21微专题2 一元二次方程的解法综合-【宝典训练】2024-2025学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

数学·九年级·全册( 微专题2一元二次方程的解法徐合 新课标“能熟练选择配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 新课学司 用适当方法解一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0) 方法 特点 解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为(m.x十n)一p,(m≠0，p≥0)的形式，则宜选用 直接开方法 直接开平方法求解 解一元二次方程最基本的方法，它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方，再降次.通 配方法 过配方法可以推出求根公式 解一元二次方程最通用的方法，它适用于解所有的一元二次方程，公式法是直接利用求根公式 公式法 解方程 解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0，另一边易化为两个一次因式的积时，就可 因式分解法 优先选用因式分解法求解 核心考点]用适当方法解一元二次方程 1.【原创】例请在下列方程后面的括号内填写2.解下列方程： 适当的解法，并求出方程的根： (1)(x十2)2=3(x+2): (1)2x2-18=0( 方程的根为x1=,x= (2)4.x2-6.x=0( 方程的根为x1= (3)5.x2+2x-1=0( 方程的根为x= x (4)y2+6y+2=0( (2)(x-1)(x+3)=12. 方程的根为x= t2= (5)9(x-2)=121(x+1)( 方程的根为x= ,2= )14e 第二十一章一元二次方程 核心考点2换元法 3.例阅读材料：解方程(x2一1)2一5(x2一1)+ 4.解下列方程： (1)(4.x-1)2-10(4x-1)-24=0: 4=0, 我们可以将x21视为一个整体，然后设x2 1=y,则(x2一1)2=y2, 原方程化为y2-5y+4=0.① 解得y1=1,y=4. 当y=1时，x2-1=1.∴x2=2,∴.x=土2； 当y=4时，x2-1=4,∴.x”=5,x=士5. ∴.原方程的解为x1=√2，x2=一√2，x1=5, x=-W5. 根据上面的解答，解决下面的问题： (2)(x2+2.x)2-(x2+2x)-6=0. (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想： (2)解方程：x一x2-12=0. 过关检测 基础训练 6.解方程：3.x2=4x+1. 5.解方程：x2-6.x十8=0. 能力训练 7.如果(x-y-2)(x-y十1)=0，那么x-y= 8.若(a2+b)(a2+2+4)=12,则a2+6的值为 A.2 B.-1 A.2或-6 B.-2或6 C.2或-1 D.-2或1 C.6 D.2 拓展训练 9.已知2(x+y)2-3.x-3y-2=0,求x+y的值. )15e高效课堂宝典调练数学九年领全哥(R) (x-2)≥0..(x-2)2+1≥1>0 核心讲练 .代数式x2一4x+5的值总大于零 1,解：(x一8)(xr十3)=0x+3=0或r-8=0,.n=-3,=8. 当(x一2)=0，即x=2时，代数式x2一4r十5有最小值为1. 2.解：(x十2)(x十4)=0，.x十2=0或x十4=0， 11.C12.-1 .x1=一2，r4=-4. 第4课时用公式法解一元二次方程 3.解：z十2x-8=0,(x十4)(x-2)=0,x十4=0或x一2=0， 新课学习 .x=-4,x=2. 【思考1)二b±B一4ac 4.解：(x-2024)(r十1)=0..x-2024=0或x十1=0. a 2a a2 2a .x1=2024,x:=-1. (3)无实数根【归纳】b±y一4a 5.解：(3.r-5)(x十2)=0..3x-5=0或x+2=0. 5 2a =3=-2 核心讲练 1.解：a=1,h=-4,e=-7,.△=6-4ar-16+28=44>0. 6.解：2y2+3y-2=0.(2y-1)(y+2)=0. r=4结延=2士=2+，5=2-m 2y-1=0或y+2=0,∴y= 2为=-2 2×1 过关检测 2.解：，a=2,b=-22,c=1,∴.△■-4ac=8-8=0, 7.解：(x+6)(x-1)=0,x+6=0或x一1=0， -2装-号==号 2 …:=-6x4=1. 2×2 8.