期末复习(三)第二十三章 旋转-【宝典训练】2024-2025学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 所以二次函数的解析式为y=一1x(r一1)(x十3)， 当m=2时，一m2十2m十3=3： 即y=-x2-2r十3 所以点P的坐标为(1,4)或(2,3) (2)设P(m,n). 37.解：(1)将A点坐标代人y,得-16十13十c=0.解得e=3。 :△ABP的面积为8，∴之ABm=8,解得a=士4， 六二次函数，的解析式为y,=一2+是十3点B的坐标为0， 分两种情况讨论： 3): ①当n=一4时，-m2-2m+3=-4, (2)由图象得，直线在抛物线上方的部分，是x<0或x>4 解得m=一1士22， .当r<0或>4时y1<y: .P(-1+22,-4),P(-1-22,-40: (3)直线AB为y=一 x+3,线段AB的中点为(2.2)： ②当n一4时，一2一2m十3-4， 7 解得m=一1， AB的垂直平分线为y■3I一6 4 .P(-1,4. 综上所述，在这条抛物线上存在一点P,使△ABP的面积为8，且点P 当x=0时，y=一 P0,-名）当y=0时=名，P 的坐标为（一1十22，一40）或(-1一22，一4)或（一1.）. 34.解：(1)设这种水果售价应降低x元， (o) 根据题意，得(27-一12(20+受×80）-3080， 综上所述，P(o,-）P:(冬0) 解得x1■4，x2=& 38.解：(1)把A,B两点的坐标代入 因为要尽可能让顾客得到实惠，所以，=8符合题意 所以27-x-27-8=19(元). rw用6 =2. 答：这种水果的销售单价定为19元： 所以抛物浅的解析武为y=2十2一3 (2)设这种水果售价降低x元时，超市所获利润为y元 根据题意，得y=(27--12(120+号×80】 ②点P的坐标为（子、马）： (3)抛物线y=x2+2x一3=(x+1)一4. =-40x2+48r+1800=-40(x-6)2+3240 ,对称轴为直线x=一1， 一400，∴.当x=6时，售价为27一6=21（元），此时y有最大值，最 设Q(-1.n).A(-3.0),B(0,一3)， 大值为3240 ①当∠QAB=90时，AQ+AB2=BQ, 答：当销售单价定为21元时，超市所获利润最大，最大利润是3240元 .2十n2+3+3-(-1)十(n十3，解得n=2. 35解：(1)由题意得， .Q1(-1.2): y=r(30-3r)=-3x2+30r ②当∠QBM=90时，BQ+AB=AQ, ∴y与x的函数关系式为y=一3x+3x ,.(-1)2+(n+3)2十32+32=22+n2,解得n=一4， (2)当y=63时，-3x2+30r=63,得x1=7,.x:=3, ∴Q(-1,-4): 当x=7时，30一3r=9<10,符合题怠： ③当∠AQB=90时，BQ+AQ=AB, 当x=3时，30-3x-21>10.不符合题意，含去， .(-1)2+(n+3)2+2+n2=32+3 .当AB的长为7m时，花面的面积为63m: (3)y=-3x2+30x=-3(.x-5)2+75. 解得--3+厘或--3二，厘 2 2 而由题意知，0<30-3x≤10，即 3≤r<10. @(-1.）a(-1,22） ,一3<0，.当x>5时，y随x的增大而减小， ÷当：一号m时面积最大最大面积为智， 综上所述，点Q的坐标是（一1,2）或（一1，一4）或（一1， 36.解：(1)抛物线的解析式为y一一x+2x+3: (2)因为点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则连 3严)(1.） 2 接BC,如答图1， 期末复习（三）一第二十三章旋转 当点M在C与对称轴的交点处时，(M+M取得最小 1.D2.点B150153.D4.A5.B6.D7.D8.D 值，即AM+(M的值最小 9.C10.D11.D12.C 2 13.解：(1)如答图，△AB1C,为所作，顶点 所以抛物线的对称轴为直线x=1 A1,B.C的坐标分别为（一1,4），(-3， 3).(-1,1): 设直线BC为y=k:x十1，则 (2)如答图，△A,B,C,为所作 13k1+b1=0, b1-3. 得伦 所以直线C为y=-t十3.当x=1 14.(1)解：如答图，△ACD即为所求. (2)证明：，△ABD与△A'CD关于点D 时，y=一1+3=2，所以点M的坐标为(1,2)： 对称， (3)令点P的坐标为(m,一m2+2m+3), ,△ABD≌△A'CD. 