2.8 一元二次方程的根与系数的关系-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

全典训练 数学·九年级·全册（北师大版） 第8课时 一元二次方程的根与系数的关系 新课孕司 1.当 时，一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个实数根，即x= -b-6-4ac 2a 二什c.于是，两根之和为五十=b-ac十 2a 2a -b+√-4ac_ 2a ,两根之积为1=一6-=4ac.一b什B-4ac .例如：x 2a 2a b 十3.x十2=0.则a= ,b= ；01十T2= ；x2= a 2.若一元二次方程x十px十q=0的两根分别为x1,x2,则有x1十x2 1:= 核心考点韦达定理 1.已知a,b是方程x+x一3=0的两个实数根， 例1关于x的方程x一x一1=0的两个根分别 则a+b+2024的值是 为x1,x,则x1十x2一12的值为 A.2024 B.2023 C.2022 D.2021 例2若x1,x:是方程2x2+6x一8=0的两个根，2.若x,x是方程2x2一4x一6=0的两个根，求 求下列各式的值：(1)x+:(2)上+1 下列各式的值： (1)(.x1-3)(x-3): (2)(x1-x)2 要熟练掌握以下变形： (1)x12+x22=(x1十x:)-2x1x2: (2)x1"x十x1x22=xx2(x1十x2)； (3)(x1-x:)=(x1十x)-4x1x2: (4)x1-x2|=√（x1十x)2-4.x1x: (5)1+1-+ (6)(x1十a)(x十a)=x1xz+a(x1十xz)+a2. ●》38 第二章一元二次方程 课堂检 ● 基础训练 1.设一元二次方程x2一12.x十3=0的两个实根2.若方程2x2+6x一1=0的两根为x1和x,则 为x1和x2,则x1x2= ( x1十x等于 ( A.-2 B.2 C.-3 D.3 A.6 B.-6 C.3 D.-3 3.(1)若a,b是方程x2十m.x一m=0(m>0)的两 4.已知方程x2一3x十m=0的一个根是x1=1, 个根，则。+的值为 ( 求方程的另一个根x2: A.2m B.-2m C.1 D.-1 (2)已知x1,x2是方程x一3x一1=0的两个 实根，则(x1一2)(x2一2)= 5.关于x的一元二次方程x+3x十m一1=0的两个实数根分别为x1·x2, (1)求m的取值范围： (2)若2(x1十x)十x1x:十10=0，求m的值. 墨能力提升 6.已知关于x的一元二次方程x一(2k+1)x十=0有两个实数根x1和x. (1)求k的取值范围： (2)若方程的两实数根x1,x2满足x1x2一x一x=一9，求实数k的值. ●》39高效课燮宝典训练数学九年级全册（北师大版） 2.解：(1)能.设矩形的一边长度为xcm 4.解：x(x-8)十9(r-8)=0. 则另一边长为(12一x)m,根据题意得x(12一x)=32. (r一8)(x十9)=0. 解得=4，r=8,当一边为4cm时， x一8=0或x十9=0. 另一边为(12一4)=8cm,当一边为8cm时， ∴.71=8,2=-9. 另一边为(12-8)=4cm, 5.解：(5r-4+r)(5r-4-x)=0, 答：长为8cm,宽为4cm, (6x-4)(4x-4)=0. (2)不能，理由：设矩形的一边长度为ym, 6x-4=0或4x-4=0. 则另一边长为(12一y)cm,根据题意得y(12一y)=37, 即5y2-12y十37=0，△=(-12)-4×1×37=-4<0， ∴.原方程没有实数根，∴不能折成面积为37©m的矩形. 6.解：(x-3)-(5-2x)=0. 【课堂检测】 (.r-3+5-2x)(.x-3-5+2x)=0, 1.D2.D3.C4.30m (-+2)(3r-8)=0. 5.解：设道路的宽应为xm, -x+2=0或3x-8=0. 