专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 1．（2024·辽宁大连·三模）对于二次函数，下列是关于其性质的一些描述：①对称轴为；②顶点纵坐标为7；③该二次函数图像与轴有两个交点；④抛物线开口向上．其中说法错误的为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 2．（2023·湖北荆州·一模）已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 3．（2024·山西晋中·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D为点C关于抛物线对称轴的对称点，作直线，点P为直线上方抛物线上的一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)连接．求当面积最大时，点P的坐标． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度交y轴于点C，则点C的坐标是 ． 3．（2024·云南昆明·三模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 1．（2023·山东济南·模拟预测）已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线与轴正半轴只有一个交点，与轴平行的直线交抛物线于、，交轴于点． ①若抛物线经过，则 ． ②若，则 ． 3．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，二次函数与y轴交于点A．已知抛物线顶点的纵坐标为．点在此抛物线上． (1)求出此抛物线的对称轴和解析式； (2)当时，求n的取值范围； (3)若此抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2，请直接写出m的取值范围． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 0.9 1.8 若其图象的对称轴为直线，则的较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 1．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 2．（2024·上海·模拟预测）若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 3．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线（m，n为常数）． (1)若，，求该抛物线与x轴的两个交点之间的距离； (2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，且，求的取值范围． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·四川泸州·三模）抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·天津红桥·一模）若二次函数(k为常数) 的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ． 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数． (1)当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证：； (2)若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 1．（2022·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 3．（2024·广东佛山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的表达式及的长； (2)点D是线段上一动点，若，求点D的坐标． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ． 3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 1．二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 3．无论k取何值，直线与抛物线总有公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 7．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线W沿y轴向上平移得到抛物线，抛物线与y轴交于点D，当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则的长为 ． 8．已知与是抛物线上的两点，且． （1）若，则与的大小关系是 ； （2）当与恰好是直线与抛物线两个交点时，若，则a的取值范围是 ． 9．如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ． 10．已知抛物线，为常数）． （1）若抛物线经过点，，则抛物线的表达式为 ； （2）在（1）的条件下，抛物线经过点，，当时，的取值范围为 ． 11．已知抛物线． (1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若点都在抛物线上，且，求的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 13．如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求线段的长． (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标． 14．在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移 个单位． (1)写出平移后的抛物线的函数表达式； (2)若时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)已知，，若平移后的抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围． 15．已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (1)当 时，求两个函数图象的交点坐标． (2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围． (3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求 的最小值； ②当轴时，求 的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，先根据二次函数，该二次函数的对称轴为，求出，根据函数图象与轴其中一个交点为，求出，令新的二次函数解析式为：，求出当时，，当时，，根据一元二次方程在范围内只有一个解，得出当时和当时，y的值异号，求出，然后验证当时， 当时，是否符合题意，最后验证当一元二次方程，即只有一个解时，k的值是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，该二次函数的对称轴为， ∴， 解得：， ∵函数图象与轴其中一个交点为， ∴， 解得：， 令新的二次函数解析式为：， 把，代入得：， 当时，， 当时，， ∵一元二次方程在范围内只有一个解， ∴当时和当时，y的值异号， ∴， 解得：， 当，方程的解为或，不符合题意； 当，方程的解为或，在范围内只有一个解，符合题意； 当一元二次方程，即只有一个解时， ， 解得：， 且当时，方程的解为，在范围内； 综上分析可知：一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是或． 故选：C． 1．（2024·辽宁大连·三模）对于二次函数，下列是关于其性质的一些描述：①对称轴为；②顶点纵坐标为7；③该二次函数图像与轴有两个交点；④抛物线开口向上．其中说法错误的为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次函数的图像与性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数图像的对称轴为，顶点坐标为， 故说法①正确，说法②错误； 令，可得， ∵， ∴该方程无实数根， ∴该二次函数图像与轴有无交点，故说法③错误； ∵， ∴抛物线开口向上，故说法④正确． 综上所述，说法错误的是②③． 故选：B． 2．（2023·湖北荆州·一模）已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 【答案】0或1或2 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当时，原函数为一次函数，可求得与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当时，原函数为二次函数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为或，由此可得是正整数，则或． 【详解】解：当时，则，在中，当时，，即函数与x轴的交点的横坐标为1，符合题意； 当时，则当时，有， 解得或， ∵函数与x轴的交点横坐标为正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∴或； 综上所述，整数k的值为0或1或2， 故答案为：0或1或2． 3．（2024·山西晋中·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D为点C关于抛物线对称轴的对称点，作直线，点P为直线上方抛物线上的一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)连接．