对于描述法，一看代表元素(“”前的内 1.列举法与描述法的表现 容)，二看代表元素的属性(“”后的内容). 形式不一样.如例2中的①②③ 例☑(2023·北京东城区检测)指出下列集合的含义：①{xy= 是描述法，④是列举法 x2+1}:②yly=x2+1;③{(x,y)ly=x2+1}:④{y=x2+1. 2.用描述法表示集合时， 一定要先分析代表元素所具 解析上述集合的含义如下表所示： 有的性质，如例2中的①②： 集合 集合的含义 还要注意区别数集和点集的 不同，如例2中的①③. {xy=x2+1} 表示函数y=x2+1所有自变量的取值组成的集合 (yly=r+1) 表示函数y=x+1所有函数值组成的集合 {(x,y)y=x2+1 表示函数y=x2十1图象上所有的点组成的集合 集合中只有一个元素，即为y=x2+1,表示集合的方法 {y=x2+1 是列举法 3 重随点手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 02关键能动提升。 题型方法 x2-1上，且满足x≤2，x∈Z的点. 题型1集合中元素特性的应用 则x=一2，一1,0,1,2，故集合A用列举 例B(2024·北京东城区高一阶段练习) 法表示为{(-2,3)，(-1,0)，(0，一1)，(1,0)， 已知集合M={a,2a-1,2a2-1},若1∈M,则 (2,3)}. M中所有元素之和为 (3)集合B中的元素x是自然数.当x= 点拨根据1∈M,依次令M={a,2a一1， 0,1,3,7时1十x 8 =8,4,2,1,故集合B可用列 2a2一1}中的三个元素分别等于1，根据集合中 举法表示为{0,1,3,7}. 元素的互异性作出取舍，求得结果」 (4)分别取k的值为…，一2，一1,0,1,2，…， 解析若a=1,则2a一1=1，矛盾；若2a 1=1,则a=1,矛盾，故2a2-1=1,解得a=1 则对应的工的值分别为，一月。一导。一是。 (舍去)或a=-1,故M={-1,-3,1},元素之 111335 444444… 和为一3. 答泰一3. D=,-是… 点评利用元素与集合的关系求参数时， 点评用列举法表示无限集合，列举时必 易忽视检验这个环节，导致有的参数值违背了 须呈现出集合元素所具有的规律，剩下的元素 集合中元素的互异性， 才能用省略号表示 ◆变式1设集合A={2,3,a2+2a-3},集 例5(2024·蚌埠高一检测)用描述法表 合B={a十3|，2}，已知5∈A.且5B,则实 示下列集合： 数a的值为 x2+y2=1, (1)方程组 的解集。 题型2集合的表示 y=2.x 例④用列举法表示下列集合： 2层异是青引 x2十y2=2, (1)方程组 的解集。 (3)正偶数集。 x-y=0 (4)被3除余2的正整数集合 (2)集合A={(x,y)|y=x2-1,|x|≤2， (5)平面直角坐标系中坐标轴上点的集合. x∈Z. (③)集合B=女x∈N且∈N (6){1,2,32,4,… x十y=1, 解析(1)可表示为(x,y) (④集合D-r-2出，k∈Z (方程组的解为y1或y=-1 x=一1， 2)可表示为n2nEN且≤ 或 (3)可表示为{xx=2n,n∈N·}.偶数用 故解集为{(-1，一1)，(1,1)}. 式子可表示为x=2n,n∈Z,但此处x为正偶 (2)集合A是点集，这些，点是在曲线y= 数，故x=21,n∈N. 第一章集合与常用逻辑用语么9 (4)可表示为{xx=3十2，n∈N.设被3 将符号语言“x=m十√2n,m,n∈Z”转化为自然 除余2的数为x,则x=3m十2，n∈Z,但元素x 语言“x为一个整数与另一个整数的√2倍的 为正整数，故x=3n十2，n∈N,也可以写成x 和”.于是要判断某元素是否在集合A中，只需 3一1，n∈N·,注意此时n从1开始. 看该元素经过恒等变换后能否转化为这一形式 (5)可表示为{(x,y)xy=0以.此集合是点 集，坐标轴上点(x,y)的特征是横、纵坐标中至 解析(1)x1=一√2=0+（一1）×√2， 少有一个为0，即xy=0. 0,-1∈Z,.1∈A. (6)可表示为{xx=2,n∈N}.规律为 2= 12士2=1+号×反. 