专题12 平方差与完全平方公式的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题12 平方差与完全平方公式的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行先化简再求值 2 类型二、利用乘法公式进行简便运算 6 类型三、利用乘法公式的变式求值 9 类型四、求完全平方式中的字母系数 12 类型五、利用完全平方配方求多项式最小/大值问题 13 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 18 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 23 压轴能力测评（16题） 29 解题知识必备 1.平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 2.平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 3.完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 4.完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 压轴题型讲练 类型一、利用乘法公式进行先化简再求值 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练2】（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 【变式训练4】（23-24七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式训练5】（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 类型二、利用乘法公式进行简便运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【变式训练1】（（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算： (1)； (2)． 【变式训练2】（23-24七年级下·重庆大渡口·阶段练习）简便运算： (1)； (2)． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 类型三、利用乘法公式的变式求值 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知，求下列各式的值： ① ② 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若，， (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【变式训练3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）（1）已知，，则的值为______； （2）已知，，则______； （3）已知x满足，则的值为______． 【变式训练4】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）（1）已知，，求和的值； （2）已知，，求和的值； （3）已知，求的值． 类型四、求完全平方式中的字母系数 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）已知恰好可写成是一个整式的平方式，则 ． 【变式训练1】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如果多项式是一个完全平方式，则 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）若关于x的多项式是完全平方式，则k的值等于 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的这个单项式可以是 （填一个即可）． 类型五、利用完全平方配方求多项式最小/大值问题 例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． (3)已知有理数x，y满足，求的最小值． 【变式训练1】（23-24八年级下·四川达州·期末）【方法呈现】我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ， ． 当时，的值最小，最小值是1． 即当时，的最小值是1． 【尝试应用】 （1）下列多项式中①；②；③是完全平方式的有_________．（请填写序号）若是一个完全平方式，则的值等于_________（为常数）． （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）用长的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 【变式训练3】（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 例题：（23-24六年级下·山东青岛·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________； (2)应用（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）． (1)上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）：               (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知， 则 ． ②试说明（n为整数）是4 的倍数； 【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【变式训练3】（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． 【知识生成】 （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：__________________； 方法二：__________________； 【得出结论】 （2）根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为____________； 【知识迁移】 （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值． （4）若a满足求的值 【变式训练1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为__________； (2)运用你所得到的公式解答下列问题： ①若m，n为实数，且，，求的值． ②如图3，，分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若，，求图中阴影部分的面积． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川达州·期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________________； 方法2：________________________________． (2)请你直接写出三个代数式：之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶ ①已知：，求和的值； ②已知：，求的值． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东青岛·期末）“数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性． (1)如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______． (2)如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出、、之间的等量关系：______． (3)根据（2）中的结论进行计算．已知：，，求的值． (4)如图3，正方形与正方形的重合部分长方形的面积是2024，，，四边形和四边形都是正方形，求正方形的面积． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若是一个完全平方式，那么的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知实数 满足：，求代数式的值（  ） A．6 B．2 C．-4 D．-8 3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ）      A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形一角剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字母表示 7．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于x的整式是某个整式的平方，那么m的值是 ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足，，则S的最小值为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）先化简，再求值，其中，． （2）利用简便方法计算： ① ；                  ② 11．