专题13 因式分解的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题13 因式分解的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知因式分解的结果求参数 2 类型二、提多项式的公因式的因式分解法 5 类型三、综合利用提公因式法和公式法因式分解 7 类型四、利用因式分解先化简再求值 10 类型五、十字相乘法因式分解 12 类型六、分组分解法因式分解 16 类型七、因式分解的应用 21 压轴能力测评（15题） 26 解题知识必备 1.因式分解-提公因式法 提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2.因式分解-运用公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 3.因式分解-分组分解法 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式 4.因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． 压轴题型讲练 类型一、已知因式分解的结果求参数 例题：（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【变式训练1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【变式训练2】（2024·安徽马鞍山·三模）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 类型二、提多项式的公因式的因式分解法 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）因式分解：． 【变式训练1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）因式分解 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）因式分解： ． 【变式训练4】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、综合利用提公因式法和公式法因式分解 例题：把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式训练1】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式训练2】因式分解： (1) (2) 【变式训练3】因式分解： (1)； (2) 4．因式分解 (1) (2) (3) 类型四、利用因式分解先化简再求值 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则代数式的值等于 ． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ，，求的值为 ． 11．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 12．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）若实数满足，则 ． 13．（22-23七年级下·广西来宾·期中）已知，，则的值是 ． 类型五、十字相乘法因式分解 例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）阅读教材：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： (1) (2) 【变式训练1】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解 例如：求： (1) (2) 【变式训练2】阅读理解题 在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解， 基本式子为：， 例如：分解因式，，， 按此排列：    交叉相乘，乘积相加等于， 得到，这就是十字相乘法． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先分解因式，再求值：，其中． 【变式训练3】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【变式训练4】阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：（1）；（2）． 根据材料，把下列式子进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 类型六、分组分解法因式分解 例题：《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式； (3)分解因式：． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料、完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料分解因式； 【变式训练3】（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等． 如“2+2”分法： 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 类型七、因式分解的应用 例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：______． 【应用公式】（2）①因式分解：．②因式分解：． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①______． ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务．若是多项式的一个因式，求的值． 解：是多项式的一个因式， 设（为整式）． 当时，则有． 将代入， 得． 解得． 学习任务： (1)若是多项式的一个因式，请求出多项式中二次项的系数的值； (2)若和是多项式的两个因式，请求出多项式中三次项和一次项的系数的值． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：， ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； (2)已知：a，b，c为的三条边，，求的周长． 【变式训练3】（23-24八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式： ． ②用配方法求值：例如，即． ． ③用配方法确定范围：例如 ， ∴当时，M有最小值． 【问题解决】 请根据上述材料解决下列问题： (1)如果（__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________； (2)分解因式： (3)已知，当__________，__________时，y有最小值，最小值是__________； (4)已知，试比较P，Q的大小． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值为（    ） A．2024 B．6072 C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）因式分解： ． 6．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 7．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知，，则的值是 ． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图是一个棱长为的正方体中挖去一个棱长为的小正方体，将剩余部分进行切割得到如图所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式进行因式分解，即 ． 三、解答题 9．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 10．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 请问： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（   ） A．提公因式法        B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 (2)已知该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_______； (3)请你模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 12．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 13．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） . 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式． (2)若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求c的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 因式分解的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知因式分解的结果求参数 2 类型二、提多项式的公因式的因式分解法 5 类型三、综合利用提公因式法和公式法因式分解 7 类型四、利用因式分解先化简再求值 10 类型五、十字相乘法因式分解 12 类型六、分组分解法因式分解 16 类型七、因式分解的应用 21 压轴能力测评（15题） 26 解题知识必备 1.因式分解-提公因式法 提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2.因式分解-运用公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 3.因式分解-分组分解法 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式 4.因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． 压轴题型讲练 类型一、已知因式分解的结果求参数 例题：（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)；；；；； (2)另一个因式为，的值为 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、p的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得：， 则 ． 解得：，． 另一个因式为，的值为20， 故答案为：；；；；；； （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得， ∴另一个因式是，的值为． 