第十一章 三角形 导角基本模型（一）8字模型及应用 讲义 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第11章 三角形 导角基本模型（一）8字模型及应用 【模型介绍】 如图,将线段AB,CD的两个端点交叉相连(即连接AD,BC),得到的图形称之为“8字形ABCD”.结论: ①∠A+∠B=∠C+∠D; ②若∠A=∠C,则∠B=∠D. 证明： ①∵∠A+∠B=∠BOD,∠C+∠D=∠BOD,∴∠A+∠B=∠C+∠D ②∵∠A+∠B=C+∠D=∠BOD,又∵∠A=∠C,∴∠B=∠D. 【题型剖析】 1.如图，线段，相交于点，连接，，平分，平分，则，，满足的关系式是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点若，则 ______． 3.如图，、分别平分和，且，，则______． 4.如图，在中，为延长线上一点，平分，平分，若，则的度数为          ． 5.一副三角板，按如图所示叠放在一起其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在同一直线上，那么图中          度． 6.如图，在四边形中，点为上一点，，，求的度数． 7.如图，已知，，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 8.已知：如图，，分别平分和． 若，，求的度数； 探索与、的关系并证明你的结论． 9.将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图中，若的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． 【性质理解】 如图，在“对顶三角形”与中，，求的度数． 【性质应用】 如图，在中，，分别平分和，若，比大，用含的代数式表示的度数． 10.图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”如图，在图的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、试解答下列问题： 在图中，请直接写出、、、之间的数量关系：________； 仔细观察，在图中“字形”的个数：________个； 图中，当度，度时，求的度数． 11.如图，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“字型”． 求证：； 如图，若和的平分线和相交于点，且与、分别相交于点、． 以线段为边的“字型”有____个，以点为交点的“字型”有____个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系，并证明理由． 12.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． 如图，在“对顶三角形”与中，若，则 ______ 如图，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数． 13.如图，我们易证：． 如图，若点移动到上时，则________； 如图，若点移动到的另一侧时，求的度数，并说明理由； 如图，若点，移动到的内部时，求的度数，并说明理由． 14.如图至图，在中，，点在边上，作垂直于直线，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： 如图，延长交于点，若，． ______； 求证：． 如图，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； 当点在边上移动时，若射线与线段相交，设交点为，请直接写出与的关系式。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 导角基本模型（一）8字模型及应用 【模型介绍】 如图,将线段AB,CD的两个端点交叉相连(即连接AD,BC),得到的图形称之为“8字形ABCD”.结论: ①∠A+∠B=∠C+∠D; ②若∠A=∠C,则∠B=∠D. 证明： ①∵∠A+∠B=∠BOD,∠C+∠D=∠BOD,∴∠A+∠B=∠C+∠D ②∵∠A+∠B=C+∠D=∠BOD,又∵∠A=∠C,∴∠B=∠D. 【题型剖析】 1.如图，线段，相交于点，连接，，平分，平分，则，，满足的关系式是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了三角形内角和定理：从复杂的图形中找出“”字型的图形，然后利用三角形的内角和定理确定角之间的关系． 利用角平分线的定义得到，，再根据对顶角相等和三角形内角和定理得到，，然后把两式相减得到与、之间存在的数量关系． 【解答】 解：和的平分线和相交于点， ，， ， ， 得：， ， 即． 2.如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点若，则 ______． 【答案】  【解析】解：， ， ， ， 平分， ， 故答案为． 利用三角形内角和定理，求出，再根据角平分线的定义求出即可． 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用“字形”中各角的数量关系． 3.如图，、分别平分和，且，，则______． 【答案】  【解析】解：根据三角形内角和定理，， 所以，， 同理，， 、分别平分和， ，， ， ， ，， ． 故答案为：． 根据三角形内角和定理用、表示出，再用、表示出，再根据角平分线的定义可得，然后求出与、关系，代入数据进行计算即可得解． 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，利用“字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． 4.如图，在中，为延长线上一点，平分，平分，若，则的度数为          ． 【答案】  【解析】解：延长，交于点，则，，由内外角平分线模型可知． 5.一副三角板，按如图所示叠放在一起其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在同一直线上，那么图中          度． 【答案】  【解析】方法一  内角和定理 在中，，， ， ． 在中，． 方法二  外角的性质 ，， ． ． ． 方法三  调用模型 由“字”模型，知， 又，，， ． 6.如图，在四边形中，点为上一点，，，求的度数． 【答案】解：设，交于点， 则， ，， ．   【解析】分析：应用字模型可得，． 7.如图，已知，，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 证明：由模型可知，  ，  ，得， ，， ．  【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理，关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 先根据三角形的内角和定理得出，然后根据已知的角相等的关系可得结论． 8.已知：如图，，分别平分和． 若，，求的度数； 探索与、的关系并证明你的结论． 