1.5 矩形的性质与判定(2)-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

全典训练 数学·九年级·全册（北师大版） 第5课时 矩形的性质与判定(2) 新课孕司 矩形的定义： 的平行四边形是矩形。 探究：如图，四边形ABCD是平行四边形.当AC和BD满足什么数量关系时，四边形ABCD是 矩形 0 归纳总结：矩形判定定理1：对角线 的平行四边形是矩形. 几何语言：：四边形ABCD是 ∴四边形ABCD是矩形 思考：下列命题正确的是 A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.有两个角是直角的四边形是矩形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 归纳总结：矩形判定定理2：有 个角是直角的四边形是矩形 几何语言： ,.四边形ABCD是矩形 讲练 核心考点利用“矩形的定义“证明矩形 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，EG∥CB,1.如图，M是平行四边形ABCD边AD的中点， FG∥CA.求证：四边形EGFC是矩形. 且MB=MC,求证：四边形ABCD是矩形. ●》10● 第一章特殊平行四边形 核考点2利用“矩形的判定1“证明矩形 例2如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2.求证：□ABCD是矩形. 核心考点③利用“矩形的判定2"证明矩形 【例3如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证：四边形EFGH是矩形. 课堂档测 基础训练 2.在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点 1.下列说法错误的是 O,从①AB=CD:②AB∥CD:③OA=OC:④ A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形 OB=OD:⑤AC=BD:⑥∠ABC=90°这六个 B.矩形对角线相等且互相平分 条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩 C.对角线相等的平行四边形是矩形 形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形.请再写 D.有两个角是直角的四边形是矩形 出符合要求的两个： 能力提升 3.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延 长线于点F,且AF=BD,连接BF (1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由： (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由. 0》11●高效课燮宝典训练数学九年级全册（北师大版）】 【核心讲练】 1.443 【例1】解：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,BO=DO, 【例212.5 ,AD=13,BD=24..DO=12, 2.C 则A0=√/13-12=5..AC=10, 【课堂检测】 “菱形ABCD的面积为：号×10×24=120. 1.C2.53.1084.4(4+43) 5.证明：四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O, 1.解：(1)：四边形ABCD是菱形， .OA=OB=OC=OD. ..AB=BC=CD=AD=6 cm.ACLBD.OB=OD.OA=OC. AE=CF...OE=OF :∠BAD=60.·△ABD是等边三角形. ∴.四边形BEDF是平行四边形. :BD=AB=6 cm,..OB=3 cm. 6.解：如答图，作FM⊥AD于点M, 在R△AOB中.OA=AB-O0B=√6-3=3√3(m). 则∠FME=90°，FM=AB=3, ∴.AC=20A=2×33=63(cm) 根据题意得BE=DE,∠BEF-∠DEF, (2Sw-号BD·AC-×6X6月=-18，(m). ,四边形ABCD是矩形， .∠A=90,AD∥BC, 【例2】证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， .∠BFE=∠DEF, ∴.AD=BC,∠A=∠C, .∠BEF=∠BFE, 又.AE=CF,∴.△ADE≌△CBF: .BF=BE. (2):四边形ABCD是平行四边形， 设AE=,r, 答图 AB=CD,AB∥CD.AE=CF, 则BE=DE=BF=9一x, ,BE=DF,BE∥DF,.四边形DEBF是平行四边形. 根据勾股定理得AB十AE=BE,即3十=(9一x), :DF=BF,∴平行四边形DEBF是菱形. 解得r=4,.AE=4, 2.(1)证明：，CE⊥AB,∴.∠CEA=90, .DE=BF=5.CF=DM-4..EM-1. ∴.∠CAE+∠ACE=90. ∠ABO=∠ACE. 根据勾股定理得EF=√EM+FM=O. .∠ABO+∠BA0=90,.∠AOB=90,.AO LOB, 第5课时矩形的性质与判定(2) AB∥CD,AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形， 【新课学习】 又：AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形. 有一个角是直角 (2)6 解：当AC=BD时，四边形ABCD是矩形. 【课堂检测】 理由：，四边形ABCD是平行四边形， 1.B2.B3.(1)24(2)244.35 .AB=CD,AB∥CD.又，BC=CB,AC=BD, 5.(1)证明：，AD∥BC,∴.∠ADB=∠DBE, .△ABC2△DCB. :F是AE中点， .∠ABC=∠DCB.:AB∥CD,∴.∠ABC+∠DCB=180°， ∴.AF=EF且∠AFD=∠BFE.∠ADB=∠DBE. ÷∠ABC=∠DCB=号×180=90口ABCD是矩形， .△ADF≌△EBF,.BE=AD, ,AB⊥AC,E是BC中点，.AE=BE=EC 相等平行四边形AC=BD .AD=EC,且AD∥BC. C三∠A=∠B=∠C=90 ∴.四边形ADCE是平行四边形，且AE=EC 【核心讲练】 .四边形AECD是菱形： 【例1】证明：，'EG∥CB,FG∥CA, (2)解：：AC=4.AB=5,AB⊥AC.