第八章节第二节两条直线的位置关系讲义-2025届高三数学一轮专题复习

新高考数学一轮复习 第二章　　函数 第二节　两条直线的位置关系 一、课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 二、 命题规律及备考策略 确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是高考考查的热点，往往和圆锥曲线综合起来．题型多为解答题． 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分 【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系 2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用 3.熟练掌握距离计算及其参数求解 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习 三、知识梳理 1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 常用结论 六种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 四、课堂考点突破 考点一　两直线的位置关系 题型一　判断两直线的位置关系 [例1]　（2024·天津模拟）“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 题型二　　由两直线的位置关系求参数 [例2]　已知两直线l1：（m－1）x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝　　　　；若l1∥l2，则m＝　　　　. 变式训练 1.“m＝3”是“直线l1：2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：（m－3）x＋2y－5＝0垂直”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则实数m的值为（　　） A.1　　　　　B.－2 C.1或－2　　 D.－ 3.若直线（2m－1）x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为（　　） A.1　　　　　　　　B.0 C.2　　　　　　　　D.－1或0 考点二　两直线的交点问题 [例3]　（2024·海南海口模拟）若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝（　　） A.4　　　　　　　　B.2 C.　　　　　　　　D. 变式训练 4.已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l的方程是（　　） A.3x－2y－1＝0　　B.3x－2y＋1＝0 C.2x＋3y－5＝0　　D.2x－3y＋1＝0 考点三　距离问题 [例4]　（1）已知三角形的三个顶点A，B，C，则BC边上中线的长为（　　） A.2　　　　　 B. C.11　　　　　 D.3 （2）点P（3，1）到直线l：3x＋4y＋2＝0的距离为（　　） A.2　　　　　　　 B.3 C.　　　　　　　 D.4 （3）（2024·福建厦门模拟）若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是　　　　. 变式训练 5.过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y＝x＋m平行，则的值为（　　） A.6　　　　　　　　B.2 C.　　　　　　　 D.不能确定 6.（2024·广东广州模拟）已知点P（4，a）到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围为　　　　. 考点四 直线系方程 [例5]　过直线x＋2y＋1＝0与直线2x－y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　. [例6]　经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为　　　　. 变式训练 7.求经过A（2，4），且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线l的方程　　　　. 8.过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是　　　　. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 2．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于(　　) A．－6 B．4 C．－10 D．－4 3．四边形ABCD的四个顶点是A(3,0)，B(0,4)，C(4,7)，D(11,6)，则四边形ABCD为(　　) A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 5．直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 6．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、多项选择题 7．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0 8．已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是(　　) A．斜边AB的中点坐标是(3,2) B．|AB|＝2 C．△ABC的面积等于4 D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1) 三、填空题 9．已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________． 10．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标为________． 11．点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________． 12．已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________． 四、解答题 13．(1)已知点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值； (2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等． 14．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，∠B的平分线BN所在直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点B的坐标； (2)直线BC的方程． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第二章　　函数 第二节　两条直线的位置关系 一、课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 二、 命题规律及备考策略 确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是高考考查的热点，往往和圆锥曲线综合起来．题型多为解答题． 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分 【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系 2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用 3.