专题10 幂的运算的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题10 幂的运算的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、幂的混合运算 2 类型二、利用幂的运算及逆用比较大小 5 类型三、利用幂的运算及逆用简便运算 8 类型四、利用幂的运算及逆用求式子的值 12 类型五、利用幂的运算及逆用求解新定义型问题 15 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 1.同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 2.幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 压轴题型讲练 类型一、幂的混合运算 例题：（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式训练3】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、利用幂的运算及逆用比较大小 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 类型三、利用幂的运算及逆用简便运算 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ （________） (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）阅读下列各式：… 回答下列三个问题： (1)验证：　　，　　； (2)通过上述验证，归纳得出：　　；　　． (3)请应用上述性质计算：． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：； ；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请把a，b，c用“”连接起来； (2)若，求的值； (3)化简：． 类型四、利用幂的运算及逆用求式子的值 例题：（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母、、之间的数量关系为________． 【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【变式训练3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若（且），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)已知，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，用含的代数式表示． 类型五、利用幂的运算及逆用求解新定义型问题 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）规定两数，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： ，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【变式训练1】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【变式训练3】（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（2024·广东惠州·模拟预测）计算的结果（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算的结果等于 ． 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，则 ． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 三、解答题 11．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 13．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）若且，，是正整数，则．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？ (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 14．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）计算： （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 15．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程： 试比较与的大小． 解：，而． 请根据上述解题方法，比较的大小． 17．（24-25七年级上·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ，　　，； (2)若，，，请你尝试运用上述运算证明：； (3)进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，∴，∴， ∴，即． ∴． 结合（2）、（3）探索的结论，计算： ． 18．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)____________；若，则____________； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，求的值 19．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 20．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么 例如：因为，所以． 规定：，比如： (1)根据上述规定，填空：____________，____________，____________． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：他给出如下的证明：设，则，而，所以，则，即，所以 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式： (3)请你参照（2）的，写出一个成立的等式____________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 幂的运算的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、幂的混合运算 2 类型二、利用幂的运算及逆用比较大小 5 类型三、利用幂的运算及逆用简便运算 8 类型四、利用幂的运算及逆用求式子的值 12 类型五、利用幂的运算及逆用求解新定义型问题 15 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 1.同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 2.幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 压轴题型讲练 类型一、幂的混合运算 例题：（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式训练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的混合运算、合并同类项 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键 （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式训练3】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握各个运算法则； （1）根据同底数幂相乘、幂的乘方法则可进行求解； （2）根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘可进行求解； （3）根据积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项可进行求解； （4）将和看作整体，根据幂的乘方法则可进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 类型二、利用幂的运算及逆用比较大小 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用、同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这三个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：，，， 而， ； （2）解： ． 【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可； （2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可． 【详解】（1）因为，， 所以． 故答案为：； （2）因为， ， ， 且， 所以， 所以． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方以及实数比大小，灵活运用幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方已知条件可得，结合即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 类型三、利用幂的运算及逆用简便运算 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律、逆用积的乘方等知识点，掌握是解题的关键． （1）先运用乘法结合律、再逆用积的乘方进行简便运算即可； （2）先变形，然后逆用积的乘方进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ （________） (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 【答案】(1)0.25，4，1； (2)①；②4． 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． （1）根据乘法的交换律、积的乘方的逆用等计算即可； （2）①仿照小李的解题方法计算即可； ②根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算得出，求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）① ； ② ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）阅读下列各式：… 回答下列三个问题： (1)验证：　　，　　； (2)通过上述验证，归纳得出：　　；　　． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键． （1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法； （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：1，1； （2）解：； 故答案为：，； （3）解： ． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：； ；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请把a，b，c用“”连接起来； (2)若，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)200 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘方，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：， ∵， ∴原式； （3）解： ． 