天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分.考试时间100分钟.祝同学们考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题    共27分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.

3.本卷共9小题，每小题3分，共27分.

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目）

1. 已知直线 ， 下列说法正确的是（    ）

A. 倾斜角为 B. 倾斜角为

C. 方向向量可以是 D. 方向向量可以是

2. 已知椭圆的焦点在轴，焦距为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ）

A. 或 B. 或

C.  D.

4. 已知直线：，：，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 在平行六面体中，若，且与所成的角均为，则（    ）

A. 5 B.  C.  D.

6. 已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列命题错误的是（    ）

A. 椭圆的焦点坐标为

B. 若，则

C. 的周长为16

D. 设，则的最小值为

9. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题共73分）

注意事项：

1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.

2.本卷共11题，共73分.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

10. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.

11. 直线与之间的距离的最大值为______.

12. 若椭圆的离心率为，则______．

13. 如图，在三棱柱中，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则异面直线与所成角的余弦值为______.

14. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．

15. 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 已知的顶点.

（1）求边上的中线所在直线的方程；

（2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.

17. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，.

（1）求证：平面；