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 13．（上海市普陀区2024—2025学年七年级上学期中考试数学试题）阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 15．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）当 时，多项式有最 值，最 值是 ； 【知识迁移】 （3）代数式的最小值为 ． 16．（24-25八年级上·全国·期中）对于任意四个有理数，，，，我们规定：，．例如：，． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求与的值； (3)在（2）问的条件下，将梯形及梯形按照如图方式放置，其中点在边延长线上，点在上，且，，连接．若，，，，当时，求的值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 平方差与完全平方公式的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行先化简再求值 2 类型二、利用乘法公式进行简便运算 6 类型三、利用乘法公式的变式求值 9 类型四、求完全平方式中的字母系数 12 类型五、利用完全平方配方求多项式最小/大值问题 13 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 18 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 23 压轴能力测评（16题） 29 解题知识必备 1.平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 2.平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 3.完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 4.完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 压轴题型讲练 类型一、利用乘法公式进行先化简再求值 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；11 【知识点】整式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式混合运算，先根据平方差公式，完全平方公式，结合整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 【变式训练1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2025 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【详解】本题考查了整式的运算，先把括号内利用完全平方公式、平方差公式展开，然后合并同类项，再计算除法，最后把m 、n的值代入计算即可． 解： ， 当，，原式 【变式训练2】（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 【答案】化简得，求值得 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算和求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．先利用运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，． 【变式训练4】（23-24七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先根据整式的混合运算法则，进行化简，再根据非负性求出的值，代入化简后的结果，进行计算即可. 【详解】解：原式 ∴原式 【变式训练5】（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)，3 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，化简求值，熟记运算法则与乘法公式是解本题的关键． （1）先利用乘法公式和多项式的乘法法则计算，根据零次幂和负整数指数幂计算求得和的值，再代入即可求解； （2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再整体代入数据计算即可． 【详解】（1）解： ， 又，， 所以，把，代入， 原式； （2）解： ， 又，得， 所以，原式． 类型二、利用乘法公式进行简便运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用平方差公式进行运算即可； （）根据完全平方公式的逆用即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练1】（（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）直接利用完全平方公式求解即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（23-24七年级下·重庆大渡口·阶段练习）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)100 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了有理数中完全平方公式和平方差，熟练掌握完全平方公式和平方差是解题的关键.； （1）转换为平方差形式，计算即可； （2）先转化，然后用完全平方公式进行计算即可得解． 【详解】（1） ， （2） ； 【变式训练3】（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【答案】（1），  （2）9996    （3）22048 ；6  （4）①2049300   ② 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将写成，利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成，连续利用平方差公式得到结果为，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可； ②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 类型三、利用乘法公式的变式求值 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知，求下列各式的值： ① ② 【答案】①13；②7 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方和公式，根据题意熟练运用完全平方公式恒等变形求值是解决问题的关键．①根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案；②根据①中，再代入即可得到答案． 【详解】解：①， 当时，原式 ； ②，， ． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， （2）解：∵，， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）5；（2）15 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）利用完全平方公式和已知求解即可． 【详解】解:（1）∵， ∴， 又， ∴； （2）∵，， ∴， ∴. 【变式训练3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）（1）已知，，则的值为______； （2）已知，，则______； （3）已知x满足，则的值为______． 【答案】（1）26；（2）；（3）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式． （1）利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题； （2）先利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题． （3）设，将等式变成含的方程，表示出的值，即可求解． 【详解】解：（1），， ． 故答案为：26； （2），， 又， ， ， ， 故答案为：． （3）设，则，， ， ，即， 整理得， ， ， 故答案为：． 【变式训练4】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）（1）已知，，求和的值； （2）已知，，求和的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3）5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形，计算即可． （2）利用完全平方公式变形，计算即可． （3）利用完全平方公式变形，计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，， ； （2），， ①，②， ①②，得， ， ①②，得， ； （3）， ， ， ， ． 