第1章 微专题1 中点四边形-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

全典训练 数学·九年级·全册（北师大版） 微专题1中点四边形 新课孕司 中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形 例D在四边形ABCD中，AC=4,BD=4,若E,1.如图，顺次连接四边形ABCD的各边中点.求 F,G,H分别为□ABCD各边中点，则四边 证：所得的四边形EFGH是平行四边形. 形EFGH的形状为 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 例2如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD各边中2.如图，在四边形ABCD中，AC=BD,点E,F, 点.求证：四边形EFGH是菱形. G,H分别是各边的中点.四边形EFGH是什 么特殊的四边形？请证明. 例3如图，点E,F,G,H分别是菱形ABCD各3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相 边中点.求证：四边形EFGH是矩形 交于点O,且AC⊥BD,点E,F,G,H分别是 边AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形 EFGH是矩形. ●》18● 第一章特殊平行四边形 课堂总结 矩形或对角线 菱形或对角线 正方形或对角线相 四边形 般四边形 平行四边形 相等的四边形 垂直的四边形 等且垂直的四边形 其中点四边 平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 形的形状 课堂检买 基础训练 2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到的 1.若正方形ABCD各边的中点依次为E,F,G 是一个矩形，则四边形ABCD一定是( H,则四边形EFGH是 A.矩形 A.平行四边形 B.矩形 B.菱形 C.菱形 D.正方形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 3.顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四4.已知四边形ABCD,对角线AC⊥BD.顺次连 边形EFGH,在下列条件中，能使四边形 接其四条边的中点，得到新四边形的形状是 EFGH为矩形的是 A.AB=CD B.AB⊥CD C.AC⊥BD D.AD∥BC 能力提升 5.如图，已知四边形ABCD中，E,G分别是对角线AC,BD的中点，F,H分别是边BC,AD的中点， 顺次连接为EF,FG,GH,EH. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形： (2)选择填空：当 时，四边形EFGH是菱形（①AC=BD,②BC=AD,③AB=CD). ●》19●高效课燮宝典训练数学九年级全册（北师大版）】 ,EF⊥BC于点F,,∠F=90 '∠F=∠ABC=∠BAE=90, 3证明：H.G是中点HG/AC,HG-号AC .四边形ABFE是矩形，BD平分∠ABC, 同理EF∥AC,EF=AC, .∠ABD=∠DBC=45..∠AEB=∠EBF=45, 二HG∥EF,HG=EF..四边形EFGH是平行四边形， .∠ABE=∠AEB=45, G,F是中点，.GF∥DB .AB=AE,∴.四边形ABFE是正方形 又，ACL BD,∠DC=90°，.∠HGF=90°， 5.(1)证明：，OD平分∠AOC,0F平分∠C0B. ,口EFGH是矩形 .∠AC=2∠COD,∠COB=2∠COF, 【课堂检测】 ∠A0C+∠B0C=180.∴.2∠C0D+2∠C0F=180°. 1.D2.D3.C4.矩形 .∠COD+∠C0F=90,.∠D0F=90°： 5.(1)证明：：E,F,G,H分别是AC,BC,BD,AD的中点， ,OA=OC,OD平分∠AOC,.OD⊥AC,AD=DC, .∠CD0=90, :EF=AB.GH=AB.EF=GH,同理：EH=FG CF⊥OF,∴∠CFO=90,∴.四边形CDOF是矩形： .四边形EFGH是平行四边形： (2)解：当∠AOC=90时，四边形CDOF是正方形： (2)解：当③时，四边形EFGH是菱形， 理由如下：，∠AOC=90°，AD=DC..OD=DC: 理由：由(1)知，四边形EFCH是平行四边形， 又由(1)知四边形CDOF是矩形， :E,G分别是的对角线AC,BD的中点， .四边形CDOF是正方形：因此，当∠AOC=90时， F,H分别是边BC,AD的中点， 四边形CDOF是正方形. 微专题1中点四边形 ∴EH=号CD,EF=2AB, 【新课学习】 'AB=CD,∴.EH=EF,∴.四边形EFGH是菱形. 【例1】C 故答案为：③ 1,证明：如答图，连接BD 微专题2核心能力训练 E,H是中点，.EH∥BD, 【例1】B EH=专BD.同理FG/BD, 1.B 【例21B FG=BD.∴EH∥FG,EH=FG. 2.4.8 3.解：(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD, .四边形EFGH是平行四边形。 【例2】证明：如答图，连接BD,AC BG=2BD=号×16=8 E,H是中点， 六EH/BD,EH=号BD 由勾股定理得，AG=√AB-BG=6, ∴.AC=24G=2×6=12, 同理FG/BD,FPG=号BD, ∴菱形ABCD的面积号AC,BD=号×12X16=96: 答图 EF/AC,EF=号AC.EH∥FG,EH=F (2)不变.理由：如答图1，连接AO,则SAww=SA十S么m, ,.四边形EFGH是平行四边形 号BDAG=AB0E+号AD0 又：四边形ABCD是矩形，∴AC=BD. EH=EF,∴□EFGH是菱形. 2.解：四边形EFGH是菱形，证明如下：，E,H是中点， ∴EH∥BD.EH=号BD,同理FG∥BD.FG=号BD, .EH∥FG,EH=FG.∴四边形EFGH是平行四边形. 答图1 答图2 :E,F是中点EF=AC 即×16×6=×100E+×100F, 又：AC=BD,EH=EF,.回EFGH是菱形. 【例3】证明：如答图，连接BD,AC交于点O,H,G是中点， 解得OE十OF=9.6是定值，不变： (3)变化.理由：如答图2，连接AO ∴HG∥AC.HG-2AC 则SAD=SaAm1一S么Am· 同理EF∥AC, BD AG-AB.OE-AD.OF. 1 EF-TAC, 即号×16x6=号×100E-号×100F. ∴.HG∥EF,HG=EF 答图 ,四边形EGH是平行四边形. 解得OE-OF=9.6,是定值，不变， :四边形ABCD是菱形，∠AOD=90. .OE+OF的值变化， 又HG∥AC.HE∥DB,∠EHG=9O. OE,OF之间的数量关系为：OE一OF=9.6. 【例3】9 '.□EFGH是矩形. 4.13