第1章 微专题2 核心能力训练-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

全典训练 数学·九年级·全册（北师大版） 微专题2核心能力训练 例I如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD= 1.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB 60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的 上且BE=1,F为对角线AC上一动点，则 一个动点，则PE十PB的最小值为( △BFE周长的最小值为 A.1 A.5 B.3 B.6 C.2 C.7 D.、5 D.8 例2如图，在菱形ABCD中，P是AC上一动2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P是 点，过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于 AD上不与A和D重合的一个动点，过点P 点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为 分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F.则PE 24,则PE+PF= 十PF值为 A.4 C.6 D.48 3.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点O是直线 BD上的动点，OE⊥AB于点E,OF⊥AD于点F. (1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积； (2)如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE十OF的值是否发生变化？请说明理由： (3)如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变，请说明理 由：若变化，请探究OE,OF之间的数量关系。 图2 …y20 第一章特殊平行四边形 例3如图，矩形ABCD中， 4.如图，已知A(0,5),B(12,0),点C是第一象限 AB=8,BC=3,顶点A, 内一动点，且∠ACB=90°，在点C移动过程 B分别在y轴和x轴上， 中，OC的最大值为 当点A在y轴上移动时， 点B也随之在x轴上移 动，在移动过程中，OD的最大值为 例4如图，点G是正方形ABCD对角线CA延长线5.(1)如图1，锐角△ABC中，分别以AB,AC为 上的任意一点，以AG为边作一个正方形 边向外作等边△ABE和等边△ACD,连接 AEFG,连接EB,GD,EB和GD相交于点H. BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并 (1)求证：△EAB≌△GAD: 说明理由： (2)求证：BE⊥DG: (3)若AB=3√2，AG=3,求EB的长， ☒ 【深入探究】 (2)如图2，△ABC中，∠ABC=45°，AB=5cm, BC=3cm,分别以AB,AC为边向外作正 方形ABNE和正方形ACMD,连接BD, 求BD的长； (3)如图3，在(2)的条件下，以AC为直角边在 线段AC的左侧作等腰直角△ACD,直接 写出BD的长. 》21高效课燮宝典训练数学九年级全册（北师大版）】 ,EF⊥BC于点F,,∠F=90 '∠F=∠ABC=∠BAE=90, 3证明：H.G是中点HG/AC,HG-号AC .四边形ABFE是矩形，BD平分∠ABC, 同理EF∥AC,EF=AC, .∠ABD=∠DBC=45..∠AEB=∠EBF=45, 二HG∥EF,HG=EF..四边形EFGH是平行四边形， .∠ABE=∠AEB=45, G,F是中点，.GF∥DB .AB=AE,∴.四边形ABFE是正方形 又，ACL BD,∠DC=90°，.∠HGF=90°， 5.(1)证明：，OD平分∠AOC,0F平分∠C0B. ,口EFGH是矩形 .∠AC=2∠COD,∠COB=2∠COF, 【课堂检测】 ∠A0C+∠B0C=180.∴.2∠C0D+2∠C0F=180°. 1.D2.D3.C4.矩形 .∠COD+∠C0F=90,.∠D0F=90°： 5.(1)证明：：E,F,G,H分别是AC,BC,BD,AD的中点， ,OA=OC,OD平分∠AOC,.OD⊥AC,AD=DC, .∠CD0=90, :EF=AB.GH=AB.EF=GH,同理：EH=FG CF⊥OF,∴∠CFO=90,∴.四边形CDOF是矩形： .四边形EFGH是平行四边形： (2)解：当∠AOC=90时，四边形CDOF是正方形： (2)解：当③时，四边形EFGH是菱形， 理由如下：，∠AOC=90°，AD=DC..OD=DC: 理由：由(1)知，四边形EFCH是平行四边形， 又由(1)知四边形CDOF是矩形， :E,G分别是的对角线AC,BD的中点， .四边形CDOF是正方形：因此，当∠AOC=90时， F,H分别是边BC,AD的中点， 四边形CDOF是正方形. 微专题1中点四边形 ∴EH=号CD,EF=2AB, 【新课学习】 'AB=CD,∴.EH=EF,∴.四边形EFGH是菱形. 【例1】C 故答案为：③ 1,证明：如答图，连接BD 微专题2核心能力训练 E,H是中点，.EH∥BD, 【例1】B EH=专BD.同理FG/BD, 1.B 【例21B FG=BD.∴EH∥FG,EH=FG. 2.4.8 3.解：(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD, .四边形EFGH是平行四边形。 【例2】证明：如答图，连接BD,AC BG=2BD=号×16=8 E,H是中点， 六EH/BD,EH=号BD 由勾股定理得，AG=√AB-BG=6, ∴.AC=24G=2×6=12, 同理FG/BD,FPG=号BD, ∴菱形ABCD的面积号AC,BD=号×12X16=96: 答图 EF/AC,EF=号AC.EH∥FG,EH=F (2)不变.