类型四、利用幂的运算及逆用求式子的值 例题：（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母、、之间的数量关系为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的除法， （1）根据幂的乘方直接解答即可； （2）根据同底数幂的除法进行解答即可； （3）根据同底数幂的除法求出，再和（2）的结论进行对比即可得出结论； 熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴字母a、b、c之间的数量关系为：． 故答案为：． 【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）由题意得出，即可得出答案； （2）将代入可得答案． 【详解】（1）解：． ， ， ； （2）解：， ， ． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 【变式训练3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若（且），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)已知，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)1 (2)2 (3) 【分析】此题考查了同底数幂相乘、幂的乘方等方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． （1）根据幂的乘方和积的乘方化简，再列方程求解即可； （2）根据同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方化简，再列方程求解即可； （3）将代入化简为即可求解． 【详解】（1）解：， 由题意得， 解得， ∴的值是1； （2） ， 可得， 解得， ∴的值是2； （3）， ， ， 整理，得， ∴用含的代数式表示为：． 类型五、利用幂的运算及逆用求解新定义型问题 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）规定两数，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： ，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【答案】(1)3；2 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ； ， 故答案为：3；2 （2）设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 【变式训练1】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据新定义列式计算即可求解； （）根据新定义列式，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可求解； 本题考查了乘方及同底数幂乘法的逆运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算， （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算、的值，即可求解； （3）由题意得，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，3． （2）解：依题意，，、 ∴； （3）解：根据题意得： ，， ， ． 【变式训练3】（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（2024·广东惠州·模拟预测）计算的结果（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了整式的运算．根据积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A：，运算错误，不符合题意； B：，运算正确，符合题意 C：，运算错误，不符合题意； D：，运算错误，不符合题意； 故选：B 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】此题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算，正确得出关于m，n的方程是解题关键． 先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较，进而得出关于m，n的方程即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴，． 故选：A． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算的结果等于 ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】25 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂乘法法则、积的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂乘法的逆用求得成为解题的关键． 先逆用同底数幂乘法法则以及已知条件可得，然后再逆用积的乘方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：25． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了代数式求值和同底数幂的乘法，先将代数式化成同底数幂的乘法的形式，在进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂运算的性质，根据幂运算的性质把它们变成相同的指数，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】先根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方进行化简，再运用同类项法则进行合并，即可作答．本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：原式． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）先利用积的乘方运算法则求解，再加减求解即可； （2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 13．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）若且，，是正整数，则．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？ (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算，熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算的运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算即可求解； （2）根据幂的乘方和积的乘方及其逆运算即可求解． 【详解】（1） ∴ 解得； （2） ∴ 解得． 14．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）计算： （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方以及逆运用、幂的乘方以及逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简积的乘方，幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． （2）先整理，再代入，，即可作答． （3）先整理以及，再把代入，进行运算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）； （3）∵ ∴ ． 15．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用． （1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决； （2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决； （3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴ ． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程： 试比较与的大小． 解：，而． 请根据上述解题方法，比较的大小． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据指数底数大于，指数相同时，底数越大幂越大，即可得出答案，熟练掌握幂的乘方的运算是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 而， ， ． 17．（24-25七年级上·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ，　　，； (2)若，，，请你尝试运用上述运算证明：； (3)进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，∴，∴， ∴，即． ∴． 结合（2）、（3）探索的结论，计算： ． 【答案】(1)3， (2)见解析 (3)3 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据题意可得，，进而求解； （2）由，，，得，，，即知，从而； （3）设，，由结论得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为：3，； （2）解：，，， ，，， ， ， ； （3）解： ， 设，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 18．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)____________；若，则____________； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，求的值 【答案】(1)4；64 (2) (3) 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂相乘、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方及其逆运算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂乘法计算法则得到，据此可得答案； （3）根据新定义得到，再由幂的乘方计算法则求出，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；64； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 19．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么 例如：因为，所以． 规定：，比如： (1)根据上述规定，填空：____________，____________，____________． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：他给出如下的证明：设，则，而，所以，则，即，所以 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式： (3)请你参照（2）的，写出一个成立的等式____________． 【答案】(1)3；0； (2)证明见解析 (3)（答案不唯一） 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方计算： （1）根据新定义进行求解即可； （2）设，则，则由同底数幂乘法计算法则得到，则，据此可证明结论； （3）类似于（2）写出符合题意的式子即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3；0；； （2）证明：设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$