1.6 矩形的性质与判定(3)-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

全典训练 数学·九年级·全册（北师大版） 第6课时 矩形的性质与判定(3) 新课学司 图示 性质 判定 1.矩形四个角是直角. 1.定义法：有一个角是直角的 2.矩形的对角线 形是矩形. 3.矩形的对称性： 2.判定定理： ①矩形是轴对称图形，共有 对 定理1：对角线 的平 0 称轴，对称轴是过每一组对边中点 行四边形是矩形. 的两条直线， 定理2：有 个角是直角 ②矩形是中心对称图形，对称中心是 的四边形是矩形 两条对角线的交点： ● 核心考点)矩形的性质 1.如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点， 例D如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 四边形OCED为菱形，并且∠AOD=120°， 于O,E,F分别是OC,BC的中点.若EF= DE=2,求矩形ABCD的面积. 5cm,求AC的长. 核心考点2矩形的判定 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC上 例2如图，菱形ABCD的对角线AC.BD相交 点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE, 于点O,BE∥AC.CE∥BD.求证：四边形 连接AD,EC.若BD=CD,求证：四边形 OBEC是矩形. ADCE是矩形. ●》12● 第一章特殊平行四边形 核心考点3矩形的折叠问题 例3在矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=3.如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点 10cm,按如图方式折叠，使点B与点D重 E在边CD上)，折叠后顶点D恰好落在边BC 合，折痕为EF,则DE= cm. 上的点F处，若AD=5,AB=4,则EC的长是 课堂检列 基础训练 2.下列命题正确的是 1.四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分，要 A.有一个角是直角的四边形是矩形 使它成为矩形，需要添加的条件是 B.有三个角是直角的四边形是矩形 A.AB=CD B.AC=BD C.对角线相等的四边形是矩形 C.AB=BC D.AC⊥BD D.对角线互相平分的四边形是矩形 3.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O且4.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE AC=8,如果∠AOD=60°，那么AD =BD,连接AE,如果∠ADB=30°，则∠E 5.如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E, 使OE=OD,连接AE,BE.求证：四边形AEBD是矩形. 圆能力提升 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作 AC和BD的垂线，垂足为E,F,则PE十PF值为 0》13数考杏宋 同理：∠E=90°，∠DHC=90, 【核心讲练】 ∠GHE=90°..四边形EFGH是矩形. 【例1】(1)21(2)8 【课堂检测】 1.C 1.D2.①②⑥③④@ 【例2】证明：：四边形ABCD是正方形， 3.解：(1)BD=CD.理由如下： .AD=CD,∠ADE=∠CDE, 依题意得AF∥BC,.∠AFE=∠DCE, 又.DE=DE,∴.△ADE≌△CDE.AE=CE E是AD的中点，.AE=DE, 2.(1)证明：，四边形ABD是正方形，△EBC是等边三角形， 又，∠AEF=∠DEC, .BA=BC=CD=BE=CE. .△AEF2△DEC(AAS),∴.AF=CD. ∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60° .AF-BD...BDCD: .∠ABE=∠ECD=30°，∴△ABE≌△DCE(SAS): (2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形 (2)解：BA=BE,∠ABE=30°， 理由如下： ,AF∥BD,AF=BD,,四边形AFBD是平行四边形， ∠BAE=含180-30)=75， AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90(三线合一)， ∠BAD=90.∴.∠EAD=90°-75=15， .□AFBD是矩形. 同理可得∠ADE=15°， 第6课时 矩形的性质与判定(3) ∴∠AED=180°-15-15=150. 【新课学习】 【课堂检测】 相等两条 平行四边相等三 1.B2.B3.75°4.22.5 【核心讲练】 5.证明：四边形ABCD是正方形， 【例1】解：：四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°，BC=CD..∠BCF+∠FCD=90°， 0A-0C-OB-OD-BD-TAC. :△ECF是等腰直角三角形，∠ECF=90°， ∴CF=CE.∠ECD+∠FCD=9O. 点E,F分别是OC,BC的中点， ∴.∠BCF=∠ECD.∴.△BCF≌△DCE ∴，EF是△COB的中位线，EF=5cm, 6,解：BE-DF,且BE⊥DF,理由如下： :'.OB=2EF-10 cm.:.AC-20B-20 cm. ,四边形ABCD是正方形，.BC=DC,∠BCE=90 1.解：四边形OCED是菱形，.DE=OC=OD=CE=2, ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90 .∠A0D=120°，∴.∠COD=60°， .∠BCE=∠DCF, △OCD是等边三角形，∴.OD=OC=CD=2, 又，CE=CF..△BCE≌△DCF..BE=DF 四边形ABCD是矩形，.AC=2OC=4, 如答图所示，延长BE交DF于点M .AD=/AC-CD=16-4=25, ,'△BCE≌△DCF,.∠CBE=∠CDF .矩形ABCD的面积=2×23=4V3. ∠DCF=90'..∠CDF+∠F=g0 【例2】证明：，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴∠CBE+∠F=90 ∴AC⊥BD.BE∥AC.CE∥BD. ∴.∠BMF=90°.，BE⊥DF ∴.∠BOC=∠(OCE=∠OBE=90 7.B8.B ∴.四边形OBEC是矩形. 第8课时正方形的性质与判定(2】 2.证明：：四边形ABDE是平行四边形， 【新课学习】 .BD∥AE,BD=AE. 相等直角相等互相垂直直角相等 又'BD=CD,.AE=CD. 【核心讲练】 .四边形ADCE是平行四边形. 【例1】D ,'AB=AC,BD=CD,∴.AD⊥BC 1.证明：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠CDA=90, ∠ADC=90..口ADCE是矩形. :AE,DE平分∠BAD与∠CDA, 【例3】5.8 ∴∠EAD=寸∠BAD=45.∠EDA=∠CDA=45 3.1.5 .∠EAD=∠EDA,.AE=DE, 【课堂检测】 :∠EAD+∠EDA+∠AED=18O, 1.B2.B3.44.15 ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 5,证明：，点O为AB的中点，.A=OB. 又：四边形AEDF为平行四边形， OE=OD,.四边形AEBD是平行四边形， ∴四边形AEDF是正方形. AB=AC,AD是∠BAC的平分线， 【课堂检测】 AD⊥BC,.∠ADB=90, 1.D2.AB=BC(或AC⊥BD等) .四边形AEBD是矩形. 3.证明：：DE⊥BC,DF⊥AC, 6.4.8 ∴.∠CFD=∠DEC=∠FCE=90 第7课时正方形的性质与判定(1)】 .四边形CFDE是矩形.又，CD平分∠ACB. 【新课学习】 .DF=DE..四边形CFDE是正方形. 相等直角菱形矩形直角相等相等垂直平分 4.证明：AE∥BC,∠ABC=90°， 四两条对角线 ∴.∠ABC+∠BAE=180,∠BAE=90°， 3