第十一章 三角形 求角思想方法（二）整体思想求角度 讲义 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第十一章 三角形 求角思想方法（二）整体思想求角度 【人教版】 【整体思想】 整体思想即是善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,有意识的整体运算,整体处理. 【题型剖析】 1．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，请直接写出． ． 3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 4．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知角，求的度数． 5．（2019八年级·全国·专题练习）如图，在中，，、、分别是边、、上的点，，，求的度数. 6．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，D、E分别是边AB、AC上一点，将沿DE折叠，使点A落在边BC上．若，求四个角和的度数？ 7．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，设，，． (1)如图1，若点在线段上，且，求的度数； (2)若点在线段延长线上，请借助图2，探究，与之间的关系，并说明理由． 8．（23-24八年级下·河南南阳·期末）（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．    如图①，是四边形的两个外角． ∵四边形的内角和是， ∴， 又∵， 由此可得与的数量关系是 ； （2）知识应用：如图②，已知四边形，分别是和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图③，四边形中，，和是它的两个外角，且 ， ，求的度数． 9．（23-24八年级·全国·假期作业）（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 10．（23-24八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题背景】 光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体，镜子与之间的角为．他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． 【初步探究】 （1）如图2，当，______°，______°，______°，此时入射光线与反射光线是平行的； 【深入探究】 （2）如图3，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角的大小； 【拓展应用】 （3）如图4，当，放入一块新的镜子，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小明发现当和满足一定数量关系时，．设，，求此时x和y之间满足的数量关系． 11．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知：如图1，是三角形内一点，连接，．    求证：． 证明：如图，延长，交于点．    是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． ． 【知识迁移】 如图，求证：（）；（）．    【拓展延伸】 如图，、、分别是中边、、上的点，则的度数是 　 　．    12．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.    (1)若，    ①求的度数； ②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数. (2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；    (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.    13．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）在四边形中，，和的角平分线或邻补角角平分线分别为和． 如图1，当，都为角平分线时，小明发现，并给出下面的理由： 解：∵，，，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 根据小明的发现，解决下面的问题： (1)如图2，当，都为邻补角的角平分线时，与的位置关系是什么？并给出理由． (2)如图3，当是角平分线，是邻补角的角平分线时，请你探索与的位置关系，并给出理由．（提示：两直线平行，内错角相等） 14．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数； 解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 由（1）的结论得： ①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D ∴∠P =(∠B+∠D)=26°． ①【问题探究】 如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由． ②【拓展延伸】 在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 16.如图，中，，的平分线与的外角平分线交于点，求． 17.如图，的平分线与的平分线交于点若，，求的度数 18.根据图回答问题 如图，在中，，，于点，平分，求的度数； 将上题中“，”改为“”，其他条件不变，你能找到与、之间的数量关系吗？请直接写出它们之间的数量关系式． 如图，平分，为上一点，于点，这时与、之间又有何数量关系？为什么？ 19.在四边形中，． __________； 如图，若平分，平分的外角，请写出与的位置关系，并证明； 如图，若，分别四等分，的外角，即，，试求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形 求角思想方法（二）整体思想求角度 【人教版】 【整体思想】 整体思想即是善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,有意识的整体运算,整体处理. 【题型剖析】 1．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，先求出，进而求出，再根据角平分线定义得，及，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】∵ ∴， ∴. ∵和的平分线交于点E， ∴， ∴. ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：. 故选：C． 2．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，请直接写出． ． 【答案】/180度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 连接，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数；当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数，根据与的结论可得出猜想． 【详解】解：∵当时，， ∴； ∵当时，， ∴． 由可知，． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知角，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形内角和为180度是解题的关键．根据三角形的内角和定理分别求得，，就可求得最后结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2019八年级·全国·专题练习）如图，在中，，、、分别是边、、上的点，，，求的度数. 【答案】. 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据，求出的度数，进而即可求出的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理.熟练应用三角形内角和定理及整体思想是解题的关键. 6．