专题11 整式运算的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题11 整式运算的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 2 类型二、整式中的化简求值 4 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 6 类型四、多项式乘多项式与图形面积 9 类型五、多项式乘法中的规律性问题 14 压轴能力测评（19题） 18 解题知识必备 1.单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 2.单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 3.多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 压轴题型讲练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【变式训练3】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 类型二、整式中的化简求值 例题：（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式训练1】（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式训练3】（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练4】（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【变式训练1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式，A与B的乘积中不含有，且常数项为24． (1)试确定m和n的值； (2)求． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【变式训练3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若 的积中不含x项与项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． 类型四、多项式乘多项式与图形面积 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图形的面积来解释公式，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如图，图形的面积可解释恒等式． (1)请写出图表示的代数恒等式为 ； (2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式：； (3)请仿照上述方法另写一个含，的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为： ． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，就可以用图②中的几何图形的面积来表示． (1)请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示 (3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形． 【变式训练3】（22-23七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 类型五、多项式乘法中的规律性问题 例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． (2)请你利用上面的结论计算：= ． 【变式训练1】（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）自“双减”政策实施以来，我校积极响应政策要求，精心设计课后服务，根据学生的兴趣爱好开设了各种社团活动，受到了学生与家长的一致好评．在某天的课后服务中参加数学兴趣小组的小明同学在做“化简”时遇到了困难，聪明的你能帮帮小明吗？ 思考：我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空： ； ；由此猜想： ． (2)利用这个结论，请你解决下面的问题： ①求的值； ②若，则a等于 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）【问题提出】 计算： 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为： 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： ① ②由①知，所以， （1）仿照②，写出进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）______． 【问题解决】 （3）计算：______（结果用乘方表示）． 压轴能力测评（19题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值是（    ） A．5 B． C． D．7 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为5，则的值为（   ） A． B． C． D．3 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）把三张大小相同的矩形卡片A，B，C叠放在一个底面为矩形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则（　　） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ． 7．（上海市普陀区2024—2025学年七年级上学期中考试数学试题）如果关于x的整式和相乘的结果中不包含三次项，那么 ． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知长方形中，，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠），图①长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，图②长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，当时， ； 10．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值：其中． 12．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）先化简，再求值：，其中，． 13．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 14．（24-25八年级上·全国·期中）若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 15．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）对于任意实数a、b、c、d，我们将式子称为二阶行列式，并且规定． (1)计算的值； (2)若，求的值． 16．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值． 17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为，的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，为正整数，求的值． 18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 19．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 整式运算的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 2 类型二、整式中的化简求值 4 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 6 类型四、多项式乘多项式与图形面积 9 类型五、多项式乘法中的规律性问题 14 压轴能力测评（19题） 18 解题知识必备 1.单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 2.单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 3.多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 压轴题型讲练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，即可求出m、n的值． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、代入消元法 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 类型二、整式中的化简求值 例题：（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时，原式． 【变式训练1】（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的乘法的混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键． 根据单项式乘多项式，多项式乘多项式法则运算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式训练3】（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式训练4】（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，； 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式四则混合运算、多项式除以单项式 【分析】本题考查整式的化简求值，根据多项式的乘法除法法则直接计算化到最简，再将数字代入求解即可得到答案； 【详解】解：原式 当，时， 原式． 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)35 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值； （2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ， 由于展开式中不含x的一次项，常数项是， 则且， 解得：，； （2）由（1）可知：，， 原式 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式，A与B的乘积中不含有，且常数项为24． (1)试确定m和n的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先计算A与B的乘积，合并同类型后，由乘积中不含有项和常数项为24，列方程即可得到答案； （2）把A与B分别代入利用整式的加减运算法则进行计算即可． 本题考查整式的乘法混合运算和整式的加减运算，准确对式子进行化简并理解乘积中不含某个项的含义是解题的关键． 【详解】（1） 因为不含，常数项为24 所以 ； （2） ． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵不含和常数项， ∴，， ∴，． （2）解：， 由（1）知，， 原式． 【变式训练3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若 的积中不含x项与项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值的问题，注意计算的准确性即可. （1）计算，令含x项与项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可. 【详解】（1）解： ∵的积中不含x项与项 ∴， 解得： （2）解：∵， ∴ ∴ 类型四、多项式乘多项式与图形面积 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图形的面积来解释公式，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如图，图形的面积可解释恒等式． (1)请写出图表示的代数恒等式为 ； (2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式：； (3)请仿照上述方法另写一个含，的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为： ． 【答案】(1) (2)图见解析； (3)（答案不唯一）． 【分析】（）图（）中大长方形的长为，宽为，根据题意列出恒等式； （）根据给出的恒等式，画出的几何图形的长为 ，宽为即可； （）根据给出的例子画出几何图形，并写出恒等式即可； 本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握相关的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）图面积的表示： 方法一：， 方法二：， ∴， 故答案为：； （2）如图， 面积表示： 方法一：， 方法二：， ∴； （3）如图， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)216． