第十一章三角形 角度关系探究方法（一）特殊到一般 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形 角度关系探究方法（一）特殊到一般 【人教版】 【方法介绍】 从特殊中找出规律，得出一般结论. 【题型剖析】 1.（23-24八年级·河北石家庄·期末）在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，点F在AE上，∠B＝∠C＝∠AFD． （1）如图1，当∠B＝90°时，求证：； （2）如图2，当∠B＝α（0°＜α＜180°）时，（1）中的结论是否成立？试说明理由． 2.在△ABC中，射线CG平分∠ACB，交AB于点G． （1）如图1，BF平分∠ABC，交CG于点F． ①若∠A＝60°，∠ACB＝100°，则∠GFB＝________；若∠A＝40°，∠ACB＝100°，则∠GFB＝________； ②试探究∠GFB与∠A之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点D在线段BG上（不与B，G两点重合），DE∥BC交CG于点E，DF平分∠GDE，交CG于点F，请直接写出∠GFD与∠A之间的数量关系为________． 3．（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）如图1，在中，于点，于点． (1)猜测与的关系，并说明理由； (2)如果是钝角，如图2，（1）中的结论是否还成立？ 4．（23-24八年级·浙江杭州·单元测试）如图所示，在中，，N是上任一点（不与点A，B重合），过点N作交所在直线于点M． （1）若，求的度数． （2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，求的度数． （3）综合（1）（2），你发现了什么规律？试证明之． （4）若将（1）中的改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？（直接写出结论） 5．（23-24八年级·江苏常州·期末）（1）如图1，在直角三角形中，，，平分，点E是边上一点，且，则____________°； （2）如图2，若为一般三角形，，平分，点E是边上一点，且，求的度数（用含的代数式表示）； （3）如图3，若为钝角三角形（为钝角，），，平分，点E是延长线上一点，且，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由．    6．（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，已知直线，过点A、C作直线l1，过点B、D作直线l2．    (1)如图1，点P在线段上（不与B、D重合）时，试写出、、之间的数量关系并说出理由； (2)如图2，如果点P在的延长线上（不与D重合）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出、、之间的数量关系并说出理由． (3)如果点P在的延长线上（不与B重合）时，请在备用图上画出图形并直接写出、、之间的数量关系． 7．（2022八年级·全国·专题练习）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若ABCD，点P在AB、CD外部，求证：∠BPD=∠B-∠D； (2)将点P移到AB、CD内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？不必说明理由； (3)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论； (4)在图4中，若∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝n×90°，则n＝　 　． 8．（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系． (1)特殊探究：若，则_____度，_____度，_____度； (2)类比探索：请探究与的关系； (3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由． 9．（23-24八年级·天津西青·期中）已知△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A、C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DEBC，交直线AB于点D，链接BE，过点F做FGBE， 交直线AC于点G． (1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB=∠GFC； (2)在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； (3)如图②，当点E在线段AC的延长线上时（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系． 10．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）已知：在中，平分，平分，与交于点，过点交于点，交于点．设，，请回答下列各题： （1）如图1，若，则的度数为__________（用含的代数式表示）； （2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）当直线绕点旋转到如图3的位置时，请直接写出，与之间的关系． 11．（23-24八年级·浙江杭州·期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，PF交AB于点G． （1）如图1，直接写出∠P、∠PEB与∠PFD之间的数量关系：　 　； （2）如图2，EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，且交于点Q，试说明∠P＝2∠Q； （3）如图3，若∠QEB∠PEB，∠QFD∠PFD，（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠P与∠Q的数量关系； （4）在（3）的条件下，若∠CFP＝72°，当点E在A、B之间运动时，是否存在PE∥FQ？若存在，请求出∠Q的度数；若不存在，请说明理由． 12．（2024八年级·上海·专题练习）已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)如图，当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 13．（23-24八年级·山东烟台·期中）如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系． （1）请你完成这道思考题； （2）若将题中的条件“∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点”改为“∠AED=∠C，∠B=∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由． 