1.3 菱形的性质与判定(3)-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

全典训练 数学·九年级·全册（北师大版） 第3课时 菱形的性质与判定(3) 新课孕司 自主探索：菱形的面积=△ABD的面积十△ 的面积= BD·A0+ BD( )= 2BD. 归纳总结：菱形的面积=底×高一 核心考点打菱形的面积 1.如图，菱形ABCD的边长为6cm,对角线AC, 到1如图，在菱形ABCD中，AD=13,BD=24, BD交于点O,∠BAD=60 AC,BD交于点O.求菱形ABCD的面积： (1)求对角线AC,BD的长： (2)求菱形的面积. 核考点2菱形的性质和判定 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB= 例2在□ABCD中，点E,F分别在AB,CD上， CD,对角线AC,BD交于点O,过点C作 且AE=CF.(1)求证：△ADE2△CBF: CE⊥AB交AB的延长线于点E,且∠ABO= (2)若DF=BF,求证：四边形DEBF为菱形. ∠ACE,连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=2√10，BD=4,则OE的长为 》6 第一章特殊平行四边形 课堂检测 ● 基础训练 2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF 1.菱形ABCD的周长是20，BD=6,则菱形 ⊥CD于点F,且E,F分别为BC,CD的中点， ABCD的面积是 则∠EAF的度数为 A.12 B.24 A.75° B.60 C.40 D.48 C.45° D.30° 3.(1)菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的4.如图，菱形ABCD中，AC,BD相交于点O,若 面积为 ∠BCO=55,则∠ADO= (2)如图，在菱形ABCD中，AD=5,BD=8,则 菱形的面积等于 5.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AC,点E是BC的中点，AE与BD交于点F,且F是AE 的中点 D (1)求证：四边形AECD是菱形： (2)若AC=4,AB=5,求四边形ABCD的面积. 能力提升 7.如图，菱形ABCD中，∠BCD=50°，BC的垂 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点 直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接 O,且AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足 BF,DF,则∠DFC的度数是 为H,则点O到边AB的距离OH= A.100 B.110 C.120° D.130 多7数考杏宋 参芳答案 ,'.直线BD是线段AC的垂直平分线 .BA=BC.∴.□ABCD是菱形. 正文答案 总结归纳：互相垂直平行四边形 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD 九年级上册 探究：解：四边形ABCD是菱形， 理由：由题意可知AB=CD,AD=BC, 第一章特殊平行四边形 .四边形ABCD是平行四边形. 第1课时菱形的性质与判定(1) 又AB=BC..四边形ABCD是菱形 总结归纳：四边相等的 【新课学习】 几何语言：AB=BC=CD=AD 有一组邻边相等特殊平行四边形 【核心讲练】 2.相等互相垂直平分一组对角轴对称2中心对称 【例1】证明：AB∥CD,AB=CD, AB=BC=CD=AD∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC .四边形ABCD是平行四边形. AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,∠BAO=∠DAO, 又：∠1=∠2，∴AB=AD. ∠ABO=∠CBO.∠ADO=∠CDO,∠BCO=∠DCO □ABCD是菱形. 【核心讲练】 1.证明：四边形ABCD是平行四边形，.∠B=∠D. 【例1】12cm4050 :AE⊥BC,AF⊥CD. 1,解：(1)四边形ABCD是菱形， ∴.∠AEB=∠AFD=90° .∠AIDC=2∠CDO,∠ABC=∠ADC,DB⊥AC. ∠B=∠D ∴.∠D0C=90°， 在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠AFD, "∠ACD=30,∴.∠CD0=60, AE-AF. .∠ABC=∠ADC=2∠CDO=120: .△ABE≌△ADF(AAS),.AB=AD. (2)四边形ABCD是菱形，BD=6, .□ABCD是菱形. ∴.DO=BO=3,,∠DOC=90,∠OCD=30°， 【例2】证明：，四边形ABCD是平行四边形 ∴.DC=2DO=6.∴.四边形ABCD的周长=4×6=24. ∴.DC=AB=√5，DC=(5)=5. 【例2】证明：，四边形ABCD是菱形， 又OD=1.OC=22=4.∴.OD+OC=DC .AD=CD,∠ADB=∠CDB,又'DE=DE, ∴，△ADE≌△CDE,.AE=CE. .∠DC=90,即AC⊥BD..口ABCD是菱形 2.证明：·△ABC和△ADC是等边三角形， 2.证明：，四边形ADEF是菱形， ..AB=AC=BC.AD=DC=AC. .DE=EF,AB∥EF,DE∥AC ..AB=BC=CD=AD. ∠C=∠BED,∠B=∠CEF, AB=AC,∠B=∠C,∠BED=∠CEF ∴四边形ABCD为菱形. 【课堂检测】 I∠BED=∠CEF. 1.D2.C 在△DBE和△FCE中，∠B=∠C, 3.证明：，AD是∠BAC的平分线，∴.∠EAD=∠FAD. DE-EF. DE∥AC,DF∥AB, .△DBE2△FCE,∴.BE=CE. ∴.四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF, 【课堂检测】 .