熟练掌握距离计算及其参数求解 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习 三、知识梳理 1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 常用结论 六种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 四、课堂考点突破 考点一　两直线的位置关系 题型一　判断两直线的位置关系 [例1]　（2024·天津模拟）“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [答案]　A [解析]　设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0.若l1与l2平行，则a（a＋1）－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，故a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行.故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充要条件. 题型二　　由两直线的位置关系求参数 [例2]　已知两直线l1：（m－1）x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝　　　　；若l1∥l2，则m＝　　　　. [答案]　3或－2　 [解析]　因为l1：（m－1）x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m（m－1）－6＝0，解得m＝3或m＝－2. 若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝，经检验符合题意. 变式训练 1.“m＝3”是“直线l1：2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：（m－3）x＋2y－5＝0垂直”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由l1⊥l2得，2（m＋1）（m－3）＋2（m－3）＝0，解得m＝3或m＝－2，即m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件. 2.若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则实数m的值为（　　） A.1　　　　　B.－2 C.1或－2　　 D.－ 答案：A 解析：由题意可知2－m（1＋m）＝0，解得m＝－2或m＝1. 经检验，当m＝－2时，两直线重合，不符合题意，舍去；当m＝1时，符合题意.故m的值为1. 3.若直线（2m－1）x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为（　　） A.1　　　　　　　　B.0 C.2　　　　　　　　D.－1或0 答案：D 解析：由题意可知m（2m－1）＋3m＝0，解得m＝0或m＝－1. 考点二　两直线的交点问题 [例3]　（2024·海南海口模拟）若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝（　　） A.4　　　　　　　　B.2 C.　　　　　　　　D. [答案]　A [解析]　解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点， 依题意，＝k，解得k＝4，所以实数k＝4. 变式训练 4.已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l的方程是（　　） A.3x－2y－1＝0　　B.3x－2y＋1＝0 C.2x＋3y－5＝0　　D.2x－3y＋1＝0 答案：C 解析：解方程组得 所以两直线的交点为. 因为直线l的斜率为－， 所以直线l的方程为y－1＝－，即2x＋3y－5＝0. 考点三　距离问题 [例4]　（1）已知三角形的三个顶点A，B，C，则BC边上中线的长为（　　） A.2　　　　　 B. C.11　　　　　 D.3 （2）点P（3，1）到直线l：3x＋4y＋2＝0的距离为（　　） A.2　　　　　　　 B.3 C.　　　　　　　 D.4 （3）（2024·福建厦门模拟）若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是　　　　. [答案]　（1）A　（2）B　（3）2或－6 [解析]　（1）设BC的中点为D，由中点坐标公式得所以D， 所以＝＝＝2. （2）由点到直线的距离公式可得d＝＝3. （3）依题意，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，则直线方程6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或c＝－6. 变式训练 5.过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y＝x＋m平行，则的值为（　　） A.6　　　　　　　　B.2 C.　　　　　　　 D.不能确定 答案：C 解析：由题意知kAB＝1，即＝1，则b－a＝1. 故｜AB｜＝＝＝. 6.（2024·广东广州模拟）已知点P（4，a）到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围为　　　　. 答案：[0，10] 解析：点P到直线的距离为＝. 由≤3，即｜15－3a｜≤15，得0≤a≤10，所以a的取值范围为[0，10]. 考点四 直线系方程 [例5]　过直线x＋2y＋1＝0与直线2x－y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　. [答案]　x－3y＝0或5x＋5y＋4＝0 [解析]　设所求直线方程为x＋2y＋1＋λ（2x－y＋1）＝0，当直线过原点时，1＋λ＝0得，λ＝－1，此时所求直线方程为x－3y＝0；当直线不过原点时，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－.由题意得＝－， 解得λ＝或λ＝－1（舍）， 此时所求直线方程为5x＋5y＋4＝0. 综上所述，所求直线方程为x－3y＝0或5x＋5y＋4＝0. [例6]　经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为　　　　. [答案]　4x－3y＋9＝0 [解析]　法一：由 解得故交点的坐标为. 因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为y－＝，即4x－3y＋9＝0. 法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0. 由可解得交点的坐标为. 将点的坐标代入4x－3y＋m＝0，得m＝9， 故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0. 变式训练 7.求经过A（2，4），且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线l的方程　　　　. 答案：x－2y＋6＝0 解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，∵直线过定点（2，4），∴2－2×4＋m＝0，∴m＝6， ∴直线l的方程为x－2y＋6＝0. 8.过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是　　　　. 答案：2x＋y－10＝0 解析：由解得直线x－2y＋1＝0的斜率为， 故过点（1，8）且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为y－8＝－2（x－1），即2x＋y－10＝0. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 答案　C 解析　直线l1的斜率k1＝＝，直线l2的斜率k2＝－2， 所以＝－2，解得a＝－1，经检验，符合题意． 2．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于(　　) A．－6 B．4 C．－10 D．