14．（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）把一副三角板和按照图1~图3的方式放置，使中的角的顶点B和直角顶点C分别在含有角的的两条直角边上．    (1)如图1，若，点E在的内部，则______， ______，______． (2)如图2，若与不平行，点E在的内部，求满足的数量关系． (3)如图3，若与不平行，点E在的外部，（2）中所求的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论（用等式表示），并说明理由． 1 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∴∠GFD=∠FED+∠FDE=(∠ACB+∠ABC)=(180°-∠A)=90°-∠A 3．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图1，在中，于点，于点． (1)猜测与的关系，并说明理由； (2)如果是钝角，如图2，（1）中的结论是否还成立？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，掌握找出两直角三角形中的公共角或相等的角是解决问题的关键． （1）由和都是直角三角形，根据同角的余角相等即可得到结论； （2）由和都是直角三角形，，根据等角的余角相等即可得到结论． 【详解】（1）解：．理由如下： ，， 和都是直角三角形． ，． ； （2）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下： ，， ． ，． 又， ． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·单元测试）如图所示，在中，，N是上任一点（不与点A，B重合），过点N作交所在直线于点M． （1）若，求的度数． （2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，求的度数． （3）综合（1）（2），你发现了什么规律？试证明之． （4）若将（1）中的改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？（直接写出结论） 【答案】（1）15°；（2）34°；（3），证明见解析；（4）成立 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可先求得∠B，在Rt△BMN中利用三角形内角和可求得∠NMB； （2）方法同（1）； （3）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可找到∠A与∠NMB之间的关系，可证明结论； （4）结合（3）的证明，可知仍然成立，证明方法同（3）． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）当时，同理有； （3）规律：，证明如下： ， ， ， ， ， ； （4）当为钝角或直角时，仍然有． 若∠A为钝角，如图， ∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=， ∵MN⊥AB， ∴∠NMB=90°-∠ABC=90°-=， 同理，当∠A为锐角，依然成立． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角及三角形内角和为180°是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江苏常州·期末）（1）如图1，在直角三角形中，，，平分，点E是边上一点，且，则____________°； （2）如图2，若为一般三角形，，平分，点E是边上一点，且，求的度数（用含的代数式表示）； （3）如图3，若为钝角三角形（为钝角，），，平分，点E是延长线上一点，且，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由．    【答案】（1）30；（2）；（3）成立，见解析． 【分析】（１）如图1，，可得，由内角和可求，根据外角定理求，于是． （2）如图，由，得，由外角定理，，于是； （3）如图，由，得，由外角定理得，所以． 【详解】解：（1）如图1，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）如图，∵， ∴，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）如图，∵， ∴，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定理，角平分线的定义，结合图形及定理，确定角之间的数量有关系是解题的关键． 6．（23-24八年级下·重庆云阳·阶段练习）如图，已知直线，过点A、C作直线l1，过点B、D作直线l2．    (1)如图1，点P在线段上（不与B、D重合）时，试写出、、之间的数量关系并说出理由； (2)如图2，如果点P在的延长线上（不与D重合）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出、、之间的数量关系并说出理由． (3)如果点P在的延长线上（不与B重合）时，请在备用图上画出图形并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）过作，利用两直线平行，内错角相等即可解答； （2）首先根据两直线平行得到，再根据三角形的外角性质即可得到结论； （3）首先根据两直线平行得到，再根据三角形的外角性质即可得到结论 【详解】（1）解：如图1，过作，    ， ， ，， ； （2）解：如图2，设与交点为点，    ， ， 是的一个外角， ， ； （3）解：如图3，    ， ， 是的一个外角， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是作图，构造平行线，利用平行线的性质以及三角形的外角知识进行解题，此题难度不大． 7．（2022八年级上·全国·专题练习）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若ABCD，点P在AB、CD外部，求证：∠BPD=∠B-∠D； (2)将点P移到AB、CD内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？不必说明理由； (3)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论； (4)在图4中，若∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝n×90°，则n＝　 　． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，∠BPD=∠B+∠D (3)∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD，见解析 (4)6 【分析】（1）先根据平行线性质得∠B=∠BOD，再根据三角形外角性质得∠BOD=∠BPD+∠D，则∠BPD=∠B-∠D； （2）作PQAB，根据平行线性质得ABPQCD，则∠1=∠B，∠2=∠D，所以∠BPD=∠B+∠D； （3）连接QP并延长到E，根据三角形外角性质得∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，然后把两式相加即可得到∠BPD=∠B+∠D+∠BQD； （4）连接AG，根据三角形内角和定理和对顶角相等得到∠B+∠F=∠BGA+∠FAG，则可把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G化为五边形ACDEG的内角和，然后根据多边形的内角和定理求解． 【详解】（1）证明∵ABCD， ∴∠B=∠BOD， 而∠BOD=∠BPD+∠D， ∴∠B=∠BPD+∠D， 即∠BPD=∠B-∠D； （2）解：（1）中的结论不成立，∠BPD=∠B+∠D． 作PQAB，如图2， ∵ABCD， ∴ABPQCD， ∴∠1=∠B，∠2=∠D， ∴∠BPD=∠B+∠D； （3）解：∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．理由如下： 连接QP并延长到E，如图3， ∵∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP， ∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP， ∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD； （4）解：连接AG，如图4， ∵∠BHF=∠AHG， ∴∠B+∠F=∠BGA+∠FAG， ∴∠CAF+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠BGE =∠CAF +∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠BGE =∠CAG+∠C+∠D+∠E+∠AGE =（5-2）×180° =6×90°， ∴n=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质和多边形内角定理． 8．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系． (1)特殊探究：若，则_____度，_____度，_____度； (2)类比探索：请探究与的关系； (3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)不成立，，理由见解析 【分析】（1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系； （3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；；． （2）与的关系为：， 理由如下： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ． ∴． （3）不成立，存在， 理由如下： 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴（2）中的结论不成立． 【点睛】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． 9．（23-24八年级下·天津西青·期中）已知△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A、C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DEBC，交直线AB于点D，链接BE，过点F做FGBE， 交直线AC于点G． (1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB=∠GFC； (2)在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； (3)如图②，当点E在线段AC的延长线上时（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)是为一个定值，∠DEC+∠EGF+∠BFG=360° (3)点E在线段AC的延长线上时（2）中的结论仍然成立，∠DEC+∠EGF+∠BFG=360° 【分析】（1）由，，其性质得，，再根据等量代换证明； （2）由，其性质得，，再根据等式的性质得，最后由平行线的性质，等量代换，角的和差证明，其值是一个定值； （3）当点在线段的延长线上时，同理可得，（2）中结论仍然成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ，， ， 又， ， ， 又， ， 即三个角的和是一个定值； （3）解：当点在线段的延长线上时（2）结论仍然成立． 理由如下： ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，点在直线上的位置，三角形的内角和外角性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是点在线段上或延长线或反向延长线上时证明角的数量关系是否成立． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：在中，平分，平分，与交于点，过点交于点，交于点．设，，请回答下列各题： （1）如图1，若，则的度数为__________（用含的代数式表示）； （2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）当直线绕点旋转到如图3的位置时，请直接写出，与之间的关系． 【答案】（1）90°−∠A；（2）成立，利用见详解；（3）∠1−∠2＝90°−∠A 【分析】（1）由角平分线的性质可得∠DBC＋∠DCB＝90°-∠A，再根据平行线的性质，得∠1=∠DBC，∠2= ∠DCB，进而即可得到结论； （2）仍然成立，由角平分线的性质可得∠DBC＋∠DCB＝90°−∠A，再根据三角形内角和定理和平角的定义可求的值； （3）不成立，由角平分线的性质可得∠DBC＋∠DCB＝90°−∠A，再根据三角形内角和定理和平角的定义可求，与之间的关系． 【详解】解（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠DBC＋∠DCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝（180°−∠A）＝90°−∠A， ∵， ∴∠1=∠DBC，∠2= ∠DCB， ∴=∠DBC＋∠DCB＝90°−∠A， 故答案是：90°−∠A； （2）仍然成立 理由：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠DBC＋∠DCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝（180°−∠A）＝90°−∠A， ∴∠BDC＝180°−（∠DBC＋∠DCB）=90°＋∠A， ∴＝180−∠BDC＝90°-∠A； （3）不成立 理由：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠DBC＋∠DCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝（180°−∠A）＝90°−∠A， ∴∠BDC＝180°−（∠DBC＋∠DCB）=90°＋∠A， ∵（∠BDC−∠2）＋∠1＝180° ∴∠1−∠2＝90°−∠A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，利用三角形内角和定理解决问题是本题关键． 