解：(r-3)(x十1)=0，x-3=0或x+1=0, 3.解：原方程整理得x2-8.x+17=0,∴a=1,b=-8,=17. ∴=3,4■-1. △=6一4ac=64一68=一4<0，.原方程没有实数根. 9.解：(r一10)(r+9)=0,x一10=0或r+9=0, 4.解：x一2x十4=0，.a=1,b=-2,c■4. x1=10,x1=-9. ,4=b-4a=(-2)2-4×1×4=-12<0. 10.解：(x-3)(x十4)■0，x-3=0或x十4=0， ∴原方程无实数根。 =3,=一4. 过关检测 11.(1)解：(x+3)(3x-4)=0,x+3=0或3.x一4=0， 5.解：3.x2-5x-6.r+10=1,3.x2-11x十9=0， ,,a=3,b=-11,c=9, =-3函= .△=∥-4ac=(-11)-4×3×9=13. (2)解：x+3x-4=0,(x+4)(x-1)=0, "装表-叶Ea-Ⅱ。 ,x十4=0或x一1=0，解得=一4，x2=1. 6 6 12.解：由方程得(x一4)(x一5)=0，解得=4，=5. 6.C7.A8.A AB长是方程x2一9x+20=0的一个根， 9.解：①当x≥3时，原方程可化为x2-(x一3)-3=0，解得 .AB=4或AB=5, =0(不符合题意.舍去)，=1（不符合题意，舍去）： AB=AC,BC=8,∴.2AB>8, ②当x<3时，原方程可化为x2十x一3一3=0，解得， AB>4.AB=5, -3,x1=2. 如答图，过点A作AD⊥BC于点D. 综上所述，原方程的根是x1=一3，x1=2. 则BD=2BC=4. 第5课时用因式分解法解一元二次方程 新课学习 在R1△ABD中，由勾股定理，得 1.(1)(4+b)xx(x-5)(2)(x+2)(x-1)2.00 AD=√AB-BD=√/5-4F=3, 核心讲练 5am=号BC·AD=号×8×3=12， 1,解：x(x十1=0，x=0或x十1m0,x1=0,x=一1， 2.解：x(x一2)+(x-2)=0,(x-2)(x+1)=0, 即等腰三角形ABC的面积是12 x-2=0或x十1=0，x=2.x:=-1. 13.解：①当k=0时，原方程为一2x+2=0,解得x=1. 3.解：整理得4x2-1=0,(2.x十1)(2x-1)=0, ②当k≠0时，原方程可因式分解为(x一1)[kx一（使+2）们=0. 2x+1=0或2x-1=0x=-2=2 1 六x-1=0或r-(+2)=0∴-1，-牛2 4.解：x2-2x十1=0，(x-1)2=0.1=x=1. 微专题2一元二次方程的解法综合 5.解：(2x-1+3-x)(2x-1一3+x)=0, 核心讲练 2x-1+3-x=0或2x-1-3+r-0.∴0=-2-号 3 1.(1)直接开平方法3一3(2)因式分解法0是 6.解：(2x+1-1)=0,4x2=0,1==0. 过关检测 (3)公式法 1+6-1-6（4混方法 -3+7 5 7.C8.C 9.解：2(y-22)=0,y=0或y-22=0,∴1=0，y=22. -3-厅(6直接开平方法一号青 5 10.解：(x-1)(3x-2)=0,x-1=0或3.x-2=0, 2.(1)解：(x十2)-3(x+2)=0,(x十2)(x十2-3)=0， 2 x=1=3 (x+2)(x-1)=0x+2=0或x一1=0， 解得x1=一2，x=1； 11.解：y-9=1,y=10,y=士√10，=10，=-√0 (2)解：x2+2x-15-0,(r+5)(x-3)-0, 12.解：(1)不正确不正确 x十5=0或x一3=0,1=一5,3=3. (2)(2x+1)2-3(2x+1)=0. 3.解：(1)换元转化 (2x十1)(2x+1-3)=0,2.x+1=0或2.x+1-3=0. (2)令a=x,则原方程可化为a2一a-12=0, 解得=一之41 解得a=-3或a=4,.x=一3（合去）或x=4. 解得1=2，r:=-2, 13.-1 故原方程的解是=2，=一2. 微专题1用十字相乘法解一元二次方程 4.(1D解：令4r-1=y.得y-10y-24=0: 新课学习 .(y-12)(y十2)=0，.y-12=0或y+2=0 r+4x-2 y1=12,为=一2， 参考答案 当y=12时，4女-1=12，z=13 方程总有两个实数根 (2)解：把x=1代人方程x2一mx十2m一4=0， 当y=一2时4红-1=-2x=- 得1一m+2m一4=0. 4 解得m=3. ∴方程的解为万一早一子 9.解：：x+2(m一1)x十m十5=0有两个不相等的实数根， (2)解：设y=2+2r,则y-y-6=0. .△=4(m-1)3-4(m十5)>0： 即一8n一16>0，解得1<一2， ∴.