由题意有(30一r)(24一r)=30×24一53， m=2=号 解得x1=53(舍去)，2=1. 7.C8.A 答：修建的路宽为1m, 6.证明：：在方程2-(k+3).x+2k+2=0中， 第8课时 一元二次方程的根与系数的关系 △=[-(k+3)]-4×1×(2k+2)=k-2k+1=(k-1)2>0. 【新课学习】 ,方程总有两个实数根 1.△=8-4uc≥0 ￡132-32 7.解：设垂直于墙的边长为rm 2.-pq (1)x(35-2.x)=150,解得1=10，=7.5. 【核心讲练】 当x=7.5时，35一2x=20>18,不合题意，舍去. 【例1】2 当r=10时，35-2r=15..r=10. 1.B 答：垂直于墙的边长为10m,平行于墙的边长为15m时，鸡 【例2】解：a=2,6=6,c=一8， 场的面积为150m: x1十x2=-3,x1x1=-4. (2).r(35-2x)=180,整理得2x2-35x+180=0. (1)m+x2=(m+x:)2-2x1r=(-3)-2×(-4) <0,.此方程无解. =17: 答：鸡场的面积不能达到180m 第7课时用因式分解法求解一元二次方程 2+-- 【新课学习】 2.解：a=2,b=一4，c=-6. 1,0000 m1+x=2,r1x=-3. 2.(a土b)2(a+b)(a-b) (1)(m-3)(.n-3)=-3(十)+9 3.=3,5=-3 =-3-3×2+9=0: 【核心讲练】 (2)(-A)=(+)'-44n=22-4×(-3)=-16. 【例1】解：r+2=0或x-1=0, 【课堂检测】 x=-2,=1. 1.D2.D3.(1)C(2)-3 L,解：r+3=0或x-4=0. 4.解：依随意得x十=3， m=-3,x2=4. 即1十r2=3,解得=2 【例2】解：x(x一5)=0. ∴方程的另一个根=2 x=0或r-5=0 5.解：(1)方程x2十3x十m一1=0有两个实数根， =0,=5. 4=3-4(m-1)=13-4m≥0解得m<2 2.解：(r+2)(x-1)=0, x+2=0或x-1=0, (2)方程x+3.x十m一1=0的两个实数根分别为，r, 1十2=一3,1=m一1. =-2,x4=1. :2(+2)十十10=0，即一6+(m-1)+10=0, 【例3】解：(.x+1)2-3(x+1)=0, .m=-3. (x+1)(.x+1-3)=0. 6.解：(1)：关于x的一元二次方程x°-(2k+1)x十=0有 x+1=0或x-2=0, 两个实数根， .=-1,2=2. ∴.△=-4ar=[-(2k+1)J-4×1×k≥0. 3.解：(x-3)2-3(x-3)=0, (zx-3-3)(x-3)=0, 解得>一子k的取值范为>- x-6=0或x一3=0， (2):,是关于x的一元二次方程2-(2k+1)x+k x=6,2=3, 0的两个实数根， 【课堂检测】 m,十=2k十1，m1= 1.B2.(1)=-2.2=1(2)12(3)-3 又一一好=一9，即3xr2一(1十x1)=一9， 3.解：x-1=0或x-2=0,=1,的=2 .3k-(2k十1)=-9.∴.k2十4k-8=0. 数考杏宋 解得=一2一23（不符合题意，舍去），k=一-2+23. 【例2】解：设运动时间为rs(0≤r≤6)， .实数k的值为-2+23。 则PB=(12-2x)m, 微专题3一元二次方程阶段训练 CQ=(6一r)cm,依题意， 1,D2.D3.a≠-14.2+4x+5=05.166.C 得2(12-2r)(6-)=16,整理.得-12r+20=0 7.解：(102x2=16,x2=8.x=土22 解得x,=2,x=10(不合题意，舍去). x=22,n=-22. 即当△PQC的面积等于16cm时，运动时间为2s (2).x2-8.x=0,r(x-8)=0,x=0或7-8=0， 2.解：(1)设运动时间为1，根据题意， 1=0,5=8. 知BP=AB-AP=6-1,BQ=2.根据三角形的而积公式， 8.