第十一章三角形 求角思想方法（一）转化思想求角度 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第十一章 三角形 求角思想方法（一）转化思想求角度 【人教版】 【转化思想】 人们在解决问题时，对未解决的问题作转化，使之逐步转化为已解决的问题，达到化繁为简,化难为易,变“正面强攻”为“侧翼进击”的思维方法,就是转化的策略思想. 【考点一 四边形转化为三角形】 1.（23-24八年级·河南南阳·期末）（1）已知四边形如图（1）所示．求证； （2）如图（2）所示的模板，按规定，，的延长线相交成的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得，．如果你是质检员，如何知道模板是否合格？为什么？ 2．（23-24八年级·全国·假期作业）（1）如图，和交于交于点O，求证： ． （2）如图，求证：． 【考点二 多边形转化为三角形】 3.（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，点在同一平面内，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 4.（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在七边形中，，则下列关系式中错误的是（   ） A． B． C． D． 5.（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，若，则（    ） A． B． C． D． 6.（23-24八年级·江苏镇江·期中）如图，已知，则的度数为 °． 7.（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，求 ． 8．（23-24八年级·江苏徐州·期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则 ．    【考点三 多边形转化为四边形】 9．（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接、、、、、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级·湖北武汉·期末）类比是一种重要的数学方法，在数学解题中有广泛应用．运用类比方法解答问题．如图 1，线段相交于点，连接，我们把这个图形称为“8字型”，根据三角形内角和容易得到：．    (1)①如图 2， ． ②如图 3， ． (2)如图 4，相交于点，为的平分线，为的平分线． ①图中共有 个“8字型”； ②若，求的值． 11．（23-24八年级·安徽合肥·期末）（1）如图①，与称为“对顶三角形”，则_____（填“>”“=”或“<”）； （2）利用（1）的结论，在图②中，求的度数． 12．（23-24八年级·浙江衢州·期中）如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．    (1)图(1)中是一个五角星形状，求证：； (2)图(1)中的点A向下移到BE上时（如图(2)）五个角的和（即）有无变化？试说明理由 (3)把图(2)中的点C向上移动到BD上时（如图(3)所示），五个角的和（即）有无变化？试说明理由． 13．（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，求证：. 14．（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 15．（23-24八年级·山东烟台·期中）已知：如图所示的图形中，有6个顶角分别是，，，，，．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 求角思想方法（一）转化思想求角度 【人教版】 【转化思想】 人们在解决问题时，对未解决的问题作转化，使之逐步转化为已解决的问题，达到化繁为简,化难为易,变“正面强攻”为“侧翼进击”的思维方法,就是转化的策略思想. 【考点一 四边形转化为三角形】 1.（23-24八年级·河南南阳·期末）（1）已知四边形如图（1）所示．求证； （2）如图（2）所示的模板，按规定，，的延长线相交成的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得，．如果你是质检员，如何知道模板是否合格？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）不合格，理由见解析 【分析】本题考查了多边形内角和定理和垂直的定义，关键是根据图形求出要求的角的度数． （1）连接，根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长， 交于点G．根据四边形内角和等于，结合垂直的定义，计算可求的度数，然后根据题意进行判断． 【详解】（1）如图所示，连接 ∵，，， ∴； （2）不合格． 理由如下：延长， 交于点G． ∵， ∴． ∵，，四边形的内角和为 ∴ ∴该模板不合格． 2．（23-24八年级·全国·假期作业）（1）如图，和交于交于点O，求证： ． （2）如图，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形外角和定理的综合运用． 根据三角形外角的性质，即可得到，，即可得到． 延长线段交线段与点E，求得，，即可解答． 【详解】解：（1）如图，在中，是一个外角，由外角的性质可得：， 同理，在中，， 所以． （2）如图，延长线段交线段与点E， 在中，①； 在中， ②， 将①代入②得，. 【考点二 多边形转化为三角形】 3.（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，点在同一平面内，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果． 【详解】解：连接，    ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 4.（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在七边形中，，则下列关系式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握平行线的性质及三角形的外角性质、四边形的内角和等知识点． 延长交于点、延长交于点，由知，根据得可判断A；由知，再根据得可判断B；由知，根据 可得，据此可判断C、D，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点、延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，故A选项正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项正确； ∵， ∴当时，， ∵不能证明， ∴D选项错误； 故选：D． 5.（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和定理和三角形内角和定理．连接，利用四边形内角和定理和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6.（23-24八年级·江苏镇江·期中）如图，已知，则的度数为 °． 【答案】130 【分析】连结CD，根据四边形内角和是360°求出∠OCD＋∠CDO＝50°，根据三角形内角和是180°即可得出答案． 【详解】解：如图，连结CD，如图所示： 在四边形ABCD中， ∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°， ∠A＋∠B＋∠BCO＋∠ADC＝310°， ∴∠OCD＋∠CDO＝50°， 在△COD中，∠DOC＝180°−（∠OCD＋∠CDO）＝180°−50°＝130°． 