1.8 正方形的性质与判定(2)-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

全典训练 致学·九年级·全册（北师大版） 第8课时 正方形的性质与判定(2)》 新课孕司 定义：有一组邻边 ,并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形 几何语言：，四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,∠A=90°，∴.□ABCD是正 方形 判定定理： 图示 判定(1) 判定(2) 判定(3) 判定(4) 有一组邻边 对角线 一个角是 对角线 的 的矩形是正方形. 的矩形是正方形. 的菱形是正方形 菱形是正方形 几何语言： 几何语言： 几何语言： 几何语言： ,AB=BC,四边 ,AC⊥BD,四边 ,∠ABC=90°，四 AC=BD,四边 形ABCD是矩 形ABCD是矩形， 边形ABCD是菱 形ABCD是菱形， 形，.矩形ABCD ∴.矩形ABCD是 形，.菱形ABCD ∴.菱形ABCD是 是正方形 正方形. 是正方形。 正方形. 核心考点)正方形的判定 例D已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正 方形，那么这个条件可以是 ( A.∠D=909 B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD 1.如图，矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于BC边上一点E,点F为矩形外一点，四边 形AEDF为平行四边形.求证：四边形AEDF是正方形. 16 第一章特殊平行四边形 课堂检 基础训练 1.下列说法不正确的是 )2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD= A.一组邻边相等的矩形是正方形 ∠CDA=90°，对角线AC与BD相交于点O. B.对角线互相垂直的矩形是正方形 若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形 C.对角线相等的菱形是正方形 ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 D.有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是 正方形 3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC ∠ACB,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,求 的平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线 证：四边形CFDE是正方形 于点E,过点E作EF⊥BC交其延长线于点F. 求证：四边形ABFE是正方形. 圆能力提升 5.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥ OF于点F. (1)求证：四边形CDOF是矩形： (2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由. 》17数考杏宋 同理：∠E=90°，∠DHC=90, 【核心讲练】 ∠GHE=90°..四边形EFGH是矩形. 【例1】(1)21(2)8 【课堂检测】 1.C 1.D2.①②⑥③④@ 【例2】证明：：四边形ABCD是正方形， 3.解：(1)BD=CD.理由如下： .AD=CD,∠ADE=∠CDE, 依题意得AF∥BC,.∠AFE=∠DCE, 又.DE=DE,∴.△ADE≌△CDE.AE=CE E是AD的中点，.AE=DE, 2.(1)证明：，四边形ABD是正方形，△EBC是等边三角形， 又，∠AEF=∠DEC, .BA=BC=CD=BE=CE. .△AEF2△DEC(AAS),∴.AF=CD. ∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60° .AF-BD...BDCD: .∠ABE=∠ECD=30°，∴△ABE≌△DCE(SAS): (2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形 (2)解：BA=BE,∠ABE=30°， 理由如下： ,AF∥BD,AF=BD,,四边形AFBD是平行四边形， ∠BAE=含180-30)=75， AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90(三线合一)， ∠BAD=90.∴.∠EAD=90°-75=15， .□AFBD是矩形. 同理可得∠ADE=15°， 第6课时 矩形的性质与判定(3) ∴∠AED=180°-15-15=150. 【新课学习】 【课堂检测】 相等两条 平行四边相等三 1.B2.B3.75°4.22.5 【核心讲练】 5.证明：四边形ABCD是正方形， 【例1】解：：四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°，BC=CD..∠BCF+∠FCD=90°， 0A-0C-OB-OD-BD-TAC. :△ECF是等腰直角三角形，∠ECF=90°， ∴CF=CE.∠ECD+∠FCD=9O. 点E,F分别是OC,BC的中点， ∴.∠BCF=∠ECD.∴.△BCF≌△DCE ∴，EF是△COB的中位线，EF=5cm, 6,解：BE-DF,且BE⊥DF,理由如下： :'.OB=2EF-10 cm.:.AC-20B-20 cm. ,四边形ABCD是正方形，.BC=DC,∠BCE=90 1.解：四边形OCED是菱形，.DE=OC=OD=CE=2, ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90 .∠A0D=120°，∴.∠COD=60°， .∠BCE=∠DCF, △OCD是等边三角形，∴.OD=OC=CD=2, 又，CE=CF..