连接PC,PB,),如答图2， A'C-AB-6.A'D-AD-4.ZCA'D 因为B=(C=3, =∠BAD, 答图 9 所以5g-2×3×3-2, ∴.AA'=8 AC=10. 又因为△PBC的面积为3， AC-AAAC, ,∠CA'D=90, ,.∠BAD=90 15.解：(1)四边形BEGF是正方形. 理由：，四边形ABCD是正方形，，∠ABC=90°， 所以号X3Xm+2×3X(一m2+2m+3)-点。 由旋转可知， 解得m=1或2， ∠F=∠BEC.∠ABF=∠CBE,BE=BF. 当m=1时，一m十2m十3=4： ·∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE. 58 参考答案 即∠EBF=∠ABC=90 :∠AOB+∠AOB=90 又∠BEC=90,∴.∠F=90,∠GEB=90° ∠A'OB+∠A'OB'=90 四边形BEGF为矩形 ∠AOB=∠A'OB. 又'BE=BF, 在△AOB和△AOB'中， ,,四边形BEGF为正方形： I∠AO=∠A'B'O. (2)由(1)知，四边形BEGF为正方形. ∠AO0B=∠AOB', 则令正方形BEGF的边长为，x· 01=0A. .AF+1.BFr. .△A0B2△AOB'(AAS), 在R△ABF中，AF3+BF=AB, .0B=OB'=3.AB=A'B'=2 .(r+1)2+x=5,解得x=3, ,点A'的坐标为(3,2) .AF=AG+GF=3+1=4, 20.解：A(一1,1)，则OA=2,所以0A1=OA■√2，所以点A1的坐 CE=AF-4. 标是(2,0). 16.(1)证明：由旋转可知，∠DCE=60 由点A,B的坐标可知，∠AOB=45°，所以△AOB是等腰直角三角 CD-CE. :△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=60°.AC=BC, 形，所以△A,OB,是等腰直角三角形，且OA,边上的高为号.所以 .∠ACB=∠DCE=60, .∠ACB+∠ACD=∠CE+∠ACD. 点B,的坐标是（停号）】 ·∠BCD=∠ACE BC=AC, 21.120230°28.5 24.2-2 在△BCD和△ACE中.〈∠BCD=∠ACE. CD-CE. 25.(1)证明：：AB-BD,∠ABD-∠ABC-60 .△BCD2△ACE(SAS). ,△ABD是等边三角形，∠DAB=60. ,.∠CBD-∠CAE: ,∠ABC=G0, (2)解：，△BCD≌△ACE,AE=BD=5. AD//BC: ,∠DCE=60,CD=CE, (2)解：结论：DF=2AF .△CDE是等边三角形，.∠CDE=60. 证明：：△ABD是等边三角形 又，∠ADC=30, ∴.AD=BHD ,∠ADE=∠ADC+∠CDE=90. 在△ADF和△BDF中， (AD=BD, 在R△ADE中，DE=√AE-AD=√25-9=4. AF=BF. 17.(1)证明：由旋转性质，得 DF=DF. ∠BAD=∠CAE,AB=AC .△ADF≌△BDF(SSS. AD=BD,∠B=∠BAD. .∠ADF=∠BDF=30°. .AB=AC,∴.∠B=∠IDCA.∴.∠CAE=∠DCA. .DF⊥AB.∠DEB=∠C=90 ..AE//BC: AD//BC. (2)解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： .∠DAF=180°-∠C=90° 由旋转性质，得AD一AE ,∠ADF=30 ADBD...AE=BD. DF=2AF 又，AEBC 26.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ,四边形ABDE是平行四边形。 ..OA=OC.AD//BC. 18.解：(1)，∠A0B-150°，∠B0C-120°， ,∠OMF=∠0E ,,∠A0C=90°. :∠AOF=∠COE 由旋转的性质可知，∠(CD一60° ,△AOF≌△COE(ASA) ∠ADC=∠C=120, ..AF=CE. .