精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对数函数的性质判断大小关系. 【详解】由，即. 故选：B 3. 设，是两个不同的平面，l是一条直线，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面间的位置关系判断． 【详解】若，，则或，AD均错； 若，，则或，B错； 对选项C，若，，则， 如图，设是平面内的任意直线，过作平面与平面交于直线， 因为，则， 又由得， 所以，而是平面内的任意直线，所以，C正确． 故选：C． 4. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积公式，结合题设求出母线长，进而求底面半径. 【详解】令圆锥的底面半径为，母线长为， 由侧面展开图是面积为的半圆面，即， 又，即圆锥的底面半径为1. 故选：C 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、幂函数单调性将问题转化，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：因为在上单调递增，由得到，由在定义域上单调递增，又，即，所以； 故由能够推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立，故是的充分不必要条件； 故选：A 6. 已知函数（）的图象关于对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性有，，结合已知确定的值. 【详解】由题设，，则，， 又，故. 故选：A 7. 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积. 【详解】，等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将目标式化为，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由，则、， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 故选：C 9. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 若虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 11. 的展开式中常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式展开式通项公式，确定常数项对应参数值，即可求结果. 【详解】由题设，展开式通项为且， 当时，对应项是常数项，即为. 故答案为： 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式被开方数非负、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若直线（）截圆所得的弦长为2，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的标准方程确定圆心、半径，应用直线与圆相交弦长的几何求法列方程求参数值. 【详解】由圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线（）的距离为， 又直线截该圆所得的弦长为2，故， 所以（负值舍）. 故答案为： 14. 已知菱形的边长为3，对角线与相交于点O，，E为边上动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数求出最小值. 【详解】依题意，以直线、分别为轴建立平面直角坐标系，如图， ，， 直线的方程为，设， 则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 15. 已知函数若在区间上存在个不同的数，，，…，，使得成立，则的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解 【详解】， 当时，，令，得， 当时，，当时，， 在单调递增，在单调递减， 作出图象，数形结合可得与在最多有4个交点， 故答案为：4 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，. （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦边角关系及已知条件求c； （2）应用余弦定理求值； （3）应用平方关系、倍角正余弦公式求得，，最后应用差角正弦公式求值. 【小问1详解】 因为且，解得； 【小问2详解】 根据（1），易得，则； 【小问3详解】 由（2）及，得， ，， 则. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 如图，已知四棱柱，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 证明：在四棱柱中，底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 则，，， 设平面的法向量，， 则，不妨令，可得， 因为，所以， 且平面，即平面. 【小问2详解】 解：设平面的法向量， 则，不妨令，可得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：由，平面的一个法向量， 则点到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质证结论； （2）取的中点O，首先证平面，，再构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求二面角的余弦值； （3）根据（2）所得空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 因为面面，面面，面，， 所以平面，平面，所以； 【小问2详解】 取的中点O，因为，所以， 因为面面，面面，面， 所以平面，又，故， 以，，的正方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 因为平面的一个法向量为，则. 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 因为，且平面的法向量为， 因为，直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）最小正周期为； （2）单调增区间为（），单调减区间为（）， （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）应用差角正弦公式、倍角正余弦公式化简函数式，即可确定最小正周期； （2）整体法求的单调区间； （3）由题设，结合正弦函数的单调性求区间最值. 【小问1详解】 已知， . 所以的最小正周期为； 【小问2详解】 令，，则，， 所以的单调增区间为（）， 令，，则，， 所以的单调减区间为（）. 【小问3详解】 因，则， 且在区间上单调递减，上单调递增， 而， 所以的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两个不同的平面，l是一条直线，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. 1 D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知函数（）的图象关于对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则最小值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 9. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 若为虚数单位，则__________. 11. 的展开式中常数项为______． 12. 函数的定义域为__________. 13. 若直线（）截圆所得的弦长为2，则______. 14. 已知菱形边长为3，对角线与相交于点O，，E为边上动点，则的最小值为__________. 15. 已知函数若在区间上存在个不同数，，，…，，使得成立，则的最大值为______． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，. （1）求c的值； （2）求的值； （3）求值. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 如图，已知四棱柱，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离； 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角正弦值； 20. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$