类型四、求完全平方式中的字母系数 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）已知恰好可写成是一个整式的平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方式的特点，掌握完全平方式的特点求解字母系数的值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如果多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）若关于x的多项式是完全平方式，则k的值等于 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查根据完全平方式求参数的值，根据完全平方式的特点“首平方，尾平方，首尾的2倍在中央”进行求解即可． 根据完全平方公式的特点即可解得． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴，解得：或． 故答案为：6或． 【变式训练3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的这个单项式可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了完全平方式，可以把和看作两平方项，则一次项可以为，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，添加的这个单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 类型五、利用完全平方配方求多项式最小/大值问题 例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． (3)已知有理数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）用作差法，结合完全平方公式，比较大小即可； （3）根据题意得到，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值． 【详解】（1） ∵， ∴， ∴的最小值是； （2） ∵， ∴ ∴； （3）∵ ∴ ∴当时，最小，最小值为4． 【变式训练1】（23-24八年级下·四川达州·期末）【方法呈现】我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ， ． 当时，的值最小，最小值是1． 即当时，的最小值是1． 【尝试应用】 （1）下列多项式中①；②；③是完全平方式的有_________．（请填写序号）若是一个完全平方式，则的值等于_________（为常数）． （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）用长的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． 【答案】（1）②③，24或；（2）时，该式的值最小，最小值是1999；（3）最大面积为9平方米，理由见解析 【分析】（1）根据完全平方公式的特征可得①不可以写成完全平方的形式，②③可以写成完全平方的形式．若是一个完全平方式，则，由此即可得解． （2）将写成，即可求出其最小值． （3）设长方形的长为，则宽为，则面积为，将写成，即可求出其最大值． 【详解】解：（1）①不是一个完全平方式； ②， ∴是完全平方式； ③， ∴是完全平方式； 若是一个完全平方式， 则， ∴． 故答案为：②③，24或 （2）， ， ， 当即时，该式的值最小，最小值是1999． （3）设长方形的长为，则宽为， 围成的长方形的面积是， ， 又， ， 当即时，的值最大，最大值是9， ∴最大面积为9平方米． 【点睛】本题考查的是利用完全平方式的非负性求解代数式的最值，利用完全平方公式分解因式，同时考查了不等式的基本性质，掌握“完全平方式的特点”是解本题的关键． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1)16 (2)2 (3)4 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ， ， ， 的最小值为2； （3）解：∵ ， ， ， ， ， 的最小值为4． 【变式训练3】（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)；6 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，三角形三边关系，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子中a、b的值，再根据三角形三边关系即可解答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为6； （2）解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解： ， 的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数， ，即， 的最大值为10， 的周长的最大值为：． 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 例题：（23-24六年级下·山东青岛·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________； (2)应用（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①由平方差公式进行计算即可； ②将原式化为，即，据此求解即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）． (1)上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）：               (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知， 则 ． ②试说明（n为整数）是4 的倍数； 【答案】(1)D (2)①7；②见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据图中阴影部分的面积进行解答即可； （2）①根据平方差公式变形进行计算即可；②利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是，图2中阴影部分的面积为， ∵两个图中阴影部分的面积相等， ∴能验证的等式是，故D正确． 故选：D． （2）①， ， ， 故答案为：7； ②． 所以（n为整数）是4 的倍数 【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【答案】(1)；； (2)①，② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①先变形，再求解即可； （3）利用平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 拼成图2是长为，宽为的长方形，因此阴影部分的面积为， 所揭示的乘法公式为：， 故答案为： ，，； （2）①由， 得． ② ． 【变式训练3】（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． 【知识生成】 （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：__________________； 方法二：__________________； 【得出结论】 （2）根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为____________； 【知识迁移】 （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值． （4）若a满足求的值 【答案】（1）方法一：；方法二：；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）①由（2）中的等量关系即可求解；②先变形为，可得，再计算即可． 【详解】（1）方法一：； 方法二：， 故答案为：， （2）代数式之间的等量关系为： ； 故答案为： （3）由（2）可得． ∴或． （4） 【变式训练1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为__________； (2)运用你所得到的公式解答下列问题： ①若m，n为实数，且，，求的值． ②如图3，，分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①或；②8 【分析】本题主要考查完全平方式的运用与转化，平方差公式的应用； （1）根据大正方形面积四个矩形的面积中间小正方形的面积，进行列式即可得到答案； （2）①先求出的值，再利用（1）中的关系式，求解即可； ②分别用，表示、的值，再利用平方差公式求出，然后根据（1）中的关系式求出的值，最后再求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形面积四个矩形的面积中间小正方形的面积， 即， 故答案为：． （2）解：①，， ， 由（1）可得， 或； ②，分别表示边长为a，b的正方形的面积， ，， ， ， ， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川达州·期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________________； 方法2：________________________________． (2)请你直接写出三个代数式：之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶ ①已知：，求和的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值： （1）利用阴影部分的面积是边长分别为的两个正方形面积之和边长为的正方形面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果； （2）由图2中阴影部分的面积表示可得：； （3）①由可得，故，，即可得出结果；②设，，则，进而得到，再由推出，据此求出，由此可得答案． 