九年级数学第三次月考卷（沪教版，九上全部）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版，第 14 章相似三角形 40%、第 15 章锐角的三角比 20%、第 16 章二次函数 40%。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．如果一幅地图的比例尺为1: 50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（ ） A．6 厘米 B．15厘米 C．60厘米 D．150厘米 【答案】A 【详解】解：∵ 比例尺为1: 50000，实际距离是3千米， ∴ 图上距离 300000 (1: 50000) 6cm   ， 故选：A． 2．如图，在 ABC 中， 90C  ， 13AB  ， 5BC  ，则 sin A 的值是（ ） A． 13 5 B． 5 12 C． 5 13 D． 12 13 【答案】C 【详解】解： ∵ 13AB  ， 5BC  ， 5 sin 13 BC A AB    ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故答案为：C． 3．二次函数  22 1y x   图象的顶点坐标是（ ） A．  2,1 B．  2, 1 C．  1,2 D．  1 2 ， 【答案】D 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为    2 2 22 1 1y x x     ， ∴ 二次函数图象的顶点为  1 2 ， ． 故选：D． 4．将二次函数  21 2y x   的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的二次函数解析 式是（ ） A．𝑦 = (𝑥 − 1) − 5 B．  21 1y x   C．  23 1y x   D．  2y 3 5x   【答案】D 【详解】解：二次函数  21 2y x   的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的二次 函数解析式是  21 2 2 3y x     ，即  23 5y x   ， 故选 D 5．已知 2b a    ，那么下列判断错误的是（ ） A． 2b a   B．2 0a b   C．b a   ∥ D．b a   【答案】B 【详解】解：A．∵ 2b a    ， ∴ a与b  是方向相反的向量，且向量b  的长度为向量 a  长度的 2 倍， ∴ 2b a   ，故该选项判断正确，不符合题意； B．由 2b a    得到b a   ∥ ，则2 0a b    ，故该选项判断错误，符合题意； C．由 2b a    得到b a   ∥ ，故该选项判断正确，不符合题意； D．由 2b a    得到 2b a   ，则b a   ，故该选项判断正确，不符合题意； 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6．如图，在△ ABC 中，AD⊥ BC，点 D 为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ） 2 2 2• • • • •AD BD CD AB CD AC AD AC BC CD AB AC BD① ＝ ② ＝ ③ ＝ ④ ＝ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【详解】解： ∵① AD⊥ BC， ∴ ∠ ADC=∠ADB=90°， ∵ 2AD BD CD  ， ∴ AD CD BD AD  ， ∴ △ ADC∽ △ BDA， ∴ ∠ DAC=∠ABD， ∴ ∠ ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°， 故①符合题意； ∵② AB•CD=AC•AD， ∴ AB AD AC CD  ， ∵ ∠ ADB=∠ADC=90°， ∴ △ ABD∽ △ CAD， ∴ ∠ ABD=∠CAD， ∴ ∠ BAD+∠CAD=90°， ∴ ∠ BAC=90°， 故②符合题意； ∵③ 2 •AC BC CD ， ∴ AC CD BC AC  ， ∵ ∠ ACD=∠BCA， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ △ ACD∽ △ BCA， ∴ ∠ ADC=∠BAC=90°， 故③符合题意； ④由 2 •AB AC BD 不能证明△ABC 与△ABD 相似， 故④不符合题意； 故选：C． 第二部分（非选择题 共 126 分） 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 7．若  2 1my m x   是关于 x 的二次函数，则m  ． 【答案】 2 【详解】解：∵ 函数  2 1my m x   是二次函数， ∴ 2 0 2 m m     ， 解得： 2m   ， 故答案为： 2 ． 8．二次函数 22 5 1y x x   的图像与 y 轴的交点坐标为 【答案】（0，-1） 【详解】解：∵ 22 5 1y x x   ，当 x=0 时，y=-1， ∴ 二次函数 22 5 1y x x   的图象与 y 轴交点坐标是（0，-1）. 故答案为：（0，-1）． 9．已知在 ABC 中， AD是中线，G 是重心，如果 3cmGD  ，那么 AG  cm． 【答案】6 【详解】解：由题意可知 2 1 AD GD  ，即 2 3 1 AD  ， ∴ 6cmAD  ． 故答案为：6． 10．在Rt ABC△ 中， 90C  ， B   ， 2AB  ，那么BC  ．（结果用 的锐角三角函数表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【答案】2cos 【详解】解：在Rt ABC△ 中， 90C  ， B   ， 2AB  ， ∴ cos 2cosBC AB B    ， 故答案为：2cos ． 11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C 是线段 AD的黄金分割 点 ( )AC CD ．已知 ( 5 1)BC   厘米，那么 AC  厘米． 【答案】2 【详解】解：五角星是正五角星， ( 5 1)CD BC    厘米， C 是线段 AD的黄金分割点 ( )AC CD ，  5 1 2 CD AC   ，即 5 1 5 1 2AC    ， 解得 2AC  厘米． 故答案为：2． 12．如图，已知， AD是 ABC 的中线，E 是 AD的中点，则 :AF FC  ． 【答案】1: 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【详解】解：过点D作DH BF∥ 交 AC 于 H ， 则 CD CH DB HF  ， AF AE FH ED  AD 是 ABC 的中线，E 是 AD的中点， BD DC  ， AE ED ， CH HF  ， AF FH : 1: 2AF FC  ． 故答案为：1: 2． 13．如图，在 ABC 中，点D为 AB 上的点， 3, 5, 2 3,AD AB CD ACD B      ，则BC  ． 【答案】 2 5 【详解】解：∵ DAC CAB  ， ACD B  ， ∴ ACD ABC△ ∽△ ∴ AC AD CD AB AC BC   ∵ 3, 5, 2 3AD AB CD   ， ∴ 3 2 3 5 AC AC BC   ∴ 15AC  ， 2 5BC  , 故答案为： 2 5 ． 14．如图，E 是平行四边形 ABCD的边BA延长线上的一点，CE 交 AD于点F ，交BD于点G ， : 1: 2AE AB  ， 设BA a   ， BC b   = ．用向量a  、b  分别表示向量CG   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【答案】 3 2 5 5 a b   【详解】解：∵ : 1: 2AE AB  ，BA a   ， ∴ 3 2 BE a  ， ∵ BC CE BE     ， BC b   = ， ∴ 3 2 CE a b     ， ∵ 四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB CD ， ∵ CD EB∥ ， ∴ BEG DCG△ △∽ ， ∴ : : 3: 2EG CG EB CD  ， ∴ : 2 :5GC EC  ， ∴ 2 2 3 3 2 5 5 2 5 5 CG CE a b a b              15．