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，D、E分别是边AB、AC上一点，将沿DE折叠，使点A落在边BC上．若，求四个角和的度数？ 【答案】235° 【分析】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 【详解】解：∵∠A=55°， ∴△ABC中，∠B+∠C=125°， 又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）=360°-125°=235°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键． 7．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，设，，． (1)如图1，若点在线段上，且，求的度数； (2)若点在线段延长线上，请借助图2，探究，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质： （1）根据三角形内角和定理得到，根据平角的概念得到，进而利用代入求解即可； （2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：由图2得，，理由如下： 如图2，设交于点， ∵，， ∴． 8．（23-24八年级下·河南南阳·期末）（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．    如图①，是四边形的两个外角． ∵四边形的内角和是， ∴， 又∵， 由此可得与的数量关系是 ； （2）知识应用：如图②，已知四边形，分别是和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图③，四边形中，，和是它的两个外角，且 ， ，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）等量代换即可求解；（2）由（1）得，再根据角平分线的定义可得，利用三角形的内角和即可求解；（3）由（1）得，根据条件可推出，求出即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形的内角和是， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）根据第（1）问的结论，可知： ∵分别是和的平分线 ∴， ∴． ∴． （3）根据第（1）问的结论，可得：， ∵， ∴． ∵ ， ∴ ∵， ∴ ∴， 即， ∵， ∴． 9．（23-24八年级·全国·假期作业）（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 【答案】（1）；理由见解析（2）（3）A（4） 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，，进而求出，即可得出答案； （4）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可． 【详解】解：（1）； 理由如下：由折叠的性质得：，， ∴①， 又∵， ∴②， 由①②得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）理由：∵于点M，于点N， ∴，， ∴，由（1）知， ∴， ∴， 故选：A； （4）由（1）得：， 得， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【点睛】本此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键． 10．（23-24八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题背景】 光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体，镜子与之间的角为．他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． 【初步探究】 （1）如图2，当，______°，______°，______°，此时入射光线与反射光线是平行的； 【深入探究】 （2）如图3，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角的大小； 【拓展应用】 （3）如图4，当，放入一块新的镜子，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小明发现当和满足一定数量关系时，．设，，求此时x和y之间满足的数量关系． 【答案】（1）90，180，180；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在中，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得结论； （2）在中，得出，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得， ，在中，即可求解； （3）根据根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得从而表示出，，，作证出即可求解； 【详解】解：（1）在中，． ， ， ，， ， ，， ， ， ； 故答案为：90，180，180； （2）在中， ， ， ，， 在中， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 作， ， ， ， ． 11．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知：如图1，是三角形内一点，连接，．    求证：． 证明：如图，延长，交于点．    是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． ． 【知识迁移】 如图，求证：（）；（）．    【拓展延伸】 如图，、、分别是中边、、上的点，则的度数是 　 　．    【答案】知识迁移：（1）证明见解析；（2）证明见解析；拓展延伸： 【分析】知识迁移：（1）如图，延长交于，证明，，从而可得结论； （2）证明，，从而可得结论； 拓展延伸：利用三角形的外角性质将转化为，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：知识迁移：（1）如图，延长交于，    是的一个外角， ． 是的一个外角（外角的定义）， ． ，即．． （2）是的一个外角， ． 是的一个外角， ． ，即．． 拓展延伸： 是的一个外角，是的一个外角，是的一个外角， ，． ∴ ∵， ∴， 故答案为 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，作出恰当的辅助线，构建需要的三角形是解本题的关键． 12．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.    (1)若，    ①求的度数； ②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数. (2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；    (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.    【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键． （1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答； （2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下： 由（1）可得． ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 由图2可得，， ∵，分别平分和，， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）在四边形中，，和的角平分线或邻补角角平分线分别为和． 如图1，当，都为角平分线时，小明发现，并给出下面的理由： 解：∵，，，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 根据小明的发现，解决下面的问题： (1)如图2，当，都为邻补角的角平分线时，与的位置关系是什么？