正整数的平方，故x=,n∈N”,也可以写成 2-√2 2 x=(n十1)，n∈N,或写成x=(n-1)2,n∈N 1eZ,2EZ,∴tA 且n≥2. 题型3元素与集合的关系 x=(1-2√2)2=9-4√2=9+(-4)X2, .9,-4∈Z,.x3∈A. 例6下列选项是集合A={(.x,y)x (2)x1,x2∈A, 令y一冬k∈Z中的元素的是( .可设x1=m1十√2h,x2=mg十√22， A(合》 B(导) 且1,1,2,2∈Z. ∴.x1x2=(m十V2m1)(12十√22) C.(3,4) D.(4,3) =m1m2十√2(m2m1+m12)+2m1n2 解析由x= 夸-冬得k=3=4,k∈Z =(m1m2+21n2)+√2(2十m2). 对于A,当x=号y-号时，得=1≠3，不满足 .'m1m2+2m1e∈Z,m2l1+m12∈Z. 题意，对于B,当x=号y=时，得=2≠3， .xx2∈A. 例8(2024·衡水中学高一检测)数集M 不满足题意.对于C,当x=3,y=4时，得k 9≠16，不满足题意.对于D,当x=4,y=3时， 满足条件：若aEM,则∈Mu≠士1，a≠o, 得k=12=12,满足题意。 (1)若3∈M,求集合M中一定存在的 答案D 元素 例7(2023·厦门高一质量检测)已知集 (2)集合M内的元素能否只有一个？请说 合A={xx=m+√2n,m,n∈Z. 明理由。 (3)请写出集合M中的元素个数的所有可 (1)试分别判断1=一√2，x2= 2-√2 能值，并说明理由。 x=(1一2√2)2与集合A的关系. 解析(1)由3∈M,令a=3,则由题意可得 (2)设x1,x2∈A,求证：x1x2∈A. 点拨]解决本题的关键在于准确把握集合 -2M号 e) 的元素所具有的共同特征，如何准确把握呢？ 8”1-(-】 重避点手细高中数学必修第一册（上）尺A(浙江专用) 1+号 .若集合M中有一个元素a,则集合M中 1之M而」 3 12 一定存在的元素有@吕日当a取 集合M中一定存在的元素有3，一2， 不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个 32 元素 .可得出集合M中元素的个数为4，n∈N. (2)不能.理由如下： ◆变式2(2022·厦门调考)已知集合M= 假设M中只有-个元本a,剥由a-吉品 {xx=3,n∈Z},N={xlx=3+1,n∈Z}, 化简得a=一1，无解， P={xx=3n-1,n∈Z}且a∈M,b∈N,c∈ P,设d=a一b十c,则( .M中不可能只有一个元素. (3)M中的元素个数为4，n∈N”.理由如下： A.d∈M B.d∈N 尚已知条件uEM,则}∈Ma≠生1， C.d∈P D.以上都不对 题型4集合与一元二次方程 a≠0)，以此类推可得集合M中可能出现的 例9(2024·厦门高一质量检测)已知集 ,1+a.-1.a-1 4个元素分别为a1-aa'a十工 合A={x∈Ra.x+2x+1=0,a∈R. (1)若A中只有一个元素，求a的值 1+a 由(2)得a≠1- (2)若A中至多有一个元素，求a的取值 若a=一】，化简得a2=-1,无解， 范围 a 解析(1)当a=0时，原方程变为2x十1=0， 故a≠， 即工=一之符合题意： 若a=a一l a+化简得a=-1,无解， 当a≠0时，由△=0得a=1,此时x=一1. 故a≠a一l .若A中只有一个元素，则a的值为0或1. a+1 (2)方法一当a≠0时，A中至多含有 若一。化简得心-1，无解， 个元素，即方程a.x2十2x十1=0有两个相等的 a 故吕-日 实根或没有实根 由△=4-4a≤0，得a≥1： 若8化商得=-1无解， 当a=0时，由(1)知方程有唯一解. .若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0, 故品 即a的取值范围是{aa=0或a≥1. 若-1-4-1 a a+,化简得a2=-1,无解， 方法二由(1)可知，若A中只有一个元 素，则a=0或a=1: 故-1≠4一1 若A中没有元素，即方程ax2十2.x十1=0 aa+1 没有实根， .1+a1a-1 综上可得a2a两两互不相等， .△=4-4a<0, 6 第一章集合与常用逻辑用语 a>1. 为( ∴.