第十一章三角形 角度关系探究方法（二）参数思想 讲义 2024—2025学年人教版 数学八年级上册

第十一章 三角形 角度关系探究方法（二）参数思想 【人教版】 【参数思想】 当问题中未知量较多时,为了便于探究对象之间的数量关系,将与之相关联的部分未知元素用字母表示出来, 设而不求, 在运算过程中充当桥梁, 通过这些数据的表达式找到所探究对象之间的数量关系的一种数学思想叫参数思想.引入参数能使解题思路清晰,运算过程简捷.【题型剖析】 1．（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，的边在直线上，与的平分线交于点，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（    ） A．2∠E＋∠D＝320° B．2∠E＋∠D＝340° C．2∠E＋∠D＝300° D．2∠E＋∠D＝360° 3．（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 4.（23-24八年级·浙江台州·开学考试）如图，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，试探究∠B，∠E，∠D（∠D＞∠B）之间的数量关系． 5.（23-24八年级·江苏盐城·期末）如图，AD是△ABC的角平分线，E为BC延长线上的一点．试探究∠B，∠ADC，∠ACE之间的数量关系． 6.（23-24八年级·湖南怀化·期末）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，BC上的点，∠A＝∠B，∠CDE＝∠CED．试探究∠ACD与∠BDE之间的数量关系． 7．（23-24八年级·浙江台州·开学考试）如图：、的平分线相交于点，试找出，，的关系，并加以证明． 8．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，是的角平分线，，P为线段上一点，交的延长线于点E．    (1)，，求的度数； (2)试猜想与、之间的数量关系，并证明你的结论． 9．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 10．（23-24八年级·江苏·专题练习）如图，点、分别在的边、上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． (1)如图（1）当，时，　　． (2)如图（2）当时，　　． (3)在解题过程中，你认为与是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由． 11．（23-24八年级·河南洛阳·期末）【学科融合】 同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律． 【初步应用】 （1）如图1，若，则______°；若，则______°； 【猜想验证】 （2）如图2，两平面镜，相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点． ①若，则______ ②请探究与之间满足的等量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，有三块平面镜、、，入射光线与镜面的夹角，镜面、的夹角，已知入射光线先从镜面开始反射，然后再经过不同镜面的一次或两次反射，反射后反射光线与入射光线垂直，请直接写出的度数．（可用含有的代数式表示） 12．（23-24八年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的等量关系，直接写出结果． 13.（23-24八年级·天津东丽·期中）【提出问题】如图，，分别平分，，交于点，探究与的数量关系． 【特例探究】若，，则与的数量关系为          ； 【一般情形】对于一般情形，第一问中结论还成立吗？请说明理由． 14.（23-24八年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，的平分线与的邻补角的平分线所在的直线交于点． 如图，写出与，之间的数量关系式并证明； 如图，直接写出与，之间的数量关系式为          ． 15.（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是，的平分线的交点． ； 若是两条外角平分线的交点，则； 若是内角，外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由； 在的条件下，当时，． 16.（23-24八年级·湖南怀化·期末）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点． 若，，求的度数； 当点在线段上运动时，猜想与、的数量关系，写出结论并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形 角度关系探究方法（二）参数思想 【人教版】 【参数思想】 当问题中未知量较多时,为了便于探究对象之间的数量关系,将与之相关联的部分未知元素用字母表示出来, 设而不求, 在运算过程中充当桥梁, 通过这些数据的表达式找到所探究对象之间的数量关系的一种数学思想叫参数思想.引入参数能使解题思路清晰,运算过程简捷. 【题型剖析】 1．（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，的边在直线上，与的平分线交于点，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， 的平分线交于点 , 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， 在中， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（    ） A．2∠E＋∠D＝320° B．2∠E＋∠D＝340° C．2∠E＋∠D＝300° D．2∠E＋∠D＝360° 【答案】C 【分析】设，，根据三角形内角和定理分别表示出∠D、∠E，计算即可． 【详解】解：设，，则，， ，， ，， ，， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 3．（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，设的度数为，的度数为，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到之间的关系，在根据三角形内角和得到，将代入，即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，    设的度数为，的度数为， 平分，平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 将代入可得， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长得到三角形，进行角度的转换，用表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键． 4.（23-24八年级·浙江台州·开学考试）如图，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，试探究∠B，∠E，∠D（∠D＞∠B）之间的数量关系． 解：∵AE平分∠BAD，CE平分∠BCD， ∴设∠BAE＝∠DAE＝x，∠BCE＝∠DCE＝y， 延长BC交AD于点F， ∴∠BFD＝∠B＋2x， ∴2y＝∠B＋2x＋∠D， ∴y-x=（∠B＋∠D）． 设AE，CD交于点O，则∠DCE＋∠E＝∠DAE＋∠D＝∠DOE， ∴y＋∠E＝x＋∠D， ∴y-x＝∠D-∠E． ∴（∠B＋∠D）=∠D-∠E， ∴∠E=（∠D-∠B）． 5.（23-24八年级·江苏盐城·期末）如图，AD是△ABC的角平分线，E为BC延长线上的一点．试探究∠B，∠ADC，∠ACE之间的数量关系． 解：∵AD平分∠BAC， ∴设∠BAD＝∠DAC＝x， 则∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋x， ∠ACE＝∠ADC＋∠DAC＝∠B＋2x， ∴∠B＋∠ACE＝∠B＋∠B＋2x＝2（∠B＋x）， ∴∠B＋∠ACE＝2∠ADC． 6.（23-24八年级·湖南怀化·期末）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，BC上的点，∠A＝∠B，∠CDE＝∠CED．试探究∠ACD与∠BDE之间的数量关系． 解：设∠BDE＝x，∠A＝∠B＝α， 则∠CDE＝∠CED＝x＋α． ∵∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝∠A＋∠ACD， ∴2x＋α＝α＋∠ACD， ∴∠ACD＝2x，∴∠ACD＝2∠BDE． 7．（23-24八年级·浙江台州·开学考试）如图：、的平分线相交于点，试找出，，的关系，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．延长交于点，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知，，进而可得；连接，由三角形内角和定理可得，，易得，进一步可知，然后证明，可得，即可证明结论． 