△BCE≌△DCF..BE=DF 四边形ABCD是矩形，.AC=2OC=4, 如答图所示，延长BE交DF于点M .AD=/AC-CD=16-4=25, ,'△BCE≌△DCF,.∠CBE=∠CDF .矩形ABCD的面积=2×23=4V3. ∠DCF=90'..∠CDF+∠F=g0 【例2】证明：，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴∠CBE+∠F=90 ∴AC⊥BD.BE∥AC.CE∥BD. ∴.∠BMF=90°.，BE⊥DF ∴.∠BOC=∠(OCE=∠OBE=90 7.B8.B ∴.四边形OBEC是矩形. 第8课时正方形的性质与判定(2】 2.证明：：四边形ABDE是平行四边形， 【新课学习】 .BD∥AE,BD=AE. 相等直角相等互相垂直直角相等 又'BD=CD,.AE=CD. 【核心讲练】 .四边形ADCE是平行四边形. 【例1】D ,'AB=AC,BD=CD,∴.AD⊥BC 1.证明：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠CDA=90, ∠ADC=90..口ADCE是矩形. :AE,DE平分∠BAD与∠CDA, 【例3】5.8 ∴∠EAD=寸∠BAD=45.∠EDA=∠CDA=45 3.1.5 .∠EAD=∠EDA,.AE=DE, 【课堂检测】 :∠EAD+∠EDA+∠AED=18O, 1.B2.B3.44.15 ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 5,证明：，点O为AB的中点，.A=OB. 又：四边形AEDF为平行四边形， OE=OD,.四边形AEBD是平行四边形， ∴四边形AEDF是正方形. AB=AC,AD是∠BAC的平分线， 【课堂检测】 AD⊥BC,.∠ADB=90, 1.D2.AB=BC(或AC⊥BD等) .四边形AEBD是矩形. 3.证明：：DE⊥BC,DF⊥AC, 6.4.8 ∴.∠CFD=∠DEC=∠FCE=90 第7课时正方形的性质与判定(1)】 .四边形CFDE是矩形.又，CD平分∠ACB. 【新课学习】 .DF=DE..四边形CFDE是正方形. 相等直角菱形矩形直角相等相等垂直平分 4.证明：AE∥BC,∠ABC=90°， 四两条对角线 ∴.∠ABC+∠BAE=180,∠BAE=90°， 3 高效课燮宝典训练数学九年级全册（北师大版）】 ,EF⊥BC于点F,,∠F=90 '∠F=∠ABC=∠BAE=90, 3证明：H.G是中点HG/AC,HG-号AC .四边形ABFE是矩形，BD平分∠ABC, 同理EF∥AC,EF=AC, .∠ABD=∠DBC=45..∠AEB=∠EBF=45, 二HG∥EF,HG=EF..四边形EFGH是平行四边形， .∠ABE=∠AEB=45, G,F是中点，.GF∥DB .AB=AE,∴.四边形ABFE是正方形 又，ACL BD,∠DC=90°，.∠HGF=90°， 5.(1)证明：，OD平分∠AOC,0F平分∠C0B. ,口EFGH是矩形 .∠AC=2∠COD,∠COB=2∠COF, 【课堂检测】 ∠A0C+∠B0C=180.∴.2∠C0D+2∠C0F=180°. 1.D2.D3.C4.矩形 .∠COD+∠C0F=90,.∠D0F=90°： 5.(1)证明：：E,F,G,H分别是AC,BC,BD,AD的中点， ,OA=OC,OD平分∠AOC,.OD⊥AC,AD=DC, .∠CD0=90, :EF=AB.GH=AB.EF=GH,同理：EH=FG CF⊥OF,∴∠CFO=90,∴.四边形CDOF是矩形： .四边形EFGH是平行四边形： (2)解：当∠AOC=90时，四边形CDOF是正方形： (2)解：当③时，四边形EFGH是菱形， 理由如下：，∠AOC=90°，AD=DC..OD=DC: 理由：由(1)知，四边形EFCH是平行四边形， 又由(1)知四边形CDOF是矩形， :E,G分别是的对角线AC,BD的中点， .四边形CDOF是正方形：因此，当∠AOC=90时， F,H分别是边BC,AD的中点， 四边形CDOF是正方形. 微专题1中点四边形 ∴EH=号CD,EF=2AB, 【新课学习】 'AB=CD,∴.EH=EF,∴.四边形EFGH是菱形. 【例1】C 故答案为：③ 1,证明：如答图，连接BD 微专题2核心能力训练 E,H是中点，.EH∥BD, 【例1】B EH=专BD.同理FG/BD, 1.B 【例21B FG=BD.∴EH∥FG,EH=FG. 2.4.8 3.解：(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD, .四边形EFGH是平行四边形。 【例2】证明：如答图，连接BD,AC BG=2BD=号×16=8 E,H是中点， 六EH/BD,EH=号BD 由勾股定理得，AG=√AB-BG=6, ∴.AC=24G=2×6=12, 同理FG/BD,FPG=号BD, ∴菱形ABCD的面积号AC,BD=号×12X16=96: 答图 EF/AC,EF=号AC.EH∥FG,EH=F (2)不变.理由：如答图1，连接AO,则SAww=SA十S么m, ,.四边形EFGH是平行四边形 号BDAG=AB0E+号AD0 又：四边形ABCD是矩形，∴AC=BD. EH=EF,∴□EFGH是菱形. 2.解：四边形EFGH是菱形，证明如下：，E,H是中点， ∴EH∥BD.EH=号BD,同理FG∥BD.FG=号BD, .EH∥FG,EH=FG.∴四边形EFGH是平行四边形. 答图1 答图2 :E,F是中点EF=AC 即×16×6=×100E+×100F, 又：AC=BD,EH=EF,.回EFGH是菱形. 【例3】证明：如答图，连接BD,AC交于点O,H,G是中点， 解得OE十OF=9.6是定值，不变： (3)变化.理由：如答图2，连接AO ∴HG∥AC.HG-2AC 则SAD=SaAm1一S么Am· 同理EF∥AC, BD AG-AB.OE-AD.OF. 1 EF-TAC, 即号×16x6=号×100E-号×100F. ∴.HG∥EF,HG=EF 答图 ,四边形EGH是平行四边形. 解得OE-OF=9.6,是定值，不变， :四边形ABCD是菱形，∠AOD=90. .OE+OF的值变化， 又HG∥AC.HE∥DB,∠EHG=9O. OE,OF之间的数量关系为：OE一OF=9.6. 【例3】9 '.□EFGH是矩形. 4.13