∠FAD=∠FDA..AF=DF, 1.C2.B ,四边形AEDF是菱形 3,证明：(1)，四边形ABCD是菱形， 4.证明：：DE垂直平分BC,∠ACB=90°， ∴∠A=∠C,AD=CD=AB=CB. .BD=CD.ED∥CA. 又BE=BF,.AB-BE=CB-BF,即AE=CF ∴点E是BA中点.∴CE=BE=AE (AD=CD. 又，∠BAC■60°，.△ACE是等边三角形 在△ADE和△CDF中，∠A=∠C,'.△ADE2△CDF .AC=CE=AE. AECF 又AF=CE.AF=AE (2)'△ADE2△CDF,DE=DF,∴∠1=∠2. 又DF∥AC,∴.∠FEA=∠CAE=60 4.605./5 ∴△AEF为等边三角形，.EF=AF 第2课时 菱形的性质与判定(2)】 .CE=AC=AF=EF,.四边形CAFE是菱形. 【新课学习】 第3课时菱形的性质与判定(3) 有一组邻边相等 【新课学习】 应用：证明：因为四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC.又AC⊥BD. BCD之BD·CO AO CO AC对角线乘积的一半 高效课燮宝典训练数学九年级全册（北师大版）】 【核心讲练】 1.443 【例1】解：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,BO=DO, 【例212.5 ,AD=13,BD=24..DO=12, 2.C 则A0=√/13-12=5..AC=10, 【课堂检测】 “菱形ABCD的面积为：号×10×24=120. 1.C2.53.1084.4(4+43) 5.证明：四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O, 1.解：(1)：四边形ABCD是菱形， .OA=OB=OC=OD. ..AB=BC=CD=AD=6 cm.ACLBD.OB=OD.OA=OC. AE=CF...OE=OF :∠BAD=60.·△ABD是等边三角形. ∴.四边形BEDF是平行四边形. :BD=AB=6 cm,..OB=3 cm. 6.解：如答图，作FM⊥AD于点M, 在R△AOB中.OA=AB-O0B=√6-3=3√3(m). 则∠FME=90°，FM=AB=3, ∴.AC=20A=2×33=63(cm) 根据题意得BE=DE,∠BEF-∠DEF, (2Sw-号BD·AC-×6X6月=-18，(m). ,四边形ABCD是矩形， .∠A=90,AD∥BC, 【例2】证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， .∠BFE=∠DEF, ∴.AD=BC,∠A=∠C, .∠BEF=∠BFE, 又.AE=CF,∴.△ADE≌△CBF: .BF=BE. (2):四边形ABCD是平行四边形， 设AE=,r, 答图 AB=CD,AB∥CD.AE=CF, 则BE=DE=BF=9一x, ,BE=DF,BE∥DF,.四边形DEBF是平行四边形. 根据勾股定理得AB十AE=BE,即3十=(9一x), :DF=BF,∴平行四边形DEBF是菱形. 解得r=4,.AE=4, 2.(1)证明：，CE⊥AB,∴.∠CEA=90, .DE=BF=5.CF=DM-4..EM-1. ∴.∠CAE+∠ACE=90. ∠ABO=∠ACE. 根据勾股定理得EF=√EM+FM=O. .∠ABO+∠BA0=90,.∠AOB=90,.AO LOB, 第5课时矩形的性质与判定(2) AB∥CD,AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形， 【新课学习】 又：AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形. 有一个角是直角 (2)6 解：当AC=BD时，四边形ABCD是矩形. 【课堂检测】 理由：，四边形ABCD是平行四边形， 1.B2.B3.(1)24(2)244.35 .AB=CD,AB∥CD.又，BC=CB,AC=BD, 5.(1)证明：，AD∥BC,∴.∠ADB=∠DBE, .△ABC2△DCB. :F是AE中点， .∠ABC=∠DCB.:AB∥CD,∴.∠ABC+∠DCB=180°， ∴.AF=EF且∠AFD=∠BFE.∠ADB=∠DBE. ÷∠ABC=∠DCB=号×180=90口ABCD是矩形， .△ADF≌△EBF,.BE=AD, ,AB⊥AC,E是BC中点，.AE=BE=EC 相等平行四边形AC=BD .AD=EC,且AD∥BC. C三∠A=∠B=∠C=90 ∴.四边形ADCE是平行四边形，且AE=EC 【核心讲练】 .四边形AECD是菱形： 【例1】证明：，'EG∥CB,FG∥CA, (2)解：：AC=4.AB=5,AB⊥AC.∴.Sm=10, .四边形EGFC是平行四边形. :E是BC中点Sr=号Sw=5 又∠C=90°，.□EGFC是矩形. 1.证明：四边形ABCD是平行四边形， 四边形AECD是菱形，.SAAe=Skm=5, .AB=CD,AB∥CD,.∠A+∠D=180°， ∴.四边形ABCD的面积=S十Saxp=15. :点M是AD的中点，，AM=DM. 6.2.47.D 又.BM=CM,.△ABM≌△DCM(SSS), 第4课时矩形的性质与判定(1)】 ∴∠A=∠D=90°，∴回ABCD是矩形. 【新课学习】 【例2】证明：，∠1=∠2，∴.OB=OC. 一个直角 又：四边形ABCD是平行四边形， 2.直角∠ABC=∠BCD=∠DAB=∠ADC=90°AC=BD i.0B-BD.OC-AC.:.BD=AC. 证明：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠ABC=∠DCB, .□ABCD是矩形 又BC=CB,.△ABC≌△DCB,AC=BD 【例3】证明：，BG,CG是角平分线， 相等AC=BD,AO=BO=CO=D0 ∴∠GBC-号∠ABC.∠BCG-∠DCB 直角中OB=号AC斜边的一半CD-之AB :四边形ABCD是平行四边形， 【核心讲练】 .AB∥CD..∠ABC+∠DCB=180, 【例1】1082848 .∠GBC+∠BCG=90°，.∠G=90.