求当面积最大时，点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 【分析】（1）分别令，，代入解析式求解作答即可； （2）如图，过点P作轴，交于点E．由，可知对称轴为直线，则，待定系数法求直线的函数表达式为．设P ，则F，，，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：令，则，即； 令，则， 解得，或， ∴，， ∴，，； （2）解：如图，过点P作轴，交于点E． ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 设直线的函数表达式为． 将，代入，得， 解得． ∴直线的函数表达式为． 设P ，则E，， ∴． ∵， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式是解题的关键． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，对称性，与y轴的交点问题，增减性问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 由图象得抛物线与y轴交于可判断A选项；由对称轴及可求抛物线必过点；由对称轴及开口方向可判断C选项；由对称轴及抛物线过点，可求与x轴另一交点为，再由开口方向即可判断D选项． 【详解】解：由图象得抛物线与y轴交于代入得，故本选项不符合题意； B、∵对称轴为直线，设关于对称轴的对称点为，则，解得，∴对称点为，故本选项不符合题意； C、∵对称轴为直线，且开口向上，∴当时，y随x增大而减小，，故本选项不符合题意； D、由抛物线过点，对称轴为直线，则与x轴另一交点为，且开口向上，∴当时，，故本选项符合题意． 故选：D． 1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴交点坐标与函数解析式的关系，由于二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，由此得到，，接着把点，点代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求解，根据交点坐标满足函数关系式得到关于待定字母的方程是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，， ∴， ∴， ∴， ∴代入第一个方程得：， 故选：． 2．（2024·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度交y轴于点C，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的平移规律（左加右减，上加下减），以及二次函数与坐标轴交点，根据平移规律得到平移后的二次函数解析式，即可得到二次函数与y轴的交点坐标． 【详解】解：二次函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度， 平移后的二次函数解析式为， 整理得， 点C的坐标是， 故答案为：． 3．（2024·云南昆明·三模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1)，抛物线得对称轴为 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解． （1）令可求点坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴． （2）由点为顶点，点在直线上运动，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ∴抛物线的对称轴为． （2）∵抛物线的对称轴为． 设点关于对称轴的对称点为点， ∴． ∵， ∴点都在直线上． 当时，如图， 当点在点的左侧(包括点)或点在点的右侧（包括点)时，线段与抛物线只有一个公共点． ∴或． ∴(不合题意，舍去)或． ②当时，如图，当在点与点之间（包括点，不包括点)时，线段与抛物线只有一个公共点． ， ， 又， ， 综上所述，的取值范围为或． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，得；当时，得：， ∴，， ∴， ∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为， 当时，， 解得：或， ∴点， ∵为锐角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 1．（2023·山东济南·模拟预测）已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象平移中，将和时代入直线和抛物线解析式，当点重合时求出的值，从而获得的取值范围． 【详解】抛物线的解析式为， 时，， 将代入得， ， 将代入和中得，， ， 解得，（舍， 当直线与抛物线相切时， ，则， ， 则， 解得， 的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线与轴正半轴只有一个交点，与轴平行的直线交抛物线于、，交轴于点． ①若抛物线经过，则 ． ②若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系的应用； ①抛物线与轴只有一个交点，则，抛物线过点，则，则故，即可求解； ②设、，则，且，即可求解． 【详解】解：①抛物线与轴只有一个交点，则， 抛物线过点，则， 故，解得舍去正值， 故， 故答案为； ②抛物线与轴只有一个交点，则， 设，、点的横坐标分别为、， 则：、， 当时，， 则：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 3．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，二次函数与y轴交于点A．已知抛物线顶点的纵坐标为．点在此抛物线上． (1)求出此抛物线的对称轴和解析式； (2)当时，求n的取值范围； (3)若此抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，抛物线的解析式为 (2)n的取值范围为 (3) 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识与方法． （1）由得出抛物线的顶点坐标为，从而得到，得出，即可得解； （2）由点P在此拋物线上，其坐标为，得出，当时，，当时，，由（1）得抛物线的顶点坐标为，当点与抛物线的顶点重合时，则，由此即可得出答案； （3）当点到轴的距离为2时，或，当时，则，得出，，当时，则，得出，，再结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点纵坐标为， ， ， 抛物线的解析式为：； ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：点P在此拋物线上，其坐标为， ∴， 当时，， 当时，， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， ∴当点与抛物线的顶点重合时，则， ∴当时，的最大值和最小值分别为0和， ∴的取值范围是； （3）解：当点到轴的距离为2时，或， 当时，则， 解得：，， 当时，则， 解得：，， 如图，点，，，到轴的距离均为2，   ，抛物线在点右侧部分（不包括点）恰有三个点到轴的距离为2， 的取值范围是． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 1．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 0.9 1.8 若其图象的对称轴为直线，则的较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质：图象法确定一元二次方程的近似根，先根据表格数据，得的较小的根的范围为，根据对称轴为直线，即可作答． 【详解】解：∵时，；时，； ∴的较小的根的范围为， ∵对称轴为直线， ∴的较大的根的范围是， 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 【答案】 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解． 【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，函数值随着的增大而增大， ∴该函数图象的开口向下， 故答案为：向下，； （2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、， ∴方程的正根的范围为， 故答案为：； （3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下， ∴不等式解集是， 故答案为：． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，由题意得出，且，结合为正整数，得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时；当时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且， ∵为正整数， ∴， ∴二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，， ∵当时，对应函数值的取值范围是， ∴， ∴当时，函数在上随着的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，当时，取到最小值，为，即， 解得：（符合题意）； 故选：B． 1．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·上海·模拟预测）若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键时利用数形结合的方法，画出图像，分析图像和性质才能得出结论，属于较难题型．在坐标系中画出抛物线与抛物线的图象，分情况找到临界位置的的值，进而确定的取值范围． 