1.7 正方形的性质与判定(1)-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

全典训练 数学·九年级·全册（北师大版） 第7课时 正方形的性质与判定(1)》 新课孕司 定义：有一组邻边 ,并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形. 探索性质：从定义上看，正方形既是 ,又是 ,因此它具有菱形和矩形的所有性质： (1)正方形的四个角都是 ,四条边 (2)正方形的对角线 且互相 (3)正方形的对称性： ①正方形是轴对称图形，共有 条对称轴，分别为两条对角线所在的直线和过每一组对 边中点的两条直线。 ②正方形是中心对称图形，对称中心是 的交点 核心考点了利用正方形的性质计算 1.如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE 例D如图，正方形ABCD的对角线相交于点O, =30°，DE⊥CF,则BF的长是 (1)若周长为4，则对角线长 A.1 为 ,面积为 B.2 (2)图中共有 个等腰直 C.3 角三角形. D.2 核心考点2利用正方形的性质证明 2.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边 例2如图，点E是正方形ABCD对角线BD上 三角形.(1)求证：△ABE≌△DCE:(2)求 的一点.求证：AE=CE. ∠AED的度数. ●》14● 第一章 特殊平行四边形 课堂检 ● 退基础训练 2.若正方形的对角线长为2cm,则这个正方形的 1.正方形具有而菱形不一定有的性质是( 面积为 A.对角线互相垂直 B.对角线相等 A.4 cm2 B.2 cm2 C.对角相等 D.邻边相等 C.√2cm D.2√2cm 3.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作 4.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC 等边△ABE,连接EC,则∠BEC的度数为 延长线上的一点，且AC=EC,则∠DAE D 5.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰6.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点， 直角三角形，∠ECF=90°，求证：△BCF F为BC延长线上一点，且CE=CF.BE与 ≌△DCE. DF之间有怎样的关系？请说明理由。 能力提升 8.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠， 7.如图，正方形ABCD中，AE=AB,直线DE交 使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若 BC于点F,则∠BEF BE:EC=2:1,则线段CH的长是( A.35 A.3 D B.45 B.4 C.55 C.5 D.60 D.6 0>15-数考杏宋 同理：∠E=90°，∠DHC=90, 【核心讲练】 ∠GHE=90°..四边形EFGH是矩形. 【例1】(1)21(2)8 【课堂检测】 1.C 1.D2.①②⑥③④@ 【例2】证明：：四边形ABCD是正方形， 3.解：(1)BD=CD.理由如下： .AD=CD,∠ADE=∠CDE, 依题意得AF∥BC,.∠AFE=∠DCE, 又.DE=DE,∴.△ADE≌△CDE.AE=CE E是AD的中点，.AE=DE, 2.(1)证明：，四边形ABD是正方形，△EBC是等边三角形， 又，∠AEF=∠DEC, .BA=BC=CD=BE=CE. .△AEF2△DEC(AAS),∴.AF=CD. ∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60° .AF-BD...BDCD: .∠ABE=∠ECD=30°，∴△ABE≌△DCE(SAS): (2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形 (2)解：BA=BE,∠ABE=30°， 理由如下： ,AF∥BD,AF=BD,,四边形AFBD是平行四边形， ∠BAE=含180-30)=75， AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90(三线合一)， ∠BAD=90.∴.∠EAD=90°-75=15， .□AFBD是矩形. 同理可得∠ADE=15°， 第6课时 矩形的性质与判定(3) ∴∠AED=180°-15-15=150. 【新课学习】 【课堂检测】 相等两条 平行四边相等三 1.B2.B3.75°4.22.5 【核心讲练】 5.证明：四边形ABCD是正方形， 【例1】解：：四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°，BC=CD..∠BCF+∠FCD=90°， 0A-0C-OB-OD-BD-TAC. :△ECF是等腰直角三角形，∠ECF=90°， ∴CF=CE.∠ECD+∠FCD=9O. 点E,F分别是OC,BC的中点， ∴.∠BCF=∠ECD.∴.△BCF≌△DCE ∴，EF是△COB的中位线，EF=5cm, 6,解：BE-DF,且BE⊥DF,理由如下： :'.OB=2EF-10 cm.:.AC-20B-20 cm. ,四边形ABCD是正方形，.BC=DC,∠BCE=90 1.解：四边形OCED是菱形，.DE=OC=OD=CE=2, ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90 .∠A0D=120°，∴.∠COD=60°， .∠BCE=∠DCF, △OCD是等边三角形，∴.OD=OC=CD=2, 又，CE=CF..△BCE≌△DCF..BE=DF 四边形ABCD是矩形，.AC=2OC=4, 如答图所示，延长BE交DF于点M .AD=/AC-CD=16-4=25, ,'△BCE≌△DCF,.∠CBE=∠CDF .矩形ABCD的面积=2×23=4V3. ∠DCF=90'..∠CDF+∠F=g0 【例2】证明：，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴∠CBE+∠F=90 ∴AC⊥BD.BE∥AC.CE∥BD. ∴.∠BMF=90°.，BE⊥DF ∴.∠BOC=∠(OCE=∠OBE=90 7.B8.B ∴.四边形OBEC是矩形. 第8课时正方形的性质与判定(2】 2.证明：：四边形ABDE是平行四边形， 【新课学习】 .BD∥AE,BD=AE. 相等直角相等互相垂直直角相等 又'BD=CD,.AE=CD. 【核心讲练】 .四边形ADCE是平行四边形. 【例1】D ,'AB=AC,BD=CD,∴.AD⊥BC 1.证明：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠CDA=90, ∠ADC=90..口ADCE是矩形. :AE,DE平分∠BAD与∠CDA, 【例3】5.8 ∴∠EAD=寸∠BAD=45.∠EDA=∠CDA=45 3.1.5 .∠EAD=∠EDA,.AE=DE, 【课堂检测】 :∠EAD+∠EDA+∠AED=18O, 1.B2.B3.44.15 ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 5,证明：，点O为AB的中点，.A=OB. 又：四边形AEDF为平行四边形， OE=OD,.四边形AEBD是平行四边形， ∴四边形AEDF是正方形. AB=AC,AD是∠BAC的平分线， 【课堂检测】 AD⊥BC,.∠ADB=90, 1.D2.AB=BC(或AC⊥BD等) .四边形AEBD是矩形. 3.证明：：DE⊥BC,DF⊥AC, 6.4.8 ∴.∠CFD=∠DEC=∠FCE=90 第7课时正方形的性质与判定(1)】 .四边形CFDE是矩形.又，CD平分∠ACB. 【新课学习】 .DF=DE..四边形CFDE是正方形. 相等直角菱形矩形直角相等相等垂直平分 4.证明：AE∥BC,∠ABC=90°， 四两条对角线 ∴.∠ABC+∠BAE=180,∠BAE=90°， 3