解：2+23x+3-3-1=0. 得2PB·BQ=8,即(6-)=8，整理得r-6+8=0,解得 (x+√5)2-4=0. 1=2或1.故经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm: (x十3)=4. (2)根据勾股定理，得PQ=BP+BQ=(6-1)2+(2)=32, x十3=土2. 1=2-3.x=-2-/3. 5矿-121+4=0，解得名=26=景 9.解：(2r-1)1-(5-x)=0. 故2s或号后，P,Q两点之间的距离等于4互cm (2x-1+5-r)(2x-1-5十x)=0. 【课堂检测】 (x十4)(3x-6)=0. 1.B2.(x-3)(x-2)=203.D x十4=0或3x一6=0. 4.解：设截去的小正方形的边长为xcm. =-4,=2. 依题意得(8-2.x)(6一2x)=24. 10.解：3x(r-2)+5.x-10=0 解得=1，=6（不合题意，舍去）. 3.x(x-2)+5(x-2)=0. (x-2)(3.x+5)=0. ∴x=1. 答：截去的小正方形的边长为1cm x-2=0或3x+5=0. 5.解：(1)设此长方形的宽为xcm,则长为(20一x)cm.根据题 意，得x(20-x)=75, 11.解：(1)2十5.x十4=0，(x十4)(x十1)=0 解得x=5,x=15(舍去) x十4=0或x十1=0，.4=一4，r=一1 答：此长方形的宽是5cm (2)x2+3.x-10=0,(x十5)(x-2)=0, (2)不能.理由：由题意，得x(20一x)=101, x十5=0或x一2=0，∴，=-5，r=2. 即x2-20x+101=0. 12.C13.C 4=202-4×101=-4<0. 14.(1)证明：△=[-(2k+1)-4(k+b)=1>0, .此方程无实数解，故不能围成一个面积为1O1cm的长方形. .所给方程有两个不相等的实数根。 6.3或12 (2)解：①当BC=5为底时，AB=AC,△=0， 第10课时应用一元二次方程(2) 由(1)得4=1≠0，无解： 【新课学习】 ②当BC=5为腰时，则AB.AC中必有一边为5， 1.5(1十x)5(1+x)25(1+x)2=7.2 把x=5代人方程得-一9k十20=0， 2.1000(10+x)(100-10x)(10十x)(100-10.x)=1120 解得k,=4,k=5.当k=4时，原方程为x2-9.x十20=0， 【核心讲练】 1=4.=5, 【例1】解：设这两年图书的年平均增长率为 :4,5,5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意： 则5(1十x)=7.2,解得x1=0.2,=一2.2（含去）. 当=5时，原方程为一11x+30=0, 所以这两年图书的年平均增长率为20%. .r1=5,x2=6, 1.(1)1000(2)20% ,5,5,6能围成等腰三角形， 【例2】10+x500-20.x(10十x)(500-20.x)5元或10元 .k一5符合题意.综合①②得k=4或5. 2.解：设每件童装应降价x元， 151-号 16.3 则(40-x)(20+2x)=1200. 解得=10,1=20. 第9课时应用一元二次方程(1) 要使顾客得到实惠，∴x=20. 【新课学习】 答：每件童装降价20元. 一审，二设，三列，四解、五检验，六答 【课堂检测】 是否是方程的解是否合理 1.C2.B3.2+21+x)+2(1+x)=7.98 【核心讲练】 【例1】B 4(400-(8+号r)=4800 1.解：设这个宽度为rm, 5.解：(1)100 列方程得(8-2z)(6一2x)=24. (2)设二月份到四月份盈利的月平均增长率为x,依题意，得 解得”=1,2=6（舍去）. 100(1十x)=121,解得x=0.1,=一2.1（舍去）. 答：这个宽度为1m. 二月份到四月份盈利的月平均增长率为10%：