理由：如答图1，连接AO,则SAww=SA十S么m, ,.四边形EFGH是平行四边形 号BDAG=AB0E+号AD0 又：四边形ABCD是矩形，∴AC=BD. EH=EF,∴□EFGH是菱形. 2.解：四边形EFGH是菱形，证明如下：，E,H是中点， ∴EH∥BD.EH=号BD,同理FG∥BD.FG=号BD, .EH∥FG,EH=FG.∴四边形EFGH是平行四边形. 答图1 答图2 :E,F是中点EF=AC 即×16×6=×100E+×100F, 又：AC=BD,EH=EF,.回EFGH是菱形. 【例3】证明：如答图，连接BD,AC交于点O,H,G是中点， 解得OE十OF=9.6是定值，不变： (3)变化.理由：如答图2，连接AO ∴HG∥AC.HG-2AC 则SAD=SaAm1一S么Am· 同理EF∥AC, BD AG-AB.OE-AD.OF. 1 EF-TAC, 即号×16x6=号×100E-号×100F. ∴.HG∥EF,HG=EF 答图 ,四边形EGH是平行四边形. 解得OE-OF=9.6,是定值，不变， :四边形ABCD是菱形，∠AOD=90. .OE+OF的值变化， 又HG∥AC.HE∥DB,∠EHG=9O. OE,OF之间的数量关系为：OE一OF=9.6. 【例3】9 '.□EFGH是矩形. 4.13 【例4】(1)证明：，四边形ABCD,AGFE是正方形 ,四边形BFCE是平行四边形 .AB=AD,AE=AG,∠DAB=∠EAG, :BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD, .∠EAB=∠GAD.∴.△EAB2△GAD. (2)证明：由(1)得△EAB≌△GAD, ∠EBC=∠ABC,∠BCB=∠BCD .∠AEB=∠AGD, 又，四边形ABCD是平行四边形， :∠EMH=∠AMG,∴∠EHG=∠EAG=90, ∴AB∥CD,.∠AB+∠BCD=180 .EB⊥GD. ∴∠EBC+∠ECB=90,∴∠E=90°， (3)解：：△EAB2△GAD,.EB=GD, □BFCE是矩形. 四边形ABCD是正方形，AB=3/2 6.(1)证明：，四边形ABCD是矩形 .AD∥BC,.∠AEF=∠EFC, .BD⊥AC,AC=BD=2AB=6, 由折叠的性质，可得∠AEF=∠CEF,AE=CE,AF=CF, ·∠D0G=90,0A=OD=号BD=3, .∠EFC=∠CEF,.CF=CE, AG=3..0G=0A+AG=6. ∴.AF=CF=CE=AE.∴四边形AFCE为菱形： (2)解：a,b.e三者之间的数量关系式为a=十. .GD=√OD+OG=35.∴.EB=35. 理由：由折登的性质，得CE=AE, 5,解：(1)BD=CE,理由是： :△ABE和△ACD是等边三角形， :AE=a,.CE=AE=a,四边形ABCD是矩形， .∠D=90,在R1△DE中，CE=CD十DE, .AE=AB,AC=AD,∠BAE=∠CAD=60°. ED=b,DC=c,∴.a2=i+c .∠BME+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD, .△EAC≌△BAD,.BD=CE: 第二章一元二次方程 (2)如答图，连接EB,EC, 第1课时一元二次方程(1) 四边形ACMD和四边形ABVE是正方形. 【新课学习】 .AE=AB,AD=AC,∠EAB=∠DAC=90", 1.a.x2+hx+c=0 .∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD, 2.一次项常数项4b .△EAC≌△BAD,.BD=CE 【核心讲练】 ∠EBA=∠ABC=45, 【例1】B ∠EBC=90, 1.C ,AE=AB=5,∠EAB=90, 【例2】B ∴.BE=52, 2.A BC=3. 【例3】B ∴.C=√EB+BC=√5丽， 3.D 答图 【例4】1.x2+x-5=041-5 .BD=EC=/59: x2-5x-4=01-5-4 (3)BD=(5,2-3)cm. x2-4=010-4 第9课时《特殊平行四边形》热门考点整合应用 4.7.x+4.x-3=07x24x 【知识体系构建】 x2+2x-1=0x22x ①直角②相等③相等④直角分相等⑥互相垂直 r2+r+1=0x2r ⑦平分一组对角⑧相等⑨互相垂直四相等回直角 【课堂检测】 【考点复习基础训练】 1.B2.C3.B4.D 【例1】4225 5.2+(x-2)3=102x2-2r-48=0 1.60°25225 6.解：(1)一般形式为4x一x一7=0.二次项系数为4，一次项 【例2】70° 系数为一1，常数项为-7： 2.54 (2)一般形式为x+1=0,二次项系数为1，一次项系数为0， 【例3】证明：，BE∥AC,CE∥DB. 常数项为1. '.四边形OBEC是平行四边形 7.A8.D 又：四边形ABCD是菱形， 9.解：(1)当m一1≠0时，(m一1)x2十(m十1).x十1=0是 .AC⊥BD..∠COB=90 元二次方程，解得m≠士1， '.平行四边形OBEC是矩形 ∴.当m≠士1时，(m一1)x23十(m十1)r十1=0是一元二次 3,证明：D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， 方程： (2)当-1=0，且m+1≠0时，(m-1)x2+(m+1)x+1 DE∥CF,DE=BC.DF∥CE,DF=号AC. =0是一元一次方程，解得m=士1，且m≠一1，m=一1（不 .四边形DECF是平行四边形。 符合题意的要合去)，m■1. :AC=BC,DE=DF.·四边形DFCE是菱形， ∴.当m=1时，(m一1)x2十(m十1)x十1=0是一元一次方程. 【能力提升训练】 第2课时一元二次方程(2) 1.B2.D3.D4.3 【新课学习】 5.证明：：BF∥CE,CF∥BE 1.相等