∠DA0=360°-60°-90°-120'=90°： “,在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等： (2)线段(0A,()B,0C之间的数量关系是()A2十(B2=(C (2)解：AC绕点O顺时针旋转45时，四边形BEDF是菱形 证明：如答图，连接OD 证明：如答图，连接BF,DE, ,△C绕点C按顺时针方向旋转60得到 由(1)知，△D≌△是， △ADC, OF-OE. ,∴.△ADC≌△B, 当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形 ∠0CD=60. 在R:△ABC中， ∴.CD-(C,∠ADC=∠BC=120°， AD=OB. AB=1,BC=√5 '△OCD是等边三角形， AC=√BC-AB=√5-T=2. ∴C=(D=CD,∠D=∠CL)=60 0A=OC=1..0A=AB. :∠AOB-150,∠BC-120. ∠A0B=45, ∴+∠AOC=90°. .∠A0F=00°-45=45 ,,∠AOD=30,∠AD0=60 ∴，AC绕点O顺时针旋转45时，四边形BEDF是菱形. ,,∠DA0=90, 27.解：(1)∠BFC=60°，BF=FE 在R△ADO中，∠DAO=90. (2)结论成立。 .OA+AD=OD 证明：如容图，作BHDE交DF的延长线于点H. ∴，0A2+0B2=OC2 ,R1△ABC绕点A旋转到Rt△ADE, 19.解：作AB⊥y轴于点B,A'B⊥r轴于点 .AC=AD.AB=AE.DE=BC. B,如答图. AD-AC. :点A的坐标为（一2,3）， .∠ACD=∠ADC. .AB=2,0B=3. -2-1012 ,∠EDF+∠ADC=90 “,点A绕原点O颖阳时针旋转9得到点A', '.∠EDF+∠ACD=90 .∠AOA'=90°，OA=OA 答图 ,∠ACD+∠BCF=90°， 59 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) ∴∠EDF=∠BCF :∠ODC=∠C=∠(GC=90°. :BHDE,∴.∠EDF=∠H,∴.∠H=∠BCF ,四边形OD℃是矩形 ∴，BH=BC=DE 'CE=2.CD=4. 在△HFB和△DFE中， CG=(D=r,(G=CD=4,=r-2, I∠H=∠EDF, BGEGr-2. ∠HFB=∠EFD, 0B2=0G+BG,r2=4+(r-2)2. BH-DE. 解得r=5. ,'△HFB2△DFE(AAS).∴.BF=EF .⊙0的半径为5. ,△DAC,△EAB都是等腰三角形，∠EAB=∠DAC: 44.解：(1)，AM为⊙O的切线 ,∠EBA=∠AD, ,0A⊥AM. .∠BFC=∠BAC=60 :BD LAM,∠OAD=∠BDM=90,.OABD, 期末复习（四）一第二十四章圆 ∴.∠AOC=∠OCB. 1.C2.B3.C4C5.D6.A7.B8.C9.D10.D .OB=OC,.∠OBC=∠OCB 11.C12.D13.B14.D15.B16.A17.A18.C19.B ,OC平分∠AB, 20.(1)80°(2)110°21.2.5122.B23.1+√324.2025.C .∠AOC=∠BC. ,∠BHC=∠(XCB=∠OBC=60°， 26.C27.十二28.60°22126529.5x30.931.6x .∠AB=120°： 32专3860m34经35105-号x36号3.2a (2)过点O作OE⊥D于点E,如答图， ∠BMC=∠OB= 38.22x39.10m40g ∠0BC=60°， ',△(0BC是等边三角形. 41.(1)证明：连接BC交(OD于点E,如答图1， .BE=EC-2. ,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90 :∠OED-∠EDA-∠(OAD-90°. .ACOD,∴.∠OEB=∠ACB=90, ,四边形OADE是矩形， 即OD⊥BC. .DE-(0M=4: OD过圆心O.D=D. .E℃=DC=2. 即点D是BC的中点： 45.(1)证明：如答图，连接0℃，交AD于点H (2)解：连接(OC,过点O作OF⊥AC于点F,如 AC=CD. 答调2· AC=OD=6. .AC=CD C⊥AD,AH=DH ,∴，OC=OA=AC=6. 'CF∥AD, ,△AOC是等边三角形 .∠FO=∠AHO=90. .∠A0C=60 :OC是⊙O的半径，且CF⊥OC, ,OC=0A,OF⊥AC, ∴(CF是⊙O的切线： &∠0F-∠Ac-30 图2 (2)解：：∠FO=90'.∠F=30 cp=00-号×0=a ∠A0C-6m.