已知点 A  1 1x y， 和 B  2 2x y， 是抛物线  2=2 3 5y x   上的两点，如果 1 2 4x x  ，那么 1y 2y ．（填 “ ”、“ ”或“ ”） 【答案】 【详解】解：∵  2=2 3 5y x   ， ∴ =2 0a  ， ∴ 抛物线开口向上， ∵ 抛物线  2=2 3 5y x   对称轴为直线 =3x ， ∵ 1 2 4x x  ， ∴ 1 2y y ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 答案为： 16．如图，矩形DEFG 的一边GF 在 ABC 的边BC 上，D、E 分别在 AB 、AC 上，AH BC 交DE 于M ， : 1: 2DG DE  ， 12BC  cm， 8AH  cm，则DE 的长 cm． 【答案】 48 7 / 6 6 7 【详解】解：设DG x cm ，则 2DE x cm ， 四边形DEFG 是矩形， //DE BC ， ADE ABC△ △∽ ， AH BC 交DE 于M ， 四边形DGHM 是矩形， DG MH x   ， 8AH cm ， 8AM AH MH x     ， AM ， AH 分别是 ADE ， ABC 的对应高，  DE AM BC AH  ，  2 8 12 8 x x  ， 解得： 24 7 x  ， 48 2 7 DE x cm   ， 故答案为 48 7 cm． 17．如图，边长分别为 5，3，2 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的 面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【答案】 15 4 【详解】解：如图， 根据题意， 2EH  ， 3EF CE CG GF    ， 5AB BC  ， 90TEH KCH ABH F FGC          ，CG EF∥ ， ∴ 阴影部分是直角梯形， 又∵ THE KHC AHB     ， ∴ THE AHB ∽ ， KHC AHB ∽ ， ∴ TE EH AB BH  ， CK CH AB BH  ， 即 2 5 2 3 5 TE    ， 2 3 5 2 3 5 CK     ， 解得 1TE  ， 5 2 CK  ， ∴ 5 1 3 2 2 GK CG CK     ， 3 1 2FT EF TE     ， ∴ 1 1 15 2 3 2 2 4 S          阴影 ， 故答案为： 15 4 ． 18．二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，顶点坐标 (1, 2)，且关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c m    没有实数根，有下列结论：① 24ac b ；② 0abc  ；③ 2m  ；④点 ( , )P m n 是抛物线上任意一点，则 ( )  m am b a b，其中，正确的结论是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【答案】①③④ 【详解】解：∵ 抛物线与 x轴有两个交点，则 2 4 0b ac    ， ∴ 24ac b 故①正确； 根据题意可得： 0a＜ ， 0c＞ ， ∵ 顶点坐标 (1, 2)， ∴ 1 2 b a   ， ∴ 2 0b a   ， ∴ 0abc＜ 故②错误； 由关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c m    没有实数根，可知， ∴ 抛物线 2y ax bx c   图象与 y m 的图象没有交点，则 2m＞ ，故③正确； ∵ 顶点坐标 (1, 2)， ∴ 当𝑥 = 1是， y 有最大值 21 1y a b c a b c        ， ∵ 点 ( , )P m n 是抛物线 2y ax bx c   上任意一点， ∴ 2am bm c a b c     ， ∴ ( )  m am b a b，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10 分）计算：    2 0 11 cot 30 2sin 45 cos 45 tan 60 2         ． 【详解】解：    2 0 11 cot 30 2sin 45 cos 45 tan 60 2          2 2 11 3 2 1 2 3 2        ..................................2 分  3 1 2 1 3 2      原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 3 1 2 1 3 2      ..................................6 分 2 3 ． ..................................10 分 20．（10 分）如图，在 ABC 中， 5AC  ， 13BC  ， 5cos 5 A  ，点D在BC 边上，且 2CD BD ，DE AB ， 垂足为E ，联结CE ． (1)求线段 AB 的长； (2)求 CEA 的正切值． 【详解】（1）解：如图所示，过点C 作CF AB 于点F ， ∵ 5AC  ， 5 cos 5 AF A AC   ， ∴ 1AF  ∴ 2 2 2CF AC AF   在Rt BCF 中， 2 2 13 4 3FB CB CF     ， ∴ 1 3 4AB AF FB     ， ..................................5 分 （2）∵ 2CD BD ， 13BC  ， ∴ 1 13 3 3 BD CB  ∵ 3, 13FB CB  ∴ 3 3 13 cos 1313 EB FB B DB CB     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴ 13 3 13cos 1 3 13 BE DB B     ， ∴ 2EF  又∵ 2CF  ，CF AB ∴ tan tan 1 CF CEA CEF EF      ..................................10 分 21．（10 分）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，E 为边 AB 上一点，且 2BE AE ．设 ,AB a AD b     ． (1)填空：用向量 ,a b  的式子表示向量DE   _____； (2)如果点F 是线段OC 的中点，那么用向量 ,a b  的线性组合表示向量EF   ______，并在图中画出向量EF  在 向量 AB  和 AD  方向上的分向量． 【详解】（1）解： 2BE AE ， 1 3 AE AB  ，  AB a   = ， 1 3 AE a    ，  AD b   ， 1 3 DE DA AE b a           ， ..................................5 分 （2）解：四边形 ABCD是平行四边形，对角线 AC BD、 相交于点O，点F 是线段OC 的中点， 1 1 3 2 4 4 AF AO OF AC AC AC      ， AC AB BC a b        ，  3 3 3 3 4 4 4 4 AF AC a b a b           ， 1 3 3 5 3 3 4 4 12 4 EF EA AF a a b a b                ， 如图，过E 作 AD的平行线，过F 作FM AB∥ 交与过E 作 AD的平行线交于点M ，过F 作FN EM∥ 交 AB 于 N ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴ 向量EF  在向量 AB  和 AD  方向上的分向量分别为：EM  ，EN  ，如图所示： ． ..................................10 分 22．