(y-3)(y+2)=0,y=3或y=-2. 当y=3时，x2十2x-3=0,x1=-3,x=1: 则|1一m十√m十4m十4=1一m十m十2=1一m一m 当y=一2时，x+2x+2=0,无解. 2=-2m-1. 故方程的解为x=一3=1. 第7课时 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理】 过关检测 新课学习 5.解：(x一2)(x-4)=0,x一2=0或x-4=0 u≠0有实数根≥0 1=2,=4. 6.解：3x一4r一1=0，a=3,b=-4,c=一1， 核心讲练 :4=16-4×3×(-1)=28,解得n=2士互， =2-7 1.6 3 3 2.解：原方程可化为x一3r一8=0， 7.C8.D ,a=1,b=-3,=-8, 9.解：2(x十y)产-3(x+y)-2=0. ,x1十x2=3,x1·x2=-8. 设r+y=1.则21-3-2=0，解得4=-号4=2 x+x:-x=3-(-8)=11. 3.解：：x1,x2是方程x2一4x+2=0的两根， “r+y=-2或2 十x=4,1x=2, ∴.(1)(m+1)(n+1)=n·十(m十)+1=2+4+1=7. 第6课时 一元二次方程根的判别式 (2)x+i=x1(m+)=2X4=8. 新课学习 4.解：“m,n是方程的两个实数根， 两个不相等的两个相等的没有 .m十n=3,mn=一1. 核心讲练 (1)原式=(m+)2一4mn=32一4×（一1）=13. 1.1-2-524> （2)原式=m+t-m十m-2mm-3-2X（-D=-11. 2.解：：a=(-m-4×1×(仔m-1）=m-m+4=>0. 一1 5.解：(1)关于x的方程有两个实数根 ,,方程有两个不相等的实数根 (2)将r=2代入方程，得4-2m+m-1=0, 4=(2m-1)-4X1×m=-n+1≥0，解得m≤ (2)a+3=1-2m,a3=m, 整理，得m2一8m十12=0， :a3+a+月-9,1-2m+m2=9,即m2-2m-8=0, 解得m=2或m=6. 3.解：(1)关于x的一元二次方程有相等的实数根 解得m=一2m:=4,由①知m≤}m=一2. .a十3≠0，且△=a2-4(4+3)=(a-6)(4十2)=0， 6.(1)证明：当x=2时，x一(k十2)x+2k=2一(k+2)×2+ .a=6或a=-2. 2k=0. (2)由(1)知a=6或a=-2, ,对于任意的实数，x=2是这个方程的一个根 当a=6时.原方程可化为9x2一6x十1=0. (2)解：设该方程的另一个根为x, 根据根与系数的关系得2x1=2k,解得1=k, 当a=一2时，原方程可化为x十2+1=0， :该方程两根的平方和等于2k十7，·k十2=2k十7， 整理得k2一2k一3=0，解得k=一1或k=3. 41=x3=一1. 过关检测 4.解：(1)，△=(2m)2一4×1×(m2-2) 7.48.-2 =4n一4m十8 =8>0, 9,解：x1十1=2m一1,1·：=m ,无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 :x十x=2一x1x,即2m一1=2-m2, (2):方程有一个根为3， 整理得m十2m一3=0， .32+6m十m2一2=0， 解得m1=一3，m2=1(经检验，不合题意，舍去). 整理，得m十6m=一7， .m的值为一3. .2m2十12m十2053=2(m十6m)十2053 10.解：十x:=1一2m,1=m2一1， =2×(-7)+2053 x十x=9, =-14+2053=2039. .(十)-2x1=9,即(1一2n)一2(m一1）=9， 过关检测 整理得m2一2m一3=0， 5.B6.B 解得m=3(先检验，不合题意，舍去)或m=一1， 7.解：(1)，方程有两个不相等的实数根， 则m的值为一1. ∴.4=（一4）-4(k-2)×2>0且k-2≠0. 11.解：=x=或=一， 解得k4且k≠2 故k的取值范围是k<4且k≠2. 当6=时，4=0，即(2a-1)-4a=0,解得a= (2)结合(1)可知k=3, ∴.方程x-4x十k=x一4x十3=(x-1)(x一3)=0， 当=一：时，2a-1=0,解得a=令（经检验，不合题意， 解得x1=1,x=3. 舍去). 8.(1)证明：”4=1，b=一m,e=2m一4： 微专题3一元二次方程阶段复习 .4=(一m)一4×1×(2m一4)=m-8m十16=(m一4) 核心讲练 不论m为何值，(m一4)≥0， 1.D2.B3.-34.20245.C6.C ∴.△≥0， 7.解：x2一4.x十1=0，一4ac=(一4)-4×1×1=12，