并给出理由． (2)如图3，当是角平分线，是邻补角的角平分线时，请你探索与的位置关系，并给出理由．（提示：两直线平行，内错角相等） 【答案】(1)（或平行），理由见解析 (2)（或垂直），理由见解析 【分析】本题主要考查两直线的位置关系： （1）过点作，证明，，可得，从而． （2）先证明，再证明，从而可得，即可得出． 【详解】（1）解：（或平行）． 理由：如图1，过点作． ∵在四边形中，， ∴，， ∴． ∵，都为邻补角的角平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：（或垂直）．理由：如图2． ∵在四边形中，， ∴． ∵， ∴． ∵，都为角平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 14．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数； 解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 由（1）的结论得： ①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D ∴∠P =(∠B+∠D)=26°． ①【问题探究】 如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由． ②【拓展延伸】 在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①26°，理由见解析；②∠P=α+β，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明． （2）【问题探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题． 【拓展延伸】由（1）的结论易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再将已知条件代入化简即可求解∠P． 【详解】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°， ∠C+∠D+∠CED=180°， ∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED， ∵∠AEB=∠CED， ∴∠A+∠B=∠C+∠D； （2）①解∶如图3， ∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3， ∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3， ∠P+∠PAB=∠B+∠4， 又∠1=∠PAB， ∴∠P+∠1=∠B+∠4， 又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3， ∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3， 又∠1=∠2，∠3=∠4， ∴2∠P=∠B+∠D ∴∠P =(∠B+∠D)=26° ②解：∠P=α+β． 理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB， ∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB， 由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP， ∴∠P+∠CDB =∠C+∠CAB，① ∠P+∠CAB=∠B+∠CDB，② ①×2+②，得2∠P+∠CDB+∠P+∠CAB=2∠C+∠CAB+∠B+∠CDB， ∴3∠P=2∠C+∠B ∴∠P==α+β． 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【答案】(1)260° (2)160° (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角进行求解即可； （2）利用翻折的性质得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根据三角形内角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘ （3）连接．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之间的数量关系得出，再由三角形内角和定理即可求解； （4）设AB与交于点F，根据三角形外角得出，，再由折叠的性质得出，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可 【详解】（1）解：∵∠A＝80°， ∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∴， 故答案为：260°； （2）∵∠A＝80°， ∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∵翻折， ∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’, ∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°， ∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°， 故答案为：160°； （3）解：连接．如图所示： ∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A， ∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：如图，设AB与交于点F， ∵，， 由折叠可得，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 16.如图，中，，的平分线与的外角平分线交于点，求． 【答案】解：由三角形的外角性质，，， 的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据角平分线的定义可得，，然后整理可得． 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意整体思想的利用． 17.如图，的平分线与的平分线交于点若，，求的度数 【答案】解：如图，延长交于点， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， ． 首先延长交于点，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用． 18.根据图回答问题 如图，在中，，，于点，平分，求的度数； 将上题中“，”改为“”，其他条件不变，你能找到与、之间的数量关系吗？请直接写出它们之间的数量关系式． 如图，平分，为上一点，于点，这时与、之间又有何数量关系？为什么？ 【答案】解：在中， ，， ， 又平分， ， ， 又于点， ， ； 平分， ， 又， ， ， 即； 过点作于，  ，  ，  ． 【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，整体思想的利用是解题的关键； 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，再根据三角形的外角性质求出，再根据直角三角形的性质即可求得； 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后表示出，整理即可得解； 过点作于，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据的结论解答． 19.在四边形中，． __________； 如图，若平分，平分的外角，请写出与的位置关系，并证明； 如图，若，分别四等分，的外角，即，，试求的度数． 【答案】； 解：如图，延长交于，           平分，平分， ，， 由可得 又， ， 又， ， ， 即； 解：由得：， 、分别四等分、的外角， ， 如图，延长交于， 由三角形的外角性质得，，， ， ．  【解析】解：， ； 故答案为：； 见答案； 见答案． 根据四边形内角和等于列式计算即可得解； 延长交于，根据角平分线的定义可得，，然后求出，再利用三角形外角的性质求出，最后根据垂直的定义证明即可； 先求出，然后延长交于，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$