（10 分）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售 20 个，每个 盈利 12 元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降 价 1 元，平均每天可以多卖 5 个． (1)若每个书包降价 x元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利 300 元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：若每个书包降价 x元，则可多卖5x 个，每个盈利 (12 )x 元； 故答案为：5x ， (12 )x ； ..................................2 分 （2）设每个书包降价 x元，可盈利 300 元， 则 (12 )(20 5 ) 300x x   ， 解得： 1 2x  （舍去）， 2 6x  ， 每个书包降价 6 元； ..................................4 分 （3）设每个书包降价 x元，最大利润为 y 元， 则 (12 )(20 5 )y x x   25 40 240x x    ， 25( 8 16 16) 240x x      25( 4) 320x    ， 当 4x  时， y 有最大值，最大值为 320； 答：当降价 4 元时利润最大，最大利润为 320 元． ..................................4 分 23．（12 分）已知：如图，在梯形 ABCD中，AD BC∥ ，AB BC ，点 M 在边BC 上，且 MDB ADB  ， 2BD AD BC  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 (1)求证：BM CM ； (2)作BE DM ，垂足为点 E，并交CD于点 F．求证：2AD DM DF DC   ． 【详解】（1）证明： AD BC  ， AB BC ， MDB ADB  ， ADB DBC MDB   ， 90A  ， BM DM  ， 又 2BD AD BC  ，即 AD BD BD BC  ， ADB DBC ∽ ， 90BDC A   ， 90C MDC DBC    ， DM CM  ， BM CM  ， ..................................6 分 （2）证明：如图， 90MDC DFB    ， DFB DBC  ， Rt RtDFB DBC  ∽ ，  BD DC DF BD  ， 2DF DC BD  2 (2 ) 2BD AD BC AD DM AD DM      ， 2AD DM DF DC   ． ..................................12 分 24．（12 分）如图，已知抛物线 2 2 3y x x    与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 (1)求点 A、B，C 的坐标； (2)抛物线的对称轴 l 与 x 轴的交点为 D，连接 AC ，在抛物线上是否存在点 E、F（点 E、F 关于直线 l 对称， 且 E 在点 F 左侧），使得以 D、E、F 为顶点的三角形与 AOC△ 相似，若存在，求出点 E 的坐标，若不存在， 请说明理由． 【详解】（1）解：在 2 2 3y x x    中，令 0y  ， 2x 2x 3 0    ， 解得 1 3x   ， 2 1x  ， ∴点 A 的坐标为  3,0 ，点 B 的坐标为  1,0 ， 在 2 2 3y x x    中，令 0x  ， 3y  ， ∴点 C 的坐标为  0,3 ； ..................................4 分 （2）解；存在，由  22 2 3 1 4y x x x        知抛物线的对称轴 l 为直线 1x   ， ∴点 D 的坐标为  1,0 ； ∵  3 0A  , ，  0,3C ， ∴ 3OA OC  ， ∴ AOC△ 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， ∴ 45OAC  ， 如图，设EF 交 l 于点 G， ∵点 E，F 关于直线 l 对称， ∴ DF DE ， ∵ EDF AOC  ， 则 90EDF  ， 45DEF  ， ∴DG FG ． ..................................8 分 分两种情况讨论： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 当点 E 在 x 轴上方时，设 E1的横坐标为 n  1n   ， 则 1 1 1E G n   ， 1 1 1 1DG E G n    ，  1 , 1E n n  ， 将其代入 2 2 3y x x    中，得 21 = 2 3n n n     ， 解得 1 1 17 2 n    ， 2 1 17 2 n    （舍去）， ∴ 1 1 17 1 17 , 2 2 E           ， 当点 E 在 x 轴下方时，设 2E 的横坐标为 n  1n   ，则 2 2 1E G n   ， 2 2 2 1DG E G n    ， ∴  2 ,1E n n ， 将其代入 2 2 3y x x    中，得 21 = 2 3n n n    ， 解得 1 3 17 2 n    ， 2 3 17 2 n    （舍去）， ∴ 2 3 17 1 17 , 2 2 E           ， 综上所述，在抛物线上存在点 E、F（点 E、F 关于直线 l 对称，且 E 在点 F 左侧），使得以 D、E、F 为顶点 的三角形与 AOC△ 相似， ∴点 E 的坐标为 1 1 17 1 17 , 2 2 E           ， 2 3 17 1 17 , 2 2 E           ． ..................................12 分 25．（14 分）已知矩形 ABCD中， 6 8AB BC ， ，P 是边 AD上一点，将 ABP 沿直线BP 翻折，使点A 落 在点E 处，连接DE ，直线DE 与射线CB 交于点F ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 (1)如图1，当点F 在边BC 上，若PD BF 时，求 AP 的长； (2)若射线 AE 交BC 的延长线于点Q，设 AP x ，QC y ，求 y 与 x的函数解析式，并写出 x定义域； (3)①如图2，直线DE 与边 AB 交于点G ，若 PDE△ 与 BEG 相似，求 AEG 的正切值； ②如图3，当直线DE 与BP 的延长线交于点H ，若 BPE 和 DHP 面积相等，请直接写出DH 的长． 【详解】（1）解：如图，∵ 在矩形 ABCD中， AD BC∥ ，且PD BF ， ∴ 四边形BFDP为平行四边形， ∴ PB DF∥ ， ∴ 1 3   ， 2 4  ， 由翻折知， 1 2   ， AP PE ， ∴ 3= 4  ， ∴ PE PD ， ∴ 1 2 PE PD AP AD   ， ∵ 8AD BC  ， ∴ 4AP  ； ..................................5 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 （2）解：∵ 在矩形 ABCD中， 90BAD ABC    ， ∴ 90ABP QBP   + ， 由折叠可得， AP EP ， AB EB ， ∴ PB垂直平分 AE ， ∴ 90QBP Q   ， ∴ Q ABP   ， ∴ ABP BQA ∽ ， ∴ AP AB AB BQ  ， ∴ 6 6 8 x y   ， ∴ 36 8y x   ， ∵ 36 8 0 x   ， ∴ 9 2 x  ， ∴ x的定义域为 9 0 2 x  ； ..................................10 分 （3）解：①设 ADG   ， 当 PDE BEG ∽ 时， GEB PDE     ， ∴ 90BGE    ， ∴ 90 2GBE    ， 由折叠可知， 45ABP PBE      ， ∵ PB AE ， ∴ 90 45AEB PBE      ， ∴ 45AEG AEB GEB    ， ∴ tan tan 45 1AEG    ； 当 PDE EBG ∽ 时， PDE GBE     ， ∴ 1 2 