【答案】解：根据三角形内角和定理，， ， 同理，， 、分别平分和， ，， ， ； 根据三角形内角和定理，， ， 同理，， 、分别平分和， ，， ， ．  【解析】根据三角形内角和定理用、表示出，再用、表示出，再根据角平分线的定义可得，然后求出与、关系，代入数据进行计算即可得解； 根据三角形内角和定理用、表示出，再用、表示出，再根据角平分线的定义可得，然后求出与、关系． 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． 9.将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图中，若的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． 【性质理解】 如图，在“对顶三角形”与中，，求的度数． 【性质应用】 如图，在中，，分别平分和，若，比大，用含的代数式表示的度数． 【答案】解：，． ， 和是对顶三角形， ． 在中，， ． ，分别平分和， ， 由“对顶三角形”得， ， 得，．  【解析】本题考查的是三角形内角和定理、角的平分线、新定义型，利用对顶三角形的意义解答是解此题的关键． 由根据三角形内角和定理求出，再由对顶三角形可得，即可得到答案； 根据三角形内角和定理可得到，进而得到，由图知与为对顶三角形得出，由题意知，两式相减即可解得答案． 10.图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”如图，在图的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、试解答下列问题： 在图中，请直接写出、、、之间的数量关系：________； 仔细观察，在图中“字形”的个数：________个； 图中，当度，度时，求的度数． 【答案】； ； 由可知，， ， 和的平分线和相交于点， ，， 由得：，即， 又，， ， ．  【解析】解：，对顶角相等， ． 故答案为：； 线段、相交于点，形成“字形”； 线段、相交于点，形成“字形”； 线段、相交于点，形成“字形”； 线段、相交于点，形成“字形”； 线段、相交于点，形成“字形”； 线段、相交于点，形成“字形”； 故“字形”共有个； 由可知，， ， 和的平分线和相交于点， ，， 由得：，即， 又，， ， ． 根据三角形内角和定理即可得出； 根据“字形”的定义，仔细观察图形即可得出“字形”共有个； 先根据“字形”中的角的规律，可得，，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数 本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键． 11.如图，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“字型”． 求证：； 如图，若和的平分线和相交于点，且与、分别相交于点、． 以线段为边的“字型”有____个，以点为交点的“字型”有____个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】解：证明：在图中，有， ； ；； 以为交点的“字型”中，有，  以为交点的“字型”中，有， 、分别平分和， ， ，         ，其理由是：                  ， ， 以为交点的“字型”中，有， 以为交点的“字型”中，有， ．  【解析】【分析】 本题考查了三角形内角和定理及角平分线的定义熟练掌握定理和定义是解决问题的关键． 利用三角形内角和定理得出，，又因为和是对顶角，从而得到结论； 利用“字型”的定义在图中找出“字型”数量即可； 根据角平分线的定义得，，根据三角形内角和定理得，，两式相加，最后得出得出，然后把，代入计算即可； 根据和，得到，，再根据三角形内角和定理得和，两式分别相减得和，最后可得． 【解答】 见答案； 以线段为边的“字型”有个： 以点为交点的“字型”有个： 见答案， 见答案． 12.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． 如图，在“对顶三角形”与中，若，则 ______ 如图，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数． 【答案】  【解析】解：与是“对顶三角形”， ； ， ， 故答案为：； ，， ， 、分别平分和， ， ， 与是“对顶三角形”， ， 比大，即， ， ． 由“对顶三角形”性质及三角形内角和定理即可求得； 由三角形内角和及角平分线的性质可得，由“对顶三角形”性质得，由已知得一元一次方程，解方程即可． 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13.如图，我们易证：． 如图，若点移动到上时，则________； 如图，若点移动到的另一侧时，求的度数，并说明理由； 如图，若点，移动到的内部时，求的度数，并说明理由． 【答案】(1)180°  (2)解：连接CD，则∠B+∠E=∠ECD+∠BDC， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠D+∠ECD+∠BDC=∠A+∠ACD+∠ADC=180°.  (3)解：连接CD，则∠B+∠E=∠ECD+∠BDC， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠D+∠ECD+∠BDC=∠A+∠ACD+∠ADC=180°.  【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的外角性质，解题关键在于如何利用外角性质进行角的转换． 【解答】解：由三角形的外角性质可知， 所以．  本题考查三角形的内角和定理，解题关键在于利用三角形内角和定理结合“”字模型将转换为，从而将转换为三角形的内角和．  本题考查三角形的内角和定理，解题关键在于利用三角形内角和定理结合“”字模型将转换为，从而将转换为三角形的内角和． 14.如图至图，在中，，点在边上，作垂直于直线，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： 如图，延长交于点，若，． ______； 求证：． 如图，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； 当点在边上移动时，若射线与线段相交，设交点为，请直接写出与的关系式。 【答案】 证明：由得，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； ． 理由：由八字模型可得，和中， ．    【解析】解：， ， 为的角平分线， ， 故答案为：； 见答案； 见答案． 如图， 由四边形的内角和得， ； 故答案为  根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案； 根据平行线的性质得，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论； 由八字模型可得，和中，，再整理可得答案； 画出图形，由四边形内角和列式求得即可． 本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$