【变式训练1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【答案】14 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当时，，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∵关于的多项式有一个因式为， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：14． 【变式训练2】（2024·安徽马鞍山·三模）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式训练3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【知识点】代入消元法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值． （3）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ∴， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：∵二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （3）解：二次三项式有一个因式是，a是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 类型二、提多项式的公因式的因式分解法 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法分解即可． 【详解】解： ． 【变式训练1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）因式分解 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用提取公因式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，先把原式变形为，再提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式训练4】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键； （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）直接利用提公因式法分解因式即可； （4）直接利用提公因式法分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 类型三、综合利用提公因式法和公式法因式分解 例题：把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用平方差公式分解即可． （2）先提取公因式，后套用公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【点睛】本题考查了平方差公式，提取公因式，完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的基本步骤和方法是解题的关键． 【变式训练1】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）先提出公因式，完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 【变式训练2】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查因式分解，能够综合运用提取公因式法和公式法是解题的关键． 【变式训练3】因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解； （2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用提公因式法法分解因式即可； （2）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可； （3）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是熟练掌握运用提公因式法和公式法分解因式的方法步骤． 类型四、利用因式分解先化简再求值 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则代数式的值等于 ． 【答案】4 【知识点】平方差公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【详解】∵， ∴． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ，，求的值为 ． 【答案】6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握提公因式法分解因式是解本题的关键． 将分银因式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 11．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 【答案】49 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查完全平方公式分解因式的简单应用，先将条件的式子转换成，再平方即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：49． 12．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）若实数满足，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，要掌握整体代入的思想解题．先根据得到，再将要求的式子逐步变形，将整体代入降次，化简求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（22-23七年级下·广西来宾·期中）已知，，则的值是 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先根据完全平方公式计算出的值，然后将多项式分解因式为，最后利用整体代入法求解即可． 本题主要考查了完全平方公式，以及分解因式，利用整体代入法求值是解题的关键． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ． 故答案为：． 类型五、十字相乘法因式分解 例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）阅读教材：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解十字相乘法．对于形如的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练1】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解 例如：求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解； （2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴ （2）解：如图， ∴． 【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键． 【变式训练2】阅读理解题 在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解， 基本式子为：， 例如：分解因式，，， 按此排列：    交叉相乘，乘积相加等于， 得到，这就是十字相乘法． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先分解因式，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，45 【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可； （2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解． 【详解】（1）解：； （2） 当时，原式． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 【变式训练3】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：    ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 【变式训练4】阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：（1）；（2）． 根据材料，把下列式子进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底． 类型六、分组分解法因式分解 例题：《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因； （2）根据例题用拆项补项法分解因； （3）根据例题用拆项补项法分解因； 【详解】（1）解： ； （2） （3） 【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）把看着一个整体，利用完全平方公式因式分解即可； （3）设，先计算，再分解关于a的多项式，然后代入还原继续因式分解即可； （4）利用分组分解法，利用两次完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） （3）设， 则原式， ， ∴原式 （4） ， . 【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料、完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料分解因式； 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）仿照题意分解因式即可； （2）①仿照题意分解因式即可；②先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （3）先利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴； ② ， ∵， ∴ ， ∴； （3）解： ． 【变式训练3】（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等． 如“2+2”分法： 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1)）； (2)； (3)． 【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解． 【详解】（1）解： =； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键． 