ABP PBE     ， ∴ 1 90 2 APB BPE       ， ∴ DPE   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∴ GEB DPE     ， ∴ 90 90BGE ADE      ， 在 PDE 中，90 3 180  ， ∴ 30  ， ∴ 1 90 90 15 30 45 2 AEG AEB GEB               ， ∴ tan tan 45 1AEG    ； 综上， tan 1AEG  ； ..................................12 分 ②如图，连接 AH BD AE、 、 ，分别过 A H、 作 AM BD 于点M ，HN BD 交𝐵𝐷延长线于点N ，则 HN AM∥ ， 由折叠知， BPE ABPS S  ， ∵ BPE DHPS S  ， ∴ DHP ABPS S  ， ∴ DHP DBP ABP DBPS SS S      ， 即 ABD HBDS S  ， ∴ 1 1 · · 2 2 AM BD HN BD ， ∴ AM HN ， ∴ 四边形 AMNH 为矩形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∴ AH BD∥ ， ∴ AHB HBD  ， 由( 2 )知 PB垂直平分 AE ， ∴ AH EH ， ∴ AHB FHB   ， ∴ HBD FHB  ， ∴ DH BD ， ∵ 6AB  ， 8AD BC  ， ∴ 2 2 2 26 8 10BD AB AD     ， ∴ 10DH  ． ..................................14 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版，第 14 章相似三角形 40%、第 15 章锐角的三角比 20%、第 16 章二次函数 40%。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．如果一幅地图的比例尺为1: 50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（ ） A．6 厘米 B．15厘米 C．60厘米 D．150厘米 2．如图，在 ABC 中， 90C  ， 13AB  ， 5BC  ，则 sin A 的值是（ ） A． 13 5 B． 5 12 C． 5 13 D． 12 13 3．二次函数  22 1y x   图象的顶点坐标是（ ） A．  2,1 B．  2, 1 C．  1,2 D．  1 2 ， 4．将二次函数  21 2y x   的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的二次函数解析 式是（ ） A．𝑦 = (𝑥 − 1) − 5 B．  21 1y x   C．  23 1y x   D．  2y 3 5x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．已知 2b a    ，那么下列判断错误的是（ ） A． 2b a   B．2 0a b   C．b a   ∥ D．b a   6．如图，在△ ABC中，AD⊥ BC，点 D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ） 2 2 2• • • • •AD BD CD AB CD AC AD AC BC CD AB AC BD① ＝ ② ＝ ③ ＝ ④ ＝ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第二部分（非选择题 共 126 分） 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 7．若  2 1my m x   是关于 x的二次函数，则m  ． 8．二次函数 22 5 1y x x   的图像与 y轴的交点坐标为 9．已知在 ABC 中， AD是中线，G是重心，如果 3cmGD  ，那么 AG  cm． 10．在Rt ABC△ 中， 90C  ， B   ， 2AB  ，那么BC  ．（结果用 的锐角三角函数表示） 11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段 AD的黄金分割 点 ( )AC CD ．已知 ( 5 1)BC   厘米，那么 AC  厘米． 12．如图，已知， AD是 ABC 的中线，E是 AD的中点，则 :AF FC  ． 13．如图，在 ABC 中，点D为 AB上的点， 3, 5, 2 3,AD AB CD ACD B      ，则BC  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 14．如图，E是平行四边形 ABCD的边BA延长线上的一点，CE交 AD于点F ，交BD于点G， : 1: 2AE AB  ， 设BA a   ， BC b   = ．用向量a  、b  分别表示向量CG   ． 15．已知点 A  1 1x y， 和 B  2 2x y， 是抛物线  2=2 3 5y x   上的两点，如果 1 2 4x x  ，那么 1y 2y ．（填 “ ”、“ ”或“ ”） 16．如图，矩形DEFG的一边GF 在 ABC 的边BC上，D、E分别在 AB、AC上，AH BC 交DE于M ， : 1: 2DG DE  ， 12BC  cm， 8AH  cm，则DE的长 cm． 17．如图，边长分别为 5，3，2 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的 面积为 ． 18．二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，顶点坐标 (1, 2)，且关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c m    没有实数根，有下列结论：① 24ac b ；② 0abc  ；③ 2m  ；④点 ( , )P m n 是抛物线上任意一点，则 ( )  m am b a b，其中，正确的结论是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10 分）计算：    2 0 11 cot 30 2sin 45 cos 45 tan 60 2         ． 20．（10 分）如图，在 ABC 中， 5AC  ， 13BC  ， 5cos 5 A  ，点D在BC边上，且 2CD BD ，DE AB ， 垂足为E，联结CE． (1)求线段 AB的长； (2)求 CEA 的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 21．（10 分）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，E为边 AB上一点，且 2BE AE ．设 ,AB a AD b     ． (1)填空：用向量 ,a b  的式子表示向量DE   _____； (2)如果点F 是线段OC的中点，那么用向量 ,a b  的线性组合表示向量EF   ______，并在图中画出向量EF  在 向量 AB  和 AD  方向上的分向量． 22．（10 分）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售 20 个，每个 盈利 12 元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降 价 1 元，平均每天可以多卖 5 个． (1)若每个书包降价 x元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利 300 元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 23．（12 分）已知：如图，在梯形 ABCD中，AD BC∥ ，AB BC ，点M在边BC上，且 MDB ADB  ， 2BD AD BC  ． (1)求证：BM CM ； (2)作BE DM ，垂足为点 E，并交CD于点 F．求证：2AD DM DF DC   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 24．