【详解】解：，，的关系为， 证明如下： 如图，延长交于点， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，是的角平分线，，P为线段上一点，交的延长线于点E．    (1)，，求的度数； (2)试猜想与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）设，，则根据角平分线的定义得出，进而根据（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 又∵， ； （2）解：． 设，， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， °， ．   ． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 9．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 【答案】(1) (2)①3，4；②；③，理由见解析 (3)125 【分析】（1）根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）①根据“8字型”的定义即可得； ②根据“8字型”的定义可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得； ③先求出，，，从而可得，再根据计算即可得； （3）根据平行线的性质求出，设，则，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，最后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：①线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 故答案为：3，4； ②以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴； ③，理由如下： 由（1）可知，， ∵，， ∴，，， ∴， 由（2）②可知，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：，， ，， ， ， ， 设， ， 是的角平分线，是的角平分线， ，， 又， ， ， 故答案为：125． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 10．（23-24八年级·江苏·专题练习）如图，点、分别在的边、上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． (1)如图（1）当，时，　　． (2)如图（2）当时，　　． (3)在解题过程中，你认为与是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由． 【答案】(1)45 (2)120 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （3）由（2）的思路可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， ， 是的平分线， ， 平分， ， ， （2）设，， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ． （3），理由如下： 设， 平分， ， 设， ， 平分， ， ， ． 11．（23-24八年级·河南洛阳·期末）【学科融合】 同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律． 【初步应用】 （1）如图1，若，则______°；若，则______°； 【猜想验证】 （2）如图2，两平面镜，相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点． ①若，则______ ②请探究与之间满足的等量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，有三块平面镜、、，入射光线与镜面的夹角，镜面、的夹角，已知入射光线先从镜面开始反射，然后再经过不同镜面的一次或两次反射，反射后反射光线与入射光线垂直，请直接写出的度数．（可用含有的代数式表示） 【答案】（1）48；50；（2）①45；②，理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了三角形内角和、平角的定义、入射角和反射角等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角以及角的和差即可计算； （2）①由题推出，进而得到，再利用三角形内角和求解即可；②与第一问思路一致，不同的是将换成了，再按照同样方法求解即可； （3）将可能存在的情况画图，依据三角形内角和以及平角的定义求解即可． 【详解】解：（1）， ， ； ， ． 故答案为：48，50； （2）①由题意得， ， ， ，， ， ． 故答案为：45； ②，理由如下： 设，则， 根据题意可知，， ， ， 在中，，即， ，即， ； （3）①若经过一次反射之后与垂直，如图所示，， ，， ， ， ， 此时，的度数不影响第一次反射； ②若经过两次次反射之后与垂直，此种情况不存在； ③若经过三次反射之后垂直，如图所示，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为． 12．（23-24八年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的等量关系，直接写出结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出①．根据三角形外角的性质得出②．③，进而得出； （2）由（1）同理可知：，即可求解． 【详解】（1）解：设，， 根据和的角平分线相交于点可知： ，， 三角形的内角和等于，，， ，即①． 是与的外角， ，即②． 同理，是与的外角， ，即③， ①②得，④， ①③得，⑤， ④代入⑤得，， ， 解得； （2），理由如下： 由（1）同理可知： ， 解得：． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 13.（23-24八年级·天津东丽·期中）【提出问题】如图，，分别平分，，交于点，探究与的数量关系． 【特例探究】若，，则与的数量关系为          ； 【一般情形】对于一般情形，第一问中结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)∠C＝2∠BOD  (2)成立，理由如下：设∠OAB＝x，∠OBA＝y， ∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA， ∴∠CAB＝2x，∠CBA＝2y， ∴∠AOB＝180°-x-y，∠C＝180°-2x-2y＝2(90°-x-y)． ∵OD⊥OA，∴∠AOD＝90， ∴∠BOD＝∠AOB-90°＝90°-x-y， ∴∠C＝2∠BOD．  14.（23-24八年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，的平分线与的邻补角的平分线所在的直线交于点． 如图，写出与，之间的数量关系式并证明； 如图，直接写出与，之间的数量关系式为          ． 【答案】(1)解：，  设∠ABI＝∠DBI＝x，∠ACI＝∠ECI＝y， 则x+∠A＝y+∠I①，∠D＝2x+180°-2y+∠A②，  由①得x-y＝∠I-∠A， 代入②中得∠D＝2∠I-∠A+180°， ∴  ；  (2)  15.（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是，的平分线的交点． ； 若是两条外角平分线的交点，则； 若是内角，外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由； 在的条件下，当时，． 【答案】(1)114  (2)66  (3)解： ．理由如下： ∵E是内角∠ABC，外角∠ACG的平分线的交点， ∴∠ABE＝∠EBG，∠ACE＝∠ECG． 设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y， ∵ACG＝∠ABC+∠A，∠ECG＝∠EBG+∠E， ∴2x＝2y+∠A，①  x＝y+∠E，②  ①÷2-②，得． (4)84  16.（23-24八年级·湖南怀化·期末）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点． 若，，求的度数； 当点在线段上运动时，猜想与、的数量关系，写出结论并证明． 【答案】解：，， ， 平分， ， ， ； ． 设，，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．  【解析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义的运用． 中，首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； 中，根据第小题的思路即可推导这些角之间的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$