∴ZD-号∠A0C-30 由勾股定理，得 :∠BAD=∠F=30.,∴.∠D=∠BAD,.CD∥AF .四边形ADCF是平行四边形. OF=√0-CF=√6-32=3g, .CF-AD-6. ∴阴影部分的而积S一S前wr一S6vr 60xX62 360 2×6×33 46.(1)证明：连接OE.X,如客图. :DE与⊙O相切于点E, =6m-93. ,∠OE℃=90. 42.(1)证明：：“点A是BE的中点 在△BC和△E℃中， .在⊙O中，∠ABE=∠C OB=OE. ,BC是⊙O的直径，.∠BAC=90 CB-CE. ,AD⊥BC于点D,∴.∠BAD=∠C, O=OC. ∴.∠ABE=∠BAD ,.△OBC≌△OEC(SSS》,,.∠OBC=∠OEC=90. ..FA=FB: 又OB为⊙O的半径， (2)解：连接A0.(OE,如答图 ,BC为⊙)的切线： AD⊥BC,BD=DO=2, (2)解：过点D作DF⊥BC于点F,如答图，设 △A)是等边三角形， CE=x. 又点A是BE的中点， :CE,CB为⊙)切线 ∠AOB=∠A0E=60°. 答因 ∴CB=CE=x ∠C'=60. ,DE,DA为⊙O的切线， 金的长-青 .DE=DA=1. .DC-r+l. 43.(1)证明：连接(0D,如1答图. :∠DAB=∠ABC=∠DFB=g0°， ,BD是△ABC的角平分线。 ,四边形ADFB为矩形， .∠OBD=∠CBD. .DF=AB-4BF-4AD-4. ,OB=OD,∠OBD=∠ODB, ,FC=r-1, ∴.∠CBD-∠ODB,∴.ODBC, 在R:△CDF中，根据勾股定理，得 ,,∠AIN0)=∠C=90,.0D⊥AC (x+1)2-(x-1D=16. ,点D在⊙O0上， 解得x一4CE-4 ,,AC是⊙()的切线： 47.(1)证明：连接COE,如答图 (2)解：设⊙O的半径为r,则(O沿=(OD=r, ,CD是⊙O的切线， 作(G⊥BE于点G,则G=EG,∠(GB=90“ ∠CDO=90. 60宝典创练|数学·九年级全册(R) 期末复习（三）一 第二十三章 旋转 一、考点过关 6.下列图形中，旋转120°后可以和原图形重 考点1生活中的旋转现象 合的是 1.下列运动属于旋转的是 A.正七边形 B.正方形 C.正五边形 D.正三角形 A.滚动过程中的篮球 考点5坐标与图形的变化 B.一个图形沿某直线对折的过程 7.在平面直角坐标系中，将点N(一1，一2) C,气球升空的运动 绕原点旋转180°，得到的对应点的坐标为 D.钟表钟摆的摆动 ( 考点2旋转三要素 A.(1,-2) B.(-1,2) 2.如图所示，把一个直角三角尺ACB顺时 C.(-1,-2) D.(1,2) 针旋转到△EDB的位置，使得点A落在 8.如图，在平面直角坐标系 CB的延长线上的点E处，则旋转中心是 中，点A的坐标为(3,0)， ,旋转角等于 点B的坐标为(5,2)， 度，∠BDC △OAB绕OB中点C旋转180°，则点A 的度数为 度 的对应点的坐标为 ( A.(-3,0) B.(-5,-2) C.(1,2) D.(2,2) 第2题图 第3题图 第4题图 考点6中心对称图形、轴对称图形的变化 9.以下四个图形中，是中心对称图形的是 考点3旋转的性质 3.如图所示，点A,B,C,D都在方格纸的格 点上，若△COD绕点O按顺时针方向旋 A☆B 转到△AOB的位置，则旋转的角度为 10.观察下列图案，既是中心对称图形又是 ( 轴对称图形的是 A.30°B.45° C.60° D.909 4.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一 ☆孕① 平面内，将△ABC绕点A旋转某个角度 考点7关于原点对称的点的坐标 到△AB'C的位置，使得CC'∥AB,则 11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标 ∠CAB'= 是(5,3)，则点A关于原点对称的点A 的坐标是 A.30° B.35 C.40° D.50 A.(-3,5) B.(3,-5) C.(-3,-5) D.(-5,-3) 考点4旋转对称性 12.在平面直角坐标系中，若点A(-1,a十b 5.把如图的五角星绕着它的中心旋 与点B(a一b,3)关于原点对称，则点 转一定角度后与自身重合，则这 C(a,b)在 个旋转角度可能是 ( A.第一象限 B.第二象限 A.36°B.72 C.90° D.108 C.第三象限 D.