（12 分）如图，已知抛物线 2 2 3y x x    与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C． (1)求点 A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴 l与 x轴的交点为 D，连接 AC，在抛物线上是否存在点 E、F（点 E、F关于直线 l对称， 且 E在点 F左侧），使得以 D、E、F为顶点的三角形与 AOC△ 相似，若存在，求出点 E的坐标，若不存在， 请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 25．（14 分）已知矩形 ABCD中， 6 8AB BC ， ，P是边 AD上一点，将 ABP 沿直线BP翻折，使点A 落 在点E处，连接DE，直线DE与射线CB交于点F ． (1)如图1，当点F 在边BC上，若PD BF 时，求 AP的长； (2)若射线 AE交BC的延长线于点Q，设 AP x ，QC y ，求 y与 x的函数解析式，并写出 x定义域； (3)①如图2，直线DE与边 AB交于点G，若 PDE△ 与 BEG 相似，求 AEG 的正切值； ②如图3，当直线DE与BP的延长线交于点H ，若 BPE 和 DHP 面积相等，请直接写出DH 的长． 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 A C D D B C 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7． 8．（0，-1） 9．6 10． 11．2 12． 13． 14． 15． 16．/ 17． 18．①③④ 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分） 【详解】解： ..................................2分 ..................................6分 ． ..................................10分 20．（10分） 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中，， ∴， ..................................5分 （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ..................................10分 21．（10分） 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ..................................5分 （2）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，点是线段的中点， ， ， ， ， 如图，过作的平行线，过作交与过作的平行线交于点，过作交于， ∴向量在向量和方向上的分向量分别为：，，如图所示：    ． ..................................10分 22．（10分） 【详解】（1）解：若每个书包降价元，则可多卖个，每个盈利元； 故答案为：，； ..................................2分 （2）设每个书包降价元，可盈利300元， 则， 解得：（舍去），， 每个书包降价6元； ..................................4分 （3）设每个书包降价元，最大利润为元， 则 ， ， 当时，有最大值，最大值为320； 答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元． ..................................4分 23．（12分） 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 又，即， ， ， ， ， ， ..................................6分 （2）证明：如图， ， ， ， ， ， ． ..................................12分 24．（12分） 【详解】（1）解：在中，令，， 解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，令，， ∴点C的坐标为； ..................................4分 （2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线， ∴点D的坐标为； ∵，， ∴， ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， 如图，设交l于点G， ∵点E，F关于直线l对称， ∴， ∵， 则，， ∴． ..................................8分 分两种情况讨论： 当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n， 则，，， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，， ∴， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似， ∴点E的坐标为，． ..................................12分 25．（14分） 【详解】（1）解：如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ..................................5分 （2）解：∵在矩形中，， ∴， 由折叠可得，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的定义域为； ..................................10分 （3）解：①设， 当时，， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上，； ..................................12分 ②如图，连接，分别过作于点，交延长线于点，则， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由()知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ..................................14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共24分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（14分）    请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 12 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 24 分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10 分） 21．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版，第 14 章相似三角形 40%、第 15 章锐角的三角比 20%、第 16 章二次函数 40%。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．如果一幅地图的比例尺为1: 50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（ ） A．6 厘米 B．15厘米 C．60厘米 D．150厘米 2．如图，在 ABC 中， 90C  ， 13AB  ， 5BC  ，则 sin A 的值是（ ） A． 13 5 B． 5 12 C． 5 13 D． 12 13 3．二次函数  22 1y x   图象的顶点坐标是（ ） A．  2,1 B．  2, 1 C．  1,2 D．  1 2 ， 4．