类型七、因式分解的应用 例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：______． 【应用公式】（2）①因式分解：．②因式分解：． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①______． ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①13；②， 【分析】本题主要考查了分组分解法、公式法分解因式以及因式分解的应用，熟练掌握图形面积之间的关系是解题的关键． （1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）①先提取公因式，再利用公式求解即可； ②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； ②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，求得的值，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， 故答案为：； （2）① ； ②因式分解： ； （3）①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， 又， ， ， 故答案为：13 ② ， ∵，，， ∴， ∴，，解得，， ∴原式． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务．若是多项式的一个因式，求的值． 解：是多项式的一个因式， 设（为整式）． 当时，则有． 将代入， 得． 解得． 学习任务： (1)若是多项式的一个因式，请求出多项式中二次项的系数的值； (2)若和是多项式的两个因式，请求出多项式中三次项和一次项的系数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解： （1）依据题意列出式子，令即可求解； （2）依据题意列式，令或即可求解． 【详解】（1）若是多项式的一个因式， 设（其中为整式）， 令 即取，得； 解得． （2）设（其中为整式）， 令或 即当时，得，① 当，得，② 由①，②解得． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：， ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； (2)已知：a，b，c为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)14 【分析】此题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）①将放为一组，根据平方差公式分解因式； ②将3拆为，根据完全平方公式和平方差公式分解因式 （2）将原等式化为，求出a，b，c的值，即可得到周长． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2） ∴， ∴， ∴的周长为． 【变式训练3】（23-24八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式： ． ②用配方法求值：例如，即． ． ③用配方法确定范围：例如 ， ∴当时，M有最小值． 【问题解决】 请根据上述材料解决下列问题： (1)如果（__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________； (2)分解因式： (3)已知，当__________，__________时，y有最小值，最小值是__________； (4)已知，试比较P，Q的大小． 【答案】(1)9 (2) (3)4，5，2 (4) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解答即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可； （3）把配方，根据非负数的性质得到a，b的值，根据函数的最值即可得到结论； （4）根据配方法即可得到结论． 【详解】（1）解： ； 故答案为：9 （2）解：； （3）解：∵ ， ∴当，时y有最小值， ∴，， ∴当，时，最小值是2； （4）解： ， ∴． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案． 【详解】解：，   的值总可以被11整除，即， 故选：A． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值为（    ） A．2024 B．6072 C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，，得出，，即，整理得出，得出，将变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解—提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是先提取公因式，然后再根据平方差公式进一步分解即可．因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 【答案】 【知识点】十字相乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考考查了对整式分解因式的运用能力，掌握十字相乘法是解本题的关键．本题可利用这一公式，根据题意可设另一个因式为，可以得到，进而得出的值． 【详解】解：根据题意可设另一个因式为， ， ∴， ，． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知，，则的值是 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用，先把已知两式相减，求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图是一个棱长为的正方体中挖去一个棱长为的小正方体，将剩余部分进行切割得到如图所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式进行因式分解，即 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式等知识点，正确表示出三块长方体的体积之和是解题的关键． 根据正方体和长方体的体积公式及体积关系即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 图的体积为：， 图的体积为：， 图的体积图的体积， ， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 10．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 请问： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（   ） A．提公因式法        B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 (2)已知该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_______； (3)请你模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等 （1）根据分解因式的过程可得答案； （2）将结果再次因式分解即可； （3）将看作整体进行因式分解即可； 掌握运用公式法分解因式是解题的关键，注意因式分解要分解彻底． 【详解】（1）解：， 则运用了两数和的完全平方公式进行因式分解， 故选：C； （2）解：， 故答案为：； （3）解：设， ∴ ． 12．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而得到，据此求出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先分组得到，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设，则可推出，则，即，根据都是整数，，得到或或或，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 13．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】（1）首先根据阅读材料提供的思路，把多项式配方，使代数式中有一个完全平方式：，利用完全平方公式分解因式得到：，然后再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照（1）的思路把多项式分解因式得到：，根据平方的非负性可得：，所以可知当取最小值时，代数式有最小值，从而得到的最小值； （3）首先把等式右边的部分移项到左边，得到：，然后配方得到：，利用平方的非负性分别求出、、的值，根据三角形周长公式求出的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 因为，所以， 所以多项式的最小值为； （3）解：可变为： ， 所以，，， 所以的周长． 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式、平方差公式和配方法分解因式．解决本题的关键是理解阅读材料中提供的解题思路，把多项式配方得到完全平方式利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方的非负性解决问题． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） . 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式． (2)若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求c的范围． 【答案】(1) (2)①为等腰三角形，理由见详解；② 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围、分组分解法 【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握分组分解法分解因式是解题关键． （1）将原式分组整理为，再运用完全平方公式可得，然后进一步分解因式即可； （2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，结合三角形三边关系可知，进而可得，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，根据非负数的性质解得的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案． 【详解】（1）解： ； （2）①为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，，分别为三边的长， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵，，分别为三边的长， ∴，即， ∴， 即c的范围为． 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