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ； 【变式训练2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，就可以用图②中的几何图形的面积来表示． (1)请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示 (3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积，解答的关键是掌握长方形和正方形的面积公式； （1）利用矩形的面积相等列关系式即可； （2）画一个长为，宽为的矩形即可； （3）一个含有的代数恒等式可以是然后画一个长为，宽为的矩形即可． 【详解】（1）解：根据图形可得：， 故答案为：； （2）解：画图如下(答案不唯一)：它的面积能表示； （3）解：恒等式是，如图所示(答案不唯一)． 【变式训练3】（22-23七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)图见详解， (3)5 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法； （1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （3）将化为，由（2）可得，即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为， 方法二：图2的面积可表示为： ， ， 故答案：； ②方法一：图3的面积可表示为， 方法二：图3的面积可表示为： ， ； 故答案：； （2）解：如图， ； 故答案：； （3）解： 由（2）可得：， ， ， ∴． ∴当时， ． 类型五、多项式乘法中的规律性问题 例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． (2)请你利用上面的结论计算：= ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）归纳总结得到规律，写出结果即可； （2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）． 【变式训练1】（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）自“双减”政策实施以来，我校积极响应政策要求，精心设计课后服务，根据学生的兴趣爱好开设了各种社团活动，受到了学生与家长的一致好评．在某天的课后服务中参加数学兴趣小组的小明同学在做“化简”时遇到了困难，聪明的你能帮帮小明吗？ 思考：我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空： ； ；由此猜想： ． (2)利用这个结论，请你解决下面的问题： ①求的值； ②若，则a等于 ． 【答案】(1)；； (2)①  ② 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律探究问题： （1）利用多项式乘以多项式的法则，进行计算即可； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②利用（1）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； 猜想：； 故答案为：；；； （2）①； ②∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键. （1）根据题意得到规律即可； （2）由即可得到答案； （3）设①，则②，①＋②后即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得， 故答案为： （2）由题意可得， ， ∴ 故答案为： （3）设① 则② ①＋②得， ∴ 【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）【问题提出】 计算： 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为： 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： ① ②由①知，所以， （1）仿照②，写出进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）______． 【问题解决】 （3）计算：______（结果用乘方表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的关键． （1）仿照②进行解答即可； （2）归纳①、②得到规律即可； （3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ． （3） ． 压轴能力测评（19题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值是（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开，进而求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为5，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、加减消元法 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，根据多项式乘多项式的法则，计算后，根据不含的二次项，且一次项系数为5，得到的二次项的系数为0，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解： ， 由题意，得：，解得：， ∴； 故选D． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）把三张大小相同的矩形卡片A，B，C叠放在一个底面为矩形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】根据矩形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后比较和的大小．此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则解本题的关键． 【详解】解：设底面的矩形的长为，宽为，矩形卡片，，的长为，宽为， 由图1，得， 由图2，得， 则． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】9 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 7．（上海市普陀区2024—2025学年七年级上学期中考试数学试题）如果关于x的整式和相乘的结果中不包含三次项，那么 ． 【答案】2 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果合并同类项，根据“关于的整式和相乘的结果中不含的三次项”建立方程，即可求解．解题的关键是明确不含的三次项，则三次项的系数为． 【详解】解： ， ∵关于的整式和相乘的结果中不含的三次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，先进行多项式乘以多项式的计算，再根据展开式中不含x项，项的系数为，得到，整体代入代数式计算即可． 【详解】解： ， 由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知长方形中，，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠），图①长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，图②长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，当时， ； 【答案】7 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】利用面积的和差关系，分别表示出和，再表示出，结合，，即可求解． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵ = =， = = =， ∴ =， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 10．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、整式乘法混合运算、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②错误； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查整式的乘法法则、加减法则、代数式求值，根据整式乘法法则展开，然后合并同类项，最后将代入即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 12．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、多项式除以单项式 【分析】原式中括号里利用多项式乘多项式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握整式运算法则是解本题的关键． 13．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 【详解】解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 14．（24-25八年级上·全国·期中）若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值、积的乘方的逆用 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）将与的值代入计算即可求出值； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含和项， ∴，， ∴，， ∴； （2）解： 当，时，原式 ． 15．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）对于任意实数a、b、c、d，我们将式子称为二阶行列式，并且规定． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、用科学记数法表示数的乘法 【分析】（1）根据题中给的二阶行列式计算方法，整式的混合即可求解； （2）根据题中给的二阶行列式计算方法，整式的混合运算，整体代入求值即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查定义新运算，整式混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 16．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． （1）根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可； （2）根据提供提供的方法列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一次项系数为． （2）解：由题意，得二次项系数为： ， 解得， 即a的值为2． 17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为，的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为； (3)的值为7或5． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式的乘法与几何图形，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是1个正方形的面积和3个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式； （2）由（1）的结论结合已知得到，则，，进一步计算即可求解； （3）将已知等式得到，，根据，为正整数，求得，分别为1，6或2，3，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，这个等式可以为， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得， ∵， ∴， 即，， ∴，， ∴的值为； （3）解：由题意得， ∴，， ∵，为正整数， ∴，分别为1，6或2，3或6，1或3，2， ∴或， 综上，的值为7或5． 18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3)，理由见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． （3）解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 19．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)24 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$