将二次函数  21 2y x   的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的二次函数解 析式是（ ） A．𝑦 = (𝑥 − 1) − 5 B．  21 1y x   C．  23 1y x   D．  2y 3 5x   5．已知 2b a    ，那么下列判断错误的是（ ） A． 2b a   B．2 0a b   C．b a   ∥ D．b a   6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点 D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ） 2 2 2• • • • •AD BD CD AB CD AC AD AC BC CD AB AC BD① ＝ ② ＝ ③ ＝ ④ ＝ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第二部分（非选择题 共 126 分） 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 7．若  2 1my m x   是关于 x的二次函数，则m  ． 8．二次函数 22 5 1y x x   的图像与 y轴的交点坐标为 9．已知在 ABC 中， AD是中线，G是重心，如果 3cmGD  ，那么 AG  cm． 10．在Rt ABC△ 中， 90C  ， B   ， 2AB  ，那么BC  ．（结果用 的锐角三角函数表示） 11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段 AD的黄金分 割点 ( )AC CD ．已知 ( 5 1)BC   厘米，那么 AC  厘米． 12．如图，已知， AD是 ABC 的中线，E是 AD的中点，则 :AF FC  ． 13．如图，在 ABC 中，点D为 AB上的点， 3, 5, 2 3,AD AB CD ACD B      ，则BC  ． 14．如图，E是平行四边形 ABCD的边BA延长线上的一点，CE交 AD于点F ，交BD于点G， : 1: 2AE AB  ， 设BA a   ， BC b   = ．用向量a  、b  分别表示向量CG   ． 15．已知点 A  1 1x y， 和 B  2 2x y， 是抛物线  2=2 3 5y x   上的两点，如果 1 2 4x x  ，那么 1y 2y ．（填 “ ”、“ ”或“ ”） 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 16．如图，矩形DEFG的一边GF 在 ABC 的边 BC上，D、E分别在 AB、AC上，AH BC 交DE于M ， : 1: 2DG DE  ， 12BC  cm， 8AH  cm，则DE的长 cm． 17．如图，边长分别为 5，3，2 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的 面积为 ． 18．二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，顶点坐标 (1, 2)，且关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c m    没有实数根，有下列结论：① 24ac b ；② 0abc  ；③ 2m  ；④点 ( , )P m n 是抛物线上任意一点，则 ( )  m am b a b，其中，正确的结论是 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10 分）计算：    2 0 11 cot 30 2sin 45 cos 45 tan 60 2         ． 20．（10 分）如图，在 ABC 中， 5AC  ， 13BC  ， 5cos 5 A  ，点D在BC边上，且 2CD BD ，DE AB ， 垂足为E，联结CE． (1)求线段 AB的长； (2)求 CEA 的正切值． 21．（10 分）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，E为边 AB上一点，且 2BE AE ．设 ,AB a AD b     ． (1)填空：用向量 ,a b  的式子表示向量DE   _____； (2)如果点F 是线段OC的中点，那么用向量 ,a b  的线性组合表示向量EF   ______，并在图中画出向量EF  在 向量 AB  和 AD  方向上的分向量． 22．（10 分）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售 20 个，每个 盈利 12 元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每 降价 1 元，平均每天可以多卖 5 个． (1)若每个书包降价 x元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利 300 元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 23．（12 分）已知：如图，在梯形 ABCD中，AD BC∥ ，AB BC ，点 M在边BC上，且 MDB ADB  ， 2BD AD BC  ． (1)求证：BM CM ； (2)作BE DM ，垂足为点 E，并交CD于点 F．求证：2AD DM DF DC   ． 24．（12 分）如图，已知抛物线 2 2 3y x x    与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C． (1)求点 A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴 l与 x轴的交点为 D，连接 AC，在抛物线上是否存在点 E、F（点 E、F关于直线 l对称， 且 E在点 F左侧），使得以 D、E、F为顶点的三角形与 AOC△ 相似，若存在，求出点 E的坐标，若不存在， 请说明理由． 25．（14 分）已知矩形 ABCD中， 6 8AB BC ， ，P是边 AD上一点，将 ABP 沿直线BP翻折，使点A 落 在点E处，连接DE，直线DE与射线CB交于点F ． (1)如图1，当点F 在边BC上，若PD BF 时，求 AP的长； (2)若射线 AE交BC的延长线于点Q，设 AP x ，QC y ，求 y与 x的函数解析式，并写出 x定义域； (3)①如图2，直线DE与边 AB交于点G，若 PDE△ 与 BEG 相似，求 AEG 的正切值； ②如图3，当直线DE与BP的延长线交于点H ，若 BPE 和 DHP 面积相等，请直接写出DH 的长． 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版，第14章相似三角形40%、第15章锐角的三角比20%、第16章二次函数40%。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（  ） A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A． B． C． D． 5．已知，那么下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．若是关于x的二次函数，则 ． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为 9．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 10．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 厘米． 12．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 13．如图，在中，点为上的点，，则 ．    14．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，．用向量、分别表示向量 ． 15．已知点A和 B是抛物线上的两点，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 16．