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题也可用五边形的内角和求解． 7.（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，求 ． 【答案】225°/225度 【分析】连接AD，BC，根据三角形内角和、四边形内角和求解即可． 【详解】解：连接AD，BC， 四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°， ∵∠DEA＋∠EAD＋∠ADE＝180°，∠DEA＝105°， ∴∠EAD＋∠ADE＝180°−105°＝75°， ∵∠CFB＋∠FCB＋∠FBC＝180°，∠CFB＝120°， ∴∠FCB十∠FBC＝180°−120°＝60°， ∴∠DCF＋∠ABF＋∠EAB＋∠EDC＝360°−（∠EAD＋∠ADE）−（∠FCB＋∠FBC）＝360°−75°−60°＝225°， 故答案为：225°． 【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 8．（23-24八年级·江苏徐州·期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则 ．    【答案】/300度 【分析】本题考查了四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 连接，利用四边形内角和定理和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，    则， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点三 多边形转化为四边形】 9．（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接、、、、、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，根据四边形内角和即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ∴， ∵，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形内角和，解题的关键是熟练掌握四边形内角和为． 10．（23-24八年级·湖北武汉·期末）类比是一种重要的数学方法，在数学解题中有广泛应用．运用类比方法解答问题．如图 1，线段相交于点，连接，我们把这个图形称为“8字型”，根据三角形内角和容易得到：．    (1)①如图 2， ． ②如图 3， ． (2)如图 4，相交于点，为的平分线，为的平分线． ①图中共有 个“8字型”； ②若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)①6；②5 【分析】（1）①由三角形外角的定义和性质及三角形外角和为即可得到答案；②连接，则，从而即可得到五边形的内角和，即可得到答案； （2）①由图结合“8字型”的定义即可得到答案；②由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理可得，，从而推出，结合即可得到的值． 【详解】（1）解：①如图，   ， 则，，， ， ， 故答案为：； ②如图，连接，   ， ， 五边形的内角和， 故答案为：； （2）解：①由图可得：图中共有6个“8字型”， 故答案为：6； ② 为的平分线，为的平分线， ，， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义及性质、三角形外角和、多边形的内角和、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 11．（23-24八年级·安徽合肥·期末）（1）如图①，与称为“对顶三角形”，则_____（填“>”“=”或“<”）； （2）利用（1）的结论，在图②中，求的度数． 【答案】（1）=；（2）． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，首先利用（1）的结论可得，然后求五边形的内角和即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 故答案为：=； （2）解：连接． 利用（1）的结论可得． ∴ ． 【点睛】此题考查了多边形内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形内角和定理． 12．（23-24八年级·浙江衢州·期中）如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．    (1)图(1)中是一个五角星形状，求证：； (2)图(1)中的点A向下移到BE上时（如图(2)）五个角的和（即）有无变化？试说明理由 (3)把图(2)中的点C向上移动到BD上时（如图(3)所示），五个角的和（即）有无变化？试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不变，理由见解析 (3)不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，可得，根据三角形的内角和定理，可得答案； （2）根据三角形的外角的性质，可得，根据三角形的内角和定理，可得答案； （3）根据三角形的外角的性质，可得，根据三角形的内角和定理，可得答案． 【详解】（1）如图：    由三角形外角的性质，得 ，． 由三角形的内角和定理，得， ∴； （2）如图：    由三角形外角的性质，得，， 由三角形的内角和定理，得， 等量代换，得； （3）是的一个外角， 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和， ， 故等于，没有变化． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握三角形外角的性质，三角形的内角和定理是解题关键． 13．（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】连接BC，利用四边形内角和定理可得，利用三角形内角和定理可得，相减即可解决问题． 【详解】证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查四边形内角和定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据“8字形”的结构特点，连接，根据四边形的内角和等于可得，根据“8字形”的关系可得，然后即可得解． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）解：如图3，连接 ， 则， ∴， 根据“8字形”数量关系，， ∴， 即图2中． 15．（23-24八年级·山东烟台·期中）已知：如图所示的图形中，有6个顶角分别是，，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角定理将∠A、∠C转化到∠EGC，∠B、∠F 转化到∠DHF，再根据四边形的内角和得出结论． 【详解】证明：∵是的一个外角， ∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． 同理，． ∴ （四边形的内角和等于360°）． 【点睛】掌握三角形的外角定理的灵活应用；同时注意四边形的内角和为360°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$