第四象限 12 数学·期末复习 ●●● 二、核心考题 15.如图，点E为正方形ABCD内一点， 13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的 ∠BEC=90°.将△BEC绕点B逆时针 三个顶点坐标分别为A(1,一4)，B(3, 旋转90°得到△BFA(点E的对应点为 一3)，C(1,一1)（每个小方格都是边长为 点F),延长CE交AF于点G 一个单位长度的正方形). (1)试判断四边形BEGF的形状，并说明 (1)请画出△ABC关于原点对称的 理由： △ABC1,并写出顶点A1,B,C1 (2)若AB=5,AG=1,求CE的长. 的坐标： (2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转 90°后的△A2B2C2. 14.如图，在△ABC中，点D是BC的中点 (1)画出△ABD关于点D对称的图形： (2)若AB=6,AD=4,AC=10,求证： ∠BAD=90°. 13 宝典创练|数学·九年级全册(R) ●●8 16.如图，在四边形AB 18.如图所示，点O是等边三角形ABC内的 CD中，AC,BD是对 任一点，连接OA,OB,OC,∠AOB= 角线，△ABC是等边 150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按 三角形.线段CD绕点 顺时针方向旋转60得到△ADC. C顺时针旋转60°得到线段CE,连接 (1)求∠DAO的度数： AE.DE. (2)用等式表示线段OA, (1)求证：∠CBD=∠CAE: OB,OC之间的数量关 (2)若∠ADC=30°，AD=3,BD=5,求 系，并证明. DE的长 17.如图，在△ABD中，AD=BD,将△ABD 绕点A逆时针旋转得到△ACE,使点C落 在直线BD上 (1)求证：AEBC: (2)连接DE,判断四边形 ABDE的形状，并说明理由. 14 数学·期末复习 ●●● 19.如图，点A的坐标为（一2,3），将点A绕 一平面内，将△ABC绕点A旋转到 原点O顺时针旋转90得到点A',求点 △AB'C'的位置，使得CC'∥AB,则 A'的坐标. ∠BAB'= 21012 第22题图 第23题图第24题图 23.如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶 点A逆时针旋转30°得到正方形AB,C, D,则它们的公共部分的面积等于 24.如图，在正方形ABCD中，AD=1cm, 将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到 △ABD',A'D'交CD于点E,则DE的 长为 25.如图，将△ABC绕点B逆 时针旋转60得到△DBE, 点E在AB上DE的延长 线与AC相交于点F,连接DA,BF,BF =AF. 20.如图，已知平面直角坐标系上的三个点 (1)求证：DA∥BC: 0(0,0),A(-1,1),B(-1,0),将 (2)猜想线段DF,AF的数量关系，并证 △ABO绕点O按顺时针方向旋转135°， 明你的猜想。 点A,B的对应点为A1,B1,求点A1,B 的坐标 三、满分冲刺 21.正三角形绕其中心旋转一定角度后，与 自身重合，旋转角至少为 22.如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同 15 宝典创练|数学·九年级全册(R) ●● 26.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥ 27.已知Rt△ABC,∠ACB=90°，∠BAC AC,AB=1,BC=5,对角线AC,BD 60°，Rt△ABC绕点A旋转到Rt△ADE 连接BE,CD,并延长CD交BE于点F 相交于点O,将直线AC绕点O顺时针 (1)如图1，当点D在AB边上时，直接写 旋转，分别交BC,AD于点E,F. 出∠BFC的度数，BF与FE的数量 (1)求证：在旋转过程中，线段AF与EC 关系； 总保持相等： (2)如图2，当Rt△ABC绕点A旋转到 (2)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针 图2位置时，上述(1)的两个结论是 否依然成立？如果成立，请予以证 旋转多少度时，四边形BEDF是菱 明：如果不成立，请说明理由. 形，请给出证明 16