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，PF交AB于点G． （1）如图1，直接写出∠P、∠PEB与∠PFD之间的数量关系：　 　； （2）如图2，EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，且交于点Q，试说明∠P＝2∠Q； （3）如图3，若∠QEB∠PEB，∠QFD∠PFD，（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠P与∠Q的数量关系； （4）在（3）的条件下，若∠CFP＝72°，当点E在A、B之间运动时，是否存在PE∥FQ？若存在，请求出∠Q的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠P+∠PEB=∠PFD；（2）说明见解析；（3）（2）中的结论不成立，∠P=3∠Q；（4）存在PE//FQ，∠Q=24°． 【分析】（1）根据三角形的外角性质和平行线的性质解答即可； （2）根据三角形的外角性质和平行线的性质证得∠Q+∠QEB=∠QFD，根据（1）中结论和角平分线定义可证得结论； （3）由（1）、（2）可知，∠P+∠PEB=∠PFD，∠Q+∠QEB=∠QFD，结合已知即可做出结论； （4）由已知分别求出∠PFD、∠DFQ、∠PFQ的度数，再根据平行线的性质得到∠P=∠PFQ，根据（3）中结论求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠PFD=∠AGF， ∵∠AGF=∠P+∠PEB， ∴∠P+∠PEB=∠PFD； （2）如图2，∵AB∥CD， ∴∠QFD=∠AKF， ∵∠AKF=∠Q+∠QEB， ∴∠Q+∠QEB=∠QFD， ∵EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线， ∴∠QEB∠PEB，∠QFD∠PFD ∴∠Q+∠PEB=∠PFD，即2∠Q+∠PEB=∠PFD， 由（1）知，∠P+∠PEB=∠PFD， ∴∠P=2∠Q； （3）（2）中的结论不成立，∠P=3∠Q，理由为： 由（2）中知，∠Q+∠QEB=∠QFD， ∵∠QEB∠PEB，∠QFD∠PFD， ∴∠Q+∠PEB=∠PFD，即3∠Q+∠PEB=∠PFD， 由（1）知∠P+∠PEB=∠PFD， ∴∠P=3∠Q； （4）存在PE//FQ，此时∠P=∠PFQ， ∵∠CFP=72°， ∴∠PFD=180°﹣∠CFP=180°﹣72°=108°， ∵∠DFQ∠PFD， ∴∠DFQ=×108°=36°， ∴∠PFQ=∠PFD﹣∠DFQ=108°﹣36°=72°， ∴∠P=72°， 由（3）知∠P=3∠Q， ∴∠Q=×72°=24°． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线定义、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 12．（2024八年级下·上海·专题练习）已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)如图，当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)，见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）过作，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）不成立，画出图形，根据平行线的性质和三角形外角性质求出即可． 【详解】（1）解：， 证明：过作， ， ， ，， ， 即； （2）不成立， 有两种情况： ①如图2，当点P在的延长线上时，此时， 理由是： ， ， ， ； ②如图3，当点P在的延长线上时，此时， 理由是： ， ， ， ． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系． （1）请你完成这道思考题； （2）若将题中的条件“∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点”改为“∠AED=∠C，∠B=∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由． 【答案】（1）∠BDP+∠EGP＝180°；理由见解析；（2）结论不变；证明见解析． 【分析】（1）结论：∠BDP+∠EGP=180°．证明AB∥EF即可． （2）结论不变，证明AB∥EF即可． 【详解】（1）结论：∠BDP+∠EGP=180°． 理由：∵∠ADE=∠DEF=90°， ∴AB∥EF， ∴∠BDP=∠DGE， ∵∠DGE+∠EGP=180°， ∴∠BDP+∠EGP=180°． （2）结论不变． 画出的图形如图所示， ∵∠AED=∠C， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B， ∵∠B=∠DEF， ∴∠ADE=∠DEF， ∴AB∥EF， ∴∠BDG=∠DGE， ∵∠DGE+∠EGP=180°， ∴∠BDP+∠EGP=180°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）把一副三角板和按照图1~图3的方式放置，使中的角的顶点B和直角顶点C分别在含有角的的两条直角边上．    (1)如图1，若，点E在的内部，则______， ______，______． (2)如图2，若与不平行，点E在的内部，求满足的数量关系． (3)如图3，若与不平行，点E在的外部，（2）中所求的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论（用等式表示），并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)不成立，正确结论是，理由见解析 【分析】（1）由得到，，得到，，即可得到； （2）根据三角形内角和定理求出，即可得到； （3）设与相交于点G，则，由得，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，， （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）不成立，正确结论是，理由如下： 如图3，设与相交于点G，    则， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理的应用、对顶角相等、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$