－4 答案　D 解析　因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，解得a＝10，因为垂足为(1，b)， 故解得 故a＋b＋c＝－4. 3．四边形ABCD的四个顶点是A(3,0)，B(0,4)，C(4,7)，D(11,6)，则四边形ABCD为(　　) A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 答案　D 解析　由kBC＝＝，kAD＝＝， kAB＝＝－，kCD＝＝－， ∵kBC＝kAD，kAB≠kCD， ∴BC∥AD，AB与CD不平行， ∴四边形ABCD为梯形， 又∵kAD·kAB＝－1， ∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形． 4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案　B 解析　因为菱形四条边都相等， 所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行， 直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝， 直线3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝， 于是有＝⇒|c1－c2|＝2. 5．(2024·牡丹江模拟)直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 答案　C 解析　直线y＝x与直线x＝1交于点A， 所以直线l的斜率为－且过点A， 所以直线l的方程为y－＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. 6．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案　B 解析　要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行， 则＝，解得m＝4； 若mx＋y＝0,2x－3my－4＝0平行， 则＝，无解； 若4x＋y－4＝0,2x－3my－4＝0平行， 则＝，解得m＝－； 若三条直线交于一点，可得m＝或m＝－1， 经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个． 二、多项选择题 7．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0 答案　AC 解析　由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点， 当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4， 所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0； 当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时， l的斜率为＝－， 此时直线l的方程是y－2＝－(x－1)， 即3x＋2y－7＝0. 8．已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是(　　) A．斜边AB的中点坐标是(3,2) B．|AB|＝2 C．△ABC的面积等于4 D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1) 答案　ABD 解析　如图，取AB的中点为P(x，y)， 因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形， 所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1， 则kCP＝＝－1，且x－y＝1， 解得 则AB的中点P的坐标为(3,2)，故A正确； |CP|＝＝，|AB|＝2|CP|＝2，故B正确； 所以S△ABC＝|AB||CP|＝×2×＝2，故C错误； 设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3， 所以＝4，所以＝－1，解得＝1， 即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)，故D正确． 三、填空题 9．已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________． 答案　－2　 解析　已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0， 若l1⊥l2，则2＋a＝0，解得a＝－2； 若l1∥l2，则2a＝1，解得a＝，此时直线l2：2x＋y＋6＝0，显然两直线不重合， 故此时l1与l2间的距离d＝＝. 10．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标为________． 答案　 解析　kBC＝＝－， ∴直线BC方程为y－2＝－(x＋2)，即x＋5y－8＝0， 又AD⊥BC，∴kAD＝5， ∴直线AD方程为y＝5x－2，即5x－y－2＝0， 联立解得 故D. 11．点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________． 答案　[0,2] 解析　直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0， 由解得 所以直线过定点P(9，－4)， 当AP与直线垂直时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为 d＝＝2， 当点A在直线上时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最小值为0， 故点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是[0,2]． 12．(2023·临沂模拟)已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________． 答案　x－2y＋4＝0 解析　如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点A′(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点D′(－4,4)，所以BC所在直线的方程为y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0， 令x＝0，则y＝2，所以C点坐标为(0,2)， 所以CD所在直线的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0. 四、解答题 13．(1)已知点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值； (2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等． 解　(1)由题意，得＝4，|3a－26|＝20， 解得a＝2或a＝. (2)设点P(－3b，b)， 由题意，得|OP|＝＝. 点P到直线x＋3y－2＝0的距离为＝， 所以＝，解得b＝±. 即点P的坐标为或. 14．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，∠B的平分线BN所在直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点B的坐标； (2)直线BC的方程． 解　(1)设点B(x0，y0)，由AB中点在2x－y－5＝0上， 可得2×－－5＝0， 即2x0－y0－1＝0， 又x0－2y0－5＝0， 联立 解得即点B(－1，－3)． (2)设点A关于x－2y－5＝0的对称点为A′(x′，y′)， 则有 解得即A′， ∴BC边所在的直线方程为y＋3＝(x＋1)， 即6x－17y－45＝0. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$