若A中至多有一个元素，则a>1或a=0. A.26 B.25 C.24 D.23 故实数a的取值范围是{aa=0或a≥l. 解析(1)依题意，A*B={0,2,4},其所 记方妹 有元素之和为6，故选D 判断形如a.x2十bx十c=0的方程的实根 (2)若a和b一奇一偶，则ab=18,满足此 个数的方法： 条件的有1×18=2×9=3×6，故数对(a,b)有 (1)当a=0时，原方程可化为bx十c=0的 6个： 形式，再根据b,c的取值讨论方程根的个数 若a和b同奇偶，则a十b=18,满足此条 (2)当a≠0时，需根据△的值与0的大 件的有0+18=1+17=2+16=3+15=4+ 小关系来确定方程根的个数 14=…=17+1=18+0,故数对(a,b)有19个. ①若△=b一4ac>0,则方程有两个不 所以满足条件的元素个数为6十19=25. 相等的实根： 故选B. ②若△=b一4ac=0,则方程有两个相 等的实根（此时集合中只能是一个元素）： 答案(1)D(2)B ③若△=？一4ac<0,则方程无实根 ◆变式4(2023·上海曹杨二中高一检测) 对于任意非空集合A,B,定义A十B={a十b ◆变式3(2022·潍坊重点高中联考)若 a∈A,b∈B}.若S=T={-2,0,1},则S+ 集合A={x(k+2)x2+2kx+1=0}有且仅有 T 一个元素，则实数k的值为( (用列举法表示). A.-2 B.士2或-1 易错兽示 C.2或-1 D.-2或-1 ◆易错题1（错误率30%）已知集合A 题型5集合的新定义问题 是由a一2,2a2+5a,12三个元素组成的集 例1D(1)定义集合运算：A*B=《xx 合，且-3∈A,则实数a的值为(). xy,x∈A,y∈B}.设A=〈1,2}，B={0,2},则 A.-1 集合A￥B中的所有元素之和为(). A.0 B.2 C.3 D.6 C.-1或-3 D-1或8 (2)对于任意两个自然数m,,定义某种 ◆易错题2（错误率41%）若集合A ②运算如下：当m,n都为奇数或偶数时，m⑧n =m十n:当m,n中一个为偶数，另一个为奇数 {xm.x2十2x十2=0}中有两个元素，则实数 时，m⑧n=m.则在此定义下，集合M={(a, m的取值范围为 b)|a☒b=18,a∈N,b∈N}中的元素的个数 参考答案见《全书易错题集》第1页 03核心泰养聚焦。 考向分类 2},Q={2,3},若M={xx∈P且x￠Q,则 考向】集合概念的应用 M=(). 例1①(2023·上海卷)已知集合P=1, A.1} B.{2 7 国避食手细高中教学必修第一册（上）PA(浙江专用) C.{3 D.{1,2,3 <y中恰有一个成立.若(x,y,z)和(z,.x) 解析集合M中的元素属于集合P,但不 都在S中，则下列选项正确的是(). 属于集合Q,显然只有元素1满足条件，即 A.(y,z,w)ES.(x,y,w)4S M=1}. B.(y,a,w)∈S,(x,y,o)∈S 答案 A C.(y,,)S,(x,y,w)∈S D.(y,,)tS,(x,y,w)在S 命题意图：考查集合的概念 命题规律真题探源：教材P2集合中元素的特征、集 解析方法一(x,y,x)∈S,则x,y, 合相等的拓展应用 的大小关系有3种情况，同理，(，，x)∈S,则 常考题型选填题难度系数0.6 高考热度 ★★ 之，，x的大小关系也有3种情况，如图1.1-1 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 所示.由图可知x,y,,之的大小关系有4种可 考向2集合中元素的个数 能，均符合(y,,o)∈S,(x,y,)∈S.故选B. 例12(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A x,y,z∈S 分y之处 {(x,y)x2+y≤3，x∈Z,y∈Z},则A中元素 <<y< 的个数为( ) 3y<2< (,,长S→2<.x< xw<r<y A.9 B.8 C.5 D.4 解析由x2十y≤3知，一V3≤x≤3， 图1.1-1 方法二（特例排除法）不妨令x=2,y= -√3≤y≤3.