【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，； （3）解：①由（2）题结论可得， ∵， ∴ ， ； ； ②设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东青岛·期末）“数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性． (1)如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______． (2)如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出、、之间的等量关系：______． (3)根据（2）中的结论进行计算．已知：，，求的值． (4)如图3，正方形与正方形的重合部分长方形的面积是2024，，，四边形和四边形都是正方形，求正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)8100 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图1中各个部分面积之间的关系即可得出答案； （2）用代数式图2中各个部分面积，由各个部分面积之间的关系即可得出答案； （3）利用（2）的结论，代入计算即可； （4）设长方形的长，宽，由题意可知，，由进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中大正方形的边长为，因此面积为，组成大正方形的四个部分的面积和为， 故答案为：； （2）解：图2中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长为，宽为的长方形面积为， 所以有， 故答案为：； （3）解：由（2）得，， ，， ， ； （4）解：设长方形的长，宽，则，即， 由于长方形的面积是2024，即， 四边形和四边形都是正方形， 正方形的边长为， 正方形的面积 ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若是一个完全平方式，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：， 故选：． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知实数 满足：，求代数式的值（  ） A．6 B．2 C．-4 D．-8 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代数式求值．先将 变形为，将其代入整理得，再根据偶次方的非负性求出，的值，再求出a的值，再代入计算即可. 【详解】解: ， ∴， ， ， ， ， 故选：B 3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用作差法比较大小，结合平方差公式先计算，再根据结果进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故选：A 4．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可． 【详解】解：第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：， ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选C． 二、填空题 5．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，先把当成一个整体，根据计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形一角剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字母表示 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由左图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为： 7．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于x的整式是某个整式的平方，那么m的值是 ． 【答案】2或/或2 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出m的值． 【详解】解：， ∴， 解得：或， 故答案为：2或． 8．（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足，，则S的最小值为 ． 【答案】6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决本题的关键．先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后探究的最小值． 【详解】解：由题得， ， ∵，， ∴，（当且仅当，时取等号）， 经验证：，满足， 综上，的最小值为6． 故答案为：6． 三、解答题 9．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）先化简，再求值，其中，． （2）利用简便方法计算： ① ；                  ② 【答案】（1），4；（2）1， 【知识点】整式的混合运算、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用完全平方公式，平方差公式进行化简，再算除法，然后代入计算即可解答； （2）①利用平方差公式，进行计算即可解答；②利用积的乘方的逆运算进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ， 当时，原式； （2）①原式 ； ②原式 ． 11．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，难度不大，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴的最小值是5； （2）解：， ∵， ∴， ∴ ∴代数式的最大值是5． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 13．（上海市普陀区2024—2025学年七年级上学期中考试数学试题）阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)18 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键． （1）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： 整理得 ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 15．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）当 时，多项式有最 值，最 值是 ； 【知识迁移】 （3）代数式的最小值为 ． 【答案】（1）9；（2），大，大，7；（3）6 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了多项式、完全平方式和多项式的最值，解题关键是熟练掌握利用配方法把多项式写成完全平方式． （1）利用已知条件中的配方法求出答案即可； （2）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可； （3）利用分组分解法分解因式，再写成完全平方式，求出其最值即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：9； （2） ， ， ， 当，即时，有最大值，最大值是7， 即当时，多项式有最大值，最大值是7， 故答案为：，大，大，7； （3） ， ， 代数式有最小值，最小值为6， 故答案为：6． 16．（24-25八年级上·全国·期中）对于任意四个有理数，，，，我们规定：，．例如：，． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求与的值； (3)在（2）问的条件下，将梯形及梯形按照如图方式放置，其中点在边延长线上，点在上，且，，连接．若，，，，当时，求的值．    【答案】(1) (2)1 (3)的值是或． 【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式在几何图形中的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）先根据材料中的定义可得：，，再由完全平方公式可得的值； （2）先根据定义和等式可得，将已知两边同时平方，可得的值，将展开可得结论； （3）根据梯形面积公式和三角形面积公式进行计算即可． 本题是新定义问题，考查了新定义的运用，三角形的面积，梯形的面积和完全平方公式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：依题意， ∵是一个完全平方式， ， ； （2）解：∵ ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 由（2）知：，，， 当时，， ， ， 当时，， ， ． 综上，的值是或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$