如图，矩形的一边在的边上，、分别在、上，交于，，cm，cm，则的长 cm． 17．如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ． 18．二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算：． 20．（10分）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 21．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为边上一点，且．设． (1)填空：用向量的式子表示向量_____； (2)如果点是线段的中点，那么用向量的线性组合表示向量______，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量． 22．（10分）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个． (1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 23．（12分）已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． (1)求证：； (2)作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 25．（14分）已知矩形中，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线交于点． (1)如图，当点在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于点，设，，求与的函数解析式，并写出定义域； (3)①如图，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图，当直线与的延长线交于点，若和面积相等，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版，第14章相似三角形40%、第15章锐角的三角比20%、第16章二次函数40%。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（  ） A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【详解】解：∵比例尺为，实际距离是千米， ∴图上距离， 故选：A． 2．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ∵，， ． 故答案为：C． 3．二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴二次函数图象的顶点为． 故选：D． 4．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即， 故选D 5．已知，那么下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．∵， ∴与是方向相反的向量，且向量的长度为向量长度的2倍， ∴，故该选项判断正确，不符合题意； B．由得到，则，故该选项判断错误，符合题意； C．由得到，故该选项判断正确，不符合题意； D．由得到，则，故该选项判断正确，不符合题意； 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∵， ∴， ∴△ADC∽△BDA， ∴∠DAC=∠ABD， ∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°， 故①符合题意； ②∵AB•CD=AC•AD， ∴， ∵∠ADB=∠ADC=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠ABD=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠BAC=90°， 故②符合题意； ③∵， ∴， ∵∠ACD=∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠ADC=∠BAC=90°， 故③符合题意； ④由不能证明△ABC与△ABD相似， 故④不符合题意； 故选：C． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．若是关于x的二次函数，则 ． 【答案】 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为 【答案】（0，-1） 【详解】解：∵，当x=0时，y=-1， ∴二次函数的图象与y轴交点坐标是（0，-1）. 故答案为：（0，-1）． 9．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 【答案】6 【详解】解：由题意可知，即， ∴． 故答案为：6． 10．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 【答案】 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 厘米． 【答案】2 【详解】解：五角星是正五角星， 厘米， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得厘米． 故答案为：2． 12．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，点为上的点，，则 ．    【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，, 故答案为：． 14．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，．用向量、分别表示向量 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 15．已知点A和 B是抛物线上的两点，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称轴为直线， ∵， ∴． 答案为： 16．如图，矩形的一边在的边上，、分别在、上，交于，，cm，cm，则的长 cm． 【答案】/ 【详解】解：设，则， 四边形是矩形， ， ， 交于， 四边形是矩形， ， ， ， ，分别是，的对应高， ， ， 解得：， ， 故答案为． 17．如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ，， ∴阴影部分是直角梯形， 又∵， ∴，， ∴，， 即，， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算：． 【详解】解： ..................................2分 ..................................6分 ． ..................................10分 20．（10分）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中，， ∴， ..................................5分 （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ..................................10分 21．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为边上一点，且．设． (1)填空：用向量的式子表示向量_____； (2)如果点是线段的中点，那么用向量的线性组合表示向量______，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ..................................5分 （2）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，点是线段的中点， ， ， ， ， 如图，过作的平行线，过作交与过作的平行线交于点，过作交于， ∴向量在向量和方向上的分向量分别为：，，如图所示：    ． ..................................10分 22．