28.77 锐角三角函数(1)-【宝典训练】2024-2025学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

第二十八章 锐角三角函数 第77课时 锐角三角函数(1) ● 课标内容 锐角三角函数：利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数，sinA,cosA,tanA. 新课学句 锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A的三角函数如下： ∠A的正弦：sinA= ∠A的对边=a 斜边 ∠A的余弦：c0sA=∠A的邻边 斜边 ∠A的正切：tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 核心考点了锐角三角函数的定义 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则： 1.例如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， sin A= ,sin B= 13 sin A= cos A= cos A= 12 cos B= tan A= tan A= ,tan B= tan B= ,sin B= ,cos B= 3.例在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC= 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则 3,则下列三角函数值中，正确的是( sinA的值是 r AnA=号 且o5A-号 A B c 4 D. CanA-子 n.nB=号 孩心考点2三角函数的综合应用 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,BC 5.(RJ九下P63改编)如图，在 =3,求cosB及∠A的正弦值. Rt△ABC中，∠C=90°，AC =4,BC=2,求sinA,∠A的 A 正切值. )200e 第二十八章锐角三角函数 课堂小结： 锐角三角函数本质上是两条线段的长度的比，没有单位，只与角的大小有关，与三角形的大小无关 过关检 ● 基础训练 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC 7.(RJ九下P64)如图，在Rt△ABC中，∠C= =5. 90°，求sinA和sinB的值. (1)求AB的长： 5 (2)sin A,cos A,tan A,sin B.cos B,tan B 的值. (1) 能力训练 10.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示， 9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，OP交⊙O 则cosB的值为 于点B,PA=8,OA=6,sim∠APO的值为 B A 号 D.1 11.(RJ九下P65改编)将Rt△ABC的各边长都 12.直角三角形纸片的两直角边长分别为6和8， 扩大为原来的3倍，则两锐角的余弦值和正 现像如图那样折叠，使点A与点B重合，折 切值 ( 痕为DE,则tan∠CBE的值是 A.都扩大为原来的3倍 B.都缩小为原来的3 C都不变 D.无法确定 B(A) 拓展训练 13.如图，根据图中数据完成填空或证明. (1)在Rt△ABC中，∠A+∠B= ,请直接写出sinA与cosB的数量关系： (2)将△ABC放大为原来的k倍（或缩小）得到相似△A'B'C',则∠A=∠A',猜想sin A sin A', cos A cosA',tan A tan A'(选填“>”“<”或“=”).选择其一证明. B 放大为原来的k倍 ck ak (战缩小) 》201●高效课堂宝典调练数学九年领全哥(R) 12.D ,CD=EF=3丈=5步，DG=123步，FH=127步， 13.(1)证明：：AB是直径，.∠ADB=90°=∠ACB. 5 123 5 127 ,AF是⊙O的切线，.∠BAF=90°， 六AB123+5D*AB127+1000+BD .AE=AF,∴.∠F=∠AEF=∠BEC, 123 127 ,∠F+∠ABF=∠CEB+∠CBE=90°. ∴123千BD127+1000+BD ∴.∠ABF=∠CBE,.BD平分∠ABC 5 123 (2)解：，：∠F+∠DAF=∠F+∠ABF=90°， 六BD=30750步B123+30750得AB-1255. ∴∠ABF=∠DAF,又'∠F=∠F..△ADF∽△BAF, 答：山峰AB的高度及它和标杆CD的水平距离BD各是 1255步，30750步」 6.(1)证明：如答图，连接OP, AE-AF.ADLEF.DE-DF- ,AP与⊙O相切，.OP⊥PA, .∠PAO+∠A0P=90°， OMLON. .∠POD+∠AOP=90° 14.)证明，HG∥BCA=A ·∠PAO=∠POD. AB AC' 答图 由圆周角定理得∠POD=2∠PBO. '∠HAG=∠BAC,.△AHG△ABC ,.∠PA0=2∠PBO. (2)解：四边形EFGH是矩形，∴.∠HED=∠EHN= (2)5 90°，，AD⊥BC,.四边形HEDN是矩形，EH=x,,.ND 7,解：(b)中“A"高度不变，但与x轴交点为(0,0).(8,0)，顶点 =EH=x,:AD=3,.AN=3-x,△AHG0△ABC, 为(4,4)，与原图的关系为横坐标扩大2倍，纵坐标不变： 8-肥号-G=9- (c)中“A"作平移变换，各顶点坐标为(3,0)，(7,0)，(5,4)：对 3 9 应点的横坐标加3，纵坐标不变： .y=r(9+3x)=-3x+9x(0<r<3). (D中“A”关于x轴作翻折变换，各顶点坐标为(0,0)，(4,0)， 本章数学核心素养 (2,一4)，对应点的横坐标不变，纵坐标变为相反数： 1.解：如答图，四边形EFGH即为所求， (e)中“A”横向不变，纵向扩大2倍，各顶点坐标为(0,0)，(4,0)， (2,8),对应点的横坐标不变，纵坐标扩大2倍： ()中“A”横，纵坐标都扩大2倍，各顶点坐标为(0.0)， (8,0),(4,8). 第二十八章锐角三角函数 第77课时锐角三角函数(1) 新课学习 答图 2.