∴.Sm=10, .四边形EGFC是平行四边形. :E是BC中点Sr=号Sw=5 又∠C=90°，.□EGFC是矩形. 1.证明：四边形ABCD是平行四边形， 四边形AECD是菱形，.SAAe=Skm=5, .AB=CD,AB∥CD,.∠A+∠D=180°， ∴.四边形ABCD的面积=S十Saxp=15. :点M是AD的中点，，AM=DM. 6.2.47.D 又.BM=CM,.△ABM≌△DCM(SSS), 第4课时矩形的性质与判定(1)】 ∴∠A=∠D=90°，∴回ABCD是矩形. 【新课学习】 【例2】证明：，∠1=∠2，∴.OB=OC. 一个直角 又：四边形ABCD是平行四边形， 2.直角∠ABC=∠BCD=∠DAB=∠ADC=90°AC=BD i.0B-BD.OC-AC.:.BD=AC. 证明：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠ABC=∠DCB, .□ABCD是矩形 又BC=CB,.△ABC≌△DCB,AC=BD 【例3】证明：，BG,CG是角平分线， 相等AC=BD,AO=BO=CO=D0 ∴∠GBC-号∠ABC.∠BCG-∠DCB 直角中OB=号AC斜边的一半CD-之AB :四边形ABCD是平行四边形， 【核心讲练】 .AB∥CD..∠ABC+∠DCB=180, 【例1】1082848 .∠GBC+∠BCG=90°，.∠G=90. 数考杏宋 同理：∠E=90°，∠DHC=90, 【核心讲练】 ∠GHE=90°..四边形EFGH是矩形. 【例1】(1)21(2)8 【课堂检测】 1.C 1.D2.①②⑥③④@ 【例2】证明：：四边形ABCD是正方形， 3.解：(1)BD=CD.理由如下： .AD=CD,∠ADE=∠CDE, 依题意得AF∥BC,.∠AFE=∠DCE, 又.DE=DE,∴.△ADE≌△CDE.AE=CE E是AD的中点，.AE=DE, 2.(1)证明：，四边形ABD是正方形，△EBC是等边三角形， 又，∠AEF=∠DEC, .BA=BC=CD=BE=CE. .△AEF2△DEC(AAS),∴.AF=CD. ∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60° .AF-BD...BDCD: .∠ABE=∠ECD=30°，∴△ABE≌△DCE(SAS): (2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形 (2)解：BA=BE,∠ABE=30°， 理由如下： ,AF∥BD,AF=BD,,四边形AFBD是平行四边形， ∠BAE=含180-30)=75， AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90(三线合一)， ∠BAD=90.∴.∠EAD=90°-75=15， .□AFBD是矩形. 同理可得∠ADE=15°， 第6课时 矩形的性质与判定(3) ∴∠AED=180°-15-15=150. 【新课学习】 【课堂检测】 相等两条 平行四边相等三 1.B2.B3.75°4.22.5 【核心讲练】 5.证明：四边形ABCD是正方形， 【例1】解：：四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°，BC=CD..∠BCF+∠FCD=90°， 0A-0C-OB-OD-BD-TAC. :△ECF是等腰直角三角形，∠ECF=90°， ∴CF=CE.∠ECD+∠FCD=9O. 点E,F分别是OC,BC的中点， ∴.∠BCF=∠ECD.∴.△BCF≌△DCE ∴，EF是△COB的中位线，EF=5cm, 6,解：BE-DF,且BE⊥DF,理由如下： :'.OB=2EF-10 cm.:.AC-20B-20 cm. ,四边形ABCD是正方形，.BC=DC,∠BCE=90 1.解：四边形OCED是菱形，.DE=OC=OD=CE=2, ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90 .∠A0D=120°，∴.∠COD=60°， .∠BCE=∠DCF, △OCD是等边三角形，∴.OD=OC=CD=2, 又，CE=CF..△BCE≌△DCF..BE=DF 四边形ABCD是矩形，.AC=2OC=4, 如答图所示，延长BE交DF于点M .AD=/AC-CD=16-4=25, ,'△BCE≌△DCF,.∠CBE=∠CDF .矩形ABCD的面积=2×23=4V3. ∠DCF=90'..∠CDF+∠F=g0 【例2】证明：，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴∠CBE+∠F=90 ∴AC⊥BD.BE∥AC.CE∥BD. ∴.∠BMF=90°.，BE⊥DF ∴.∠BOC=∠(OCE=∠OBE=90 7.B8.B ∴.四边形OBEC是矩形. 第8课时正方形的性质与判定(2】 2.证明：：四边形ABDE是平行四边形， 【新课学习】 .BD∥AE,BD=AE. 相等直角相等互相垂直直角相等 又'BD=CD,.AE=CD. 【核心讲练】 .四边形ADCE是平行四边形. 【例1】D ,'AB=AC,BD=CD,∴.AD⊥BC 1.证明：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠CDA=90, ∠ADC=90..口ADCE是矩形. :AE,DE平分∠BAD与∠CDA, 【例3】5.8 ∴∠EAD=寸∠BAD=45.∠EDA=∠CDA=45 3.1.5 .∠EAD=∠EDA,.AE=DE, 【课堂检测】 :∠EAD+∠EDA+∠AED=18O, 1.B2.B3.44.15 ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 5,证明：，点O为AB的中点，.A=OB. 又：四边形AEDF为平行四边形， OE=OD,.四边形AEBD是平行四边形， ∴四边形AEDF是正方形. AB=AC,AD是∠BAC的平分线， 【课堂检测】 AD⊥BC,.∠ADB=90, 1.D2.AB=BC(或AC⊥BD等) .四边形AEBD是矩形. 3.证明：：DE⊥BC,DF⊥AC, 6.4.8 ∴.∠CFD=∠DEC=∠FCE=90 第7课时正方形的性质与判定(1)】 .四边形CFDE是矩形.又，CD平分∠ACB. 【新课学习】 .DF=DE..四边形CFDE是正方形. 相等直角菱形矩形直角相等相等垂直平分 4.证明：AE∥BC,∠ABC=90°， 四两条对角线 ∴.∠ABC+∠BAE=180,∠BAE=90°， 3