（10分）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个． (1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：若每个书包降价元，则可多卖个，每个盈利元； 故答案为：，； ..................................2分 （2）设每个书包降价元，可盈利300元， 则， 解得：（舍去），， 每个书包降价6元； ..................................4分 （3）设每个书包降价元，最大利润为元， 则 ， ， 当时，有最大值，最大值为320； 答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元． ..................................4分 23．（12分）已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． (1)求证：； (2)作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 又，即， ， ， ， ， ， ..................................6分 （2）证明：如图， ， ， ， ， ， ． ..................................12分 24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：在中，令，， 解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，令，， ∴点C的坐标为； ..................................4分 （2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线， ∴点D的坐标为； ∵，， ∴， ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， 如图，设交l于点G， ∵点E，F关于直线l对称， ∴， ∵， 则，， ∴． ..................................8分 分两种情况讨论： 当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n， 则，，， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，， ∴， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似， ∴点E的坐标为，． ..................................12分 25．（14分）已知矩形中，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线交于点． (1)如图，当点在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于点，设，，求与的函数解析式，并写出定义域； (3)①如图，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图，当直线与的延长线交于点，若和面积相等，请直接写出的长． 【详解】（1）解：如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ..................................5分 （2）解：∵在矩形中，， ∴， 由折叠可得，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的定义域为； ..................................10分 （3）解：①设， 当时，， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上，； ..................................12分 ②如图，连接，分别过作于点，交延长线于点，则， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由()知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ..................................14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版，第14章相似三角形40%、第15章锐角的三角比20%、第16章二次函数40%。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（  ） A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A． B． C． D． 5．已知，那么下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．若是关于x的二次函数，则 ． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为 9．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 10．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 厘米． 12．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 13．如图，在中，点为上的点，，则 ．  14．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，．用向量、分别表示向量 ． 15．已知点A和 B是抛物线上的两点，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 16．如图，矩形的一边在的边上，、分别在、上，交于，，cm，cm，则的长 cm． 17．如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ． 18．二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算：． 20．（10分）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 21．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为边上一点，且．设． (1)填空：用向量的式子表示向量_____； (2)如果点是线段的中点，那么用向量的线性组合表示向量______，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量． 22．（10分）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个． (1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 23．（12分）已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． (1)求证：； (2)作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 25．（14分）已知矩形中，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线交于点． (1)如图，当点在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于点，设，，求与的函数解析式，并写出定义域； (3)①如图，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图，当直线与的延长线交于点，若和面积相等，请直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$