21.3　二次函数与一元二次方程 教案 2024-2025学年沪科版数学九年级上册

课题 21.3　二次函数与一元二次方程 课时 21.3　二次函数与一元二次方程 教学目标 1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)关系的过程,体会方程与函数之间的联系,渗透数形结合的数学思想方法,培养观察能力和分析问题的能力. 2.能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教学 重难点 【重点】二次函数y=x2+2x+3与一元二次方程x2+2x+3=0的关系. 【难点】二次函数y=x2+2x+3与一元二次方程x2+2x+3=0的关系. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ= 　b2-4ac 　,当Δ>0方程根的情况:　有两个不相等的实数根　;当Δ=0时,方程　有两个相等的实数根　; 当Δ<0时,方程　 没有实数根　.  2.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x1=-2和x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是　(-2,0)　,　(3,0)　.  3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,回答: (1)一元二次方程ax2+bx+c=0的解是　x1=-1,x2=5　.  (2)根据图象回答:当x满足　-1<x<5　时,y>0;  当x满足　x<-1或x>5　时,y<0.  让学生通过预习初步了解二次函数与一元二次方程的关系. 情境导入 问题一:观察一次函数y=2x-3的图象. 1.一次函数y=2x-3的图象与x轴的交点是什么?一元一次方程2x-3=0的根是什么? 2.当x满足什么条件时,y>0?当x满足什么条件时,y=0?当x满足什么条件时,y<0? 问题二:类似地,我们可以通过观察二次函数的图象,得到相对应的一元二次方程的根的情况吗? 复习一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx+b=0的关系,类比学习二次函数与一元二次方程的关系,从而顺利过渡到本节内容. 续表 合作探究 探究一:二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系 1.下列二次函数的图象与x轴有没有公共点?若有,求出公共点的横坐标.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少? (1)y=x2+x-2;(2)y=x2-6x+9;(3)y=x2-x+1. 2.根据上述函数图象,你能得出相应的一元二次方程吗?直接说出它的根的情况. 归纳小结:二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 2 两个不相等实数根 Δ>0 1 两个相等实数根 Δ=0 0 无实数根 Δ<0 探究二:用图象法求一元二次方程的近似解 1.用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解.(结果精确到0.1) 下图是函数y=x2+2x-1的图象. (1)从图象上来看,二次函数y=x2+2x-1的图象与x轴交点的横坐标一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间,所以方程x2+2x-1=0的两个根一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决. (2)有关估算问题我们在前面已学习过了,即用试一试的方法进行的.既然一个根在-2与-3之间,则这个根一定是负2点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别取x的值为-2.1,-2.2,…,-2.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根). 通过观察二次函数与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况.体会知识间的相互转化和相互联系. 理解二次函数与一元二次方程之间的联系,为用二次函数图象求一元二次方程的近似解奠定基础. 体会数形结合思想的应用. 合作探究 (3)从图象上看,可以估计x的取值是-2.4或-2.5 ,利用计算器进行探索,如下表: x … -2.4 -2.5 … y … -0.04 0.25 … 从上表可知,当x取-2.4或-2.5时,对应y的值由负变正,可见在-2.4和-2.5之间一定有一个x的值使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.由于题目只要求精确到0.1,所以这里取x=-2.4或x=-2.5作为根都符合要求.但是当x=-2.4时的y的值比x=-2.5时的y的值更接近0,所以选x=-2.4. 因此,方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4,另一根为x=0.4. 2.方程x2+2x-1=0的解,还有没有其他的解决办法? 函数y=x2和y=-2x+1交于A,B两点,这两点的横坐标就是我们要求的根. 探究三:图象法求不等式的解集 1.你能否结合二次函数的图象,求出使y=x2+2x-1>0和y=x2+2x-1<0时,x的取值范围? 由图象可知,y=x2+2x-1>0的图象位于x轴上方,图象位于x轴上方的自变量x取值范围是x<-2.4或x>0.4;y=x2+2x-1<0的图象位于x轴下方,图象位于轴下方的自变量x取值范围是-2.4<x<0.4. 【例1】 已知抛物线y=x2+(2m+1)x+m2与x轴有交点,求m的取值范围. 思路点拨:由于Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数,则Δ=(2m+1)2-4m2≥0,然后解不等式即可. 答案:m的取值范围为m≥-. 【例2】 已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3). (1)求出b,c的值,并写出此二次函数的关系式; (2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围. 思路点拨:用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式,即可求出b,c的值,然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的另一个交点坐标,由图象法求得函数值y为正数时,自变量x的取值范围. 答案:(1) y=-x2+2x+3; (2)-1<x<3. 例题综合考察二次函数的图象在方程与不等式中的应用. 续表 随堂检测 1. 下列函数的图象与x轴只有一个交点的是(　D　) A.y=x2+2x-3 B.y=x2+2x+3 C.y=x2-2x+3 D.y=x2-2x+1 2.根据下面表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围是(　C　) x 2.23 2.24 2.25 2.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 A.2<x<2.23 B.2.23<x<2.24 C.2.24<x<2.25 D.2.25<x<2.262 3. 抛物线y=ax2+bx+c(a>0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(　D　) A.x<2 B.x>-3 C.-3<x<1 D.x<-3或x>1 第3题图 第4题图 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数值y在x轴下方时,x的取值范围是　-1<x<3.　  进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.二次函数与一元二次方程的关系有哪些? 3.用图象法解一元二次方程要注意哪些问题? 4.在本节课过程中,你感受到了哪些研究问题的思想方法? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 自主完成课本P33练习T1~T4 板书设计 21.3　二次函数与一元二次方程 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系 2.用图象法求一元二次方程的近似解 3.图象法求不等式的解集 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$