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1， 3,x=4,=1,则(y,,0)=(3,4,1)∈S,(x, 0,1},y∈{-1,0,1}，所以A={(-1,-1) y,)=(2,3,1)∈S. (-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1), 答案B (1,一1)，(1,0)，(1,1)}，所以A中元素的个数 为9. 命题意图：考查集合的含义及集合的表示 [答案A 命题规律方法 真题探源：教材P4描述法的拓展应用 命题意图：考查集合的表示法及其含义 命题规律真题探源：教材P3,P4列举法和描述法的 常考题型选填题难度系数0.5 高考热度★★ 拓展应用 核心素养 数学抽象 素养水平水平三 常考题型选填题难度系数0.9 高考热度 ★★ 真通满练 核心素养 数学运算 素养水平水平二 1.(2020·全国Ⅲ卷改编，考向2)已知集 考向3集合的新定义问题 合A={(x,y)x,y∈N",y≥x},B={(x,y) 例13（经典·广东卷）设整数n≥4，集合 x十y=8},则集合A与集合B的所有公共元 X={1,2,3,,n.令集合S={(x,y,)x 素的个数为(). y,∈X,且三个条件x<y<,y<x<x,x<x A.2 B.3 C.4 D.6 8第一章集合与常用逻辑用语 4.①②③.提示：①由x2=x得x(x2-1)=0..x 0或x=1或x=-1.:-1任N.故①错误. 1.1集合的概念 ②R表示实数集，{R}表示集合中含有R(实数集)这个 变式训练答案 元素，故②错误. [变式]一4.提示：：5∈A. r+y=3 ,.a2十2a-3=5,解得a=2或a=-4. ③方程组 的解组成的集合的正确表示为 当a=2时，B={5,2},不符合5∈B,应含去： x=1, 当a=-4时，B=1,21,符合5EB,∴a=一4. (1,2)}或{(x,y) ,故③错误。 v=2 [变式2]B提示：设4=3n,b=3m十1，c=3x一1，m,H, s∈Z,则d=3m-(3m+I)+(3s-1)=3(m-m+s)-2 5.{-1,2,3,4. 提示：由写产。∈N可知0<5-u<6 3(-m十s一1)+1，又1-m十s-1∈Z,所以d∈N. [变式3]B提示：集合A={x(k+2).x2+2kx+1=0} 即-la<i又ae么所以当a=-1时写产。=1eN: 中只有1个元素.若k+2=0,即k=一2，方程等价于 当a=0时，写。号EN:当a=1时写马。是EN, -4女十1=0，解得x=子，满足条件：若k+2≠0，即 当a=2时写。-2EN,当a=3时，写。=3EN, k≠一2，则方程满足△=0，即4k2一4(k十2)=0，解得 k=2或k=一1.综上，k=士2或k=-1. 当a=4时写5。=6∈N综上可得A=-123.4, [变式4]{一4，一2，一1,0,1,2}，提示：对于任意非空 6.由题意可得一1≤x≤3,0≤y≤3，所以题图中阴影部分 集合A,B,定义A+B={a+ba∈A,bEB}, (含边界)的点组成的集合为(x,y)|一1≤x≤3,0≤ 若S=T={一2,0,1}，各取一个元素a∈S,b∈T形成 3y≤3. 有序数对(a,b), B综合提能练 所有可能情况为(-2，一2)，(-2.0).（一2,1），(0，一2)， (0,0),(0,1).(1,-2),(1,0),(1,1),所有情况两个数 1.C提示：显然a≠0，则a十b=0,得a=一b,名=-1. 之和构成的集合为{一4.一2，一1,0.1.23. 又：a≠1，.a=一1，b=1,则b-a=2. 真题演练答案 2.D提示：由x-y∈A及A={1,2,3,4.5}得x>y.当 1.C提示：由题意知，集合A与集合B的公共元素满足 y=1时，x可取2,3,4,5，有4个：当y=2时，x可取3， 2，。且y∈N,由x+y=8≥2x得x≤4 4,5,有3个：当y=3时，x可取4,5，有2个：当y=4 x+y=8, 时，x可取5，有1个，故共有1十2+3十4=10个. 所以满足x+y=8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)， 3.C提示：，2011除以5等于402余1， 故集合A与集合B的公共元素的个数为4 .2011∈[1门，.