证明：(1)'∠ACD=∠B十∠BAC=∠ACE十∠ECD, a ∠ACE=∠B, 核心讲练 ∴.∠BAC=∠ECD,,∠B=∠D,∴.△ABCP△CDE. 2 ARCACDE-E-S提-S, 3 4 5 又，∠B=∠ACE.,.△ABCc∽△ACE, 2器 12 12 13 5 12 1 12 六把-EAC=AB·AE 3.C4.B 3.解：(1)不相似，理由如下： 5.解：在Rt△ABC中，：∠C=90°..AB=BC+AC AB=30,A'B'=28,BC=20,BC=18, 25,∴simA= C=2=5 而器≠器“图中两个矩形不相似。 (2)若矩形ABCD与A'B'CD相似，则A_BC 6.解：在R△AC中，mB-%-音-子 ABBC· 则002-20202.解得=1.5 30 过关检测 或0200解得=8 7.解：如图(1)：在Rt△ABC中，∠C■90°，AC=5,BC=3, 20 综上所述，当x=1.5或9时，图中的两个矩形相似. ..AB-AC+BC-34. 4.(1)证明：：四边形ABCD为矩形，三角板EFG为直角三 咖A-%-3咖B-6-5 角形， .∠A=∠D=∠CEB=90°， 如图(2)：在Rt△ABC中，：∠C=90,AC=1,BA=√5， .∠AEB+∠ABE=∠AEB+∠CED=90°， ∴BC=√AB-AC=2, .∠ABE=∠CED, :∠A=∠D,∴△ABE0△DEC 血A-需-5mB福-方5 AB 55 (2)解：四边形ABD为矩形， 8.解：(1)在Rt△ABC中 .CD=AB=2 由①得△ABEP△DEC, ∠C=90°，AC=12,BC=5,∴.AB=√/AC+BC=13: 2 (2)sinA=BC。5 24-AE 音B胎品 解得AE一2. AC-12'sin B-AC_12 tan A=BC5 5.解：AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH, AB13' .AB∥CD∥EF,.△CDGn△ABG,△EFHn△ABH, mA指-最mB-瓷-号 器xD需-FH++BD FH 9.号1o.B1.C12 7 34 参考答案 13.(1)90°sinA=cosB(2)== AD-6.AB-VAD+BD=62. 证明：选nA=sinA,:将△AC放大倍（或缩小）得到相 12.解：如答图，作CD⊥AB于D.在R△CDB中，：∠B=30°， 似△A'B'C,.△ABC∽△A'B'C,A'B'=,BC=ak, .CC=∠C=90°， CD-C=6,msB=-设BD=BC·osB=6E 在△ABC中血-%-尝-兰 在R△ACD中，：anA=子： 3 在R△A0中，血A=器-吕血A=血 选其他，同理可证. 解得AD=8, 第78课时锐角三角函数(2)】 答周 ,AC=√CD+AD=10, 新课学习 AB=AD+BD=8+63. 1 d “S6me=号×ABXCD=-24+18E 2.号号是2号号授 13.解：(1)(4,3) 核心讲练 (2)如答图，过点B作BC⊥OA于点C,则∠(CB一∠ACB 1.解：在R△ABC中，：n∠A-号脂-是 =90,在R△0CB中，：0B=5m∠A0B=号% 'AB=15,∴.BC=9. 号BC=30C=VOB-C=.:点A的坐标为 2,解：在R△ABC中，：∠C=90,anA=AC=3· BC 1 (10,0).OA=10,.AC=OA-OC=↑ 10-4=6, 在R1△ACB中，∠ACB=90, 答图 AB-AC+BC-40,..AB-2 10. .AB=√AC+BC=√G+3=35, 3.解：在R△ABC中，：∠C=90,0sA=A元=6 AC 5 六∠0B-%--得 ÷AC-音AB=音×12=10. 第79课时特殊角的三角函数值 新课学习 4.解：在R△ABC中，：cosA=os50°=AC, AB' 2 .AC=AB·0s50°≈640（米）. 5.解：，四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD 3 :DELAB,msA-A部-号 1 核心讲练 ∴.设AE=3k,则AD=5k, 1.D2 (2)1(3)2 (5)1(6)3 .AB=5k,.EB=5k-3k=2k=4. (4) ,.■2，.AD=10,.菱形的周长为4AD=40. 6.解：四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD 2解：as60+m60-(侵)+（慢）-l DELABA-5-景 (2)c0s45 sin 45 -tan45”- 2÷2 -1=0. .设DE=12k,则AD=13k,.AB=13k,AE= √AD-DE=√(I3k)-(12k)F=5k, 3.解：0)2sima-月=0，ina= 号.e=60 .EB=13k-5k=8k=8, .k=1,.AD=13cm,.菱形的周长=4AD=52cm. (2r∠C=0AB=6.c=血A-%-是-号 过关检测 ∴.∠A=45, 7.解：1)在R△ABC中，：∠C=90,AC=2,cosA=AB AC 4.解：(1)，tana-1=0,,tana=1,.a=45. 3AB-3,BC-AB-AC-5 2)am8-识80-5.a=60 OB 过关检测 (2)在Rt△ABC中，.∠C=90°，AB=3,BC=5, 5.D 血A-器-原 6.(1)30°(2)45°(3)60°(4)60° 8.解：在R△ABC中.：anA-AC=音 BC 3 1.解：原式=1-2x号×号2 2· ,∴.设BC=3a,AC=4a. 8解：如A-之+mB-同=0， AB=BC+AC,.8=(3a)+(4a), a=8 BC=8a=3x号- mA-含=0.anB-月=0.nA=分amB=点 .号 :∠A,∠B是锐角.∴∠A=30°，∠B=60". .∠C=180°-∠A-∠B=90°， 10.解：四边形ABCD是矩形， .△ABC是直角三角形. .AD=BC=18,∠ABC=90°， 9.22 tan∠BAC-6-3AB=6∴Sm=6X18=108. 10.解：解方程x2十2x一3=0，得x1=1,x=-3. a为锐角，tnna>0,tana=1,a=45. 11.解：，BD=2CD=6,.CD=3. :.2sin'a+cos a-3tan(a+15) ,AD是△ABC的高， ∠ADC-∠ADB-90anC-0-2 =2()+()-=- 35