①正确. 练习册答案 :-3=-5+2,被5除余2，.②错误。 A基础过关练 :a,b是同一类，可设a=5m+k,b=5十k,则a一h 1.D提示：集合中的元素必须是明确的，而学习好、非常 5(m一)，能被5整除，a一bc[0们，.③正确. 近、很小都是模糊的概念 若a-b=[0],则可设a一b=5m,n∈Z,即a=5n十b, 2.B提示：因为1=一x2十5.x一4有实数解，4=一x2十 n∈Z,不妨令b=5m十k,m∈Z,k=0,1,2,3,4,则a= 5.x一4无实数解，所以1∈A,且4任A. 5n+5m+k=5(m+n)十k,m∈Z,n∈Z, 3.C提示：N·是正整数集，最小的数是1，故①正确：当 a,b属于同一类，④正确 a<0时，一a∈N",但a在N,故②错误：若a∈N',则 4.CD提示：根据题意，分4种情况讨论： a的最小值为1.又b∈N,则b的最小值为1.当a和b ①当0时0，则后十尚十后十g=- 都取最小值时，a十b取最小值2，故③正确：由集合中 元素的互异性知④错误， ②当工山：中恰有一个为负数时，xr<0,则十则a十3<-5或a十1≥4，解得a<-8或a≥3. 误区1忽略集合中元素的互异性 答案{aa<-8或a≥3l. 易错题1（错误率30%）已知集合A是由a一2,2a2+ 易错探因求解过程中容易忽略等号能否成立，得到α十 5a,12三个元素组成的集合，且一3∈A,则实数a的值 3一5或a十1≥4，解得a≤一8或a>3. 为(). 事实上，在求出a≤一8或a≥3后也可以直接将端点 值回代，看是否符合题意，进而进行适当取舍即可.当 A.-1 R一号 a=一8时，不符合题意，舍去：当a=3时，符合题意.故 C.-1或-3 n-1或号 正确结果应为{aa<一8或a≥3. 正解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 误区4忽略空集的特殊性 解得a=-1或a=一号 易错题4（错误率35%）已知A={x∈Rx<一2或x> 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足元素 3},B={x∈Ra≤x≤2a-1.若AUB=A,求实数a 的取值范围 的互异性： 正解AUB=A,.B二A 当a=-号时一2 ,2m十5u=-3,符合题意. 7 1a≤2a-1. a≤2a-1, ①当B≠时， 或 解得a>3: 所以a= 3 2a-1<-2(3<a. ②当B=☑时，由a>2a一1，解得a<1. 答案B 综上所述，实数a的取值范围是a<1或a>3. 易错探因本题易忽略集合中元素的互异性，在解得α 易错探因⑦有两个独特的性质：(1)对于任意集合A, 的值后要代回检验： 皆有A∩必=0：(2)对于任意集合A,皆有AU0= A.因此，如果A∩B=②，就要考虑集合A或B可能是 误区2忽略对二次项系数的讨论 ☑：如果AUB=A.就要考虑集合B可能是心. 易错题2（错误牵41%）若集合A={x十2x十2=0 误区5混淆充分条件与必要条件 中有两个元素，则实数m的取值范围为 正解由题意得n≠0且△=22一4m×2>0, 易错题5（错误率42%）使不等式2r-5x-3≥0成立 解得m<之且m≠0 的一个充分不必要条件是(). A.x≥0 B.x<0或x>2 答案m<受且m≠0， C,x∈{-1,3,5} DK-7或≥3 易错探因忽略对二次项系数的讨论，直接使用判别式 正解由于不等式2x2-5.x-3≥0的解为r≥3或x≤ 误区3没有验证取值范围的边界处 1 一2，所以8有x5一1.3,5是使不等式22-5x 易错题3（错误幸36%）(2024·武汉期未)已知集合 30成立的一个充分不必要条件 A={xx≥4或x<-5},B={xa+1≤x≤a+3,a∈ 答案C 易错探因本题在正解中的画波浪线处容易因颜倒了充 R},若B二A,则a的取值范围为 分性和必要性而误选B. 正解利用数轴法表示B二A,如图所示， 误区6忽略对端点值的检验 A a-1a+3-5 0 易错题6（错误率32%）(2023·湖南名校第二次联考) 已知“a≤x≤a2+1”是“一2≤x≤5”的充分不必要条 A 4a+1u+33 件，则实数a的取值范围是 1