【详解】对于抛物线，当时，或， 对于抛物线，当时，或， 两条抛物线如下图： ∴，，， 当直线经过时，，得， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在下方时，只有两个交点不符合题意； 当直线与抛物线只有一个交点时， 即：方程只有一个解，即：方程只有一个解， ∴，解得：， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在上方时，最多只有两个交点不符合题意； 综上，当时，直线与抛物线与抛物线有三个不同交点， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线（m，n为常数）． (1)若，，求该抛物线与x轴的两个交点之间的距离； (2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，且，求的取值范围． 【答案】(1)距离为2 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式以及二次函数的性质． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线， 得， ， ∴两个交点间的距离为:； （2）∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有， ∴二次函数对称轴为， ， ， ， ，， ， ∵， ∴当时，， ∴当时，， ． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与轴的交点坐标等知识，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．由函数图像可确定，，，即可判断结论①；由，易得，即可判断结论②；由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，结合对称轴为直线，可得函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，故方程（）必有一个根大于且小于0，即可判断结论④；由函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，可知当时，，即可判断结论③． 【详解】解：由函数图像可知，该函数图像开口向下， ∴， ∵该函数图像的对称轴为直线， ∴可有， ∴， ∵该函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴当时，可有， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； 由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴为直线， ∴函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴方程（）必有一个根大于且小于0，故结论④正确； ∵函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，， ∵， ∴，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个． 故选：C． 1．（2024·四川泸州·三模）抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数图象与性质，两函数图象的交点与一元二次方程的实数根的关系，是解题的关键． 根据二次函数的对称轴求得b值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根可以看作与函数有交点，再由时的临界函数值及对称轴处的函数值得出t的取值范围即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线． ∴， 解得：， ∴， ∴一元二次方程有实数根可以看作与函数有交点， ∵方程（t为实数）在的范围内有实数根， ∴当时，；当时，；当时，； ∴t的取值范围是． 故选：C． 2．（2024·天津红桥·一模）若二次函数(k为常数) 的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程，根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数． (1)当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证：； (2)若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)① ②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据对称轴求得，再把代入得，，即可求解； ②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再利用配方法可得，根据平方的非负性可得，即可求解； （2）由题意可得，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵，对称轴为直线， ∴， ∴， 把点代入得，， ∴该函数的表达式为； ②∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴抛物线的顶点为， 把代入得，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为、， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，当时，二次函数的图像与线段有交点， 综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 1．（2022·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于，利用求解． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，先证明为等腰直角三角形，可得，从而可得答案. 【详解】解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴该函数顶点的坐标为：， ∴ ， 解得：； 故答案为：4． 三、解答题 3．（2024·广东佛山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的表达式及的长； (2)点D是线段上一动点，若，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）把点、的坐标分别代入得到、的方程组，则解方程组得到抛物线解析式，然后解方程得到点坐标，从而确定的长； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：把，分别代入得， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， ， ； （2）设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 设， ， 即， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，（a，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可判断①；根据对称轴和开口即可判断②；由函数与轴的交点是，即可判断③；求出函数的解析式得出其顶点坐标即可判断④； 【详解】解：由图象可得：二次函数的对称轴为：， ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵函数与轴的交点是， ∴函数与轴的交点是， ∴，故③错误； ∴，故②正确； 设函数，将点代入可得： ，解得： ∴ ∴函数的顶点坐标为，翻折后为 ∴将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D 1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定m的取值． 【详解】解：如图： 令，则 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于时，此时过点， ∴，即． ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴， 即有两个相等实根， ∴， 即． 若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是, 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想求解是解答的关键．先求得原二次函数与x轴的交点坐标，求得直线过临界点A、B时的b值，再求得翻折后的二次函数的图像与直线相切时的b值，利用图像即可得出b的取值范围． 【详解】解：如图，令，由得，， ∴，， 将点A代入得， 将点B代入得， 将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后的表达式为， 由得， 由得， 根据图像，当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是或， 故答案为：或． 3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【答案】(1)①直线解析式为；抛物线解析式为；②或 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图像法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键． （1）①先用待定系数法求出抛物线解析式，再求直线的解析式； ②根据图象写出答案即可； （2）求出直线过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解． 【详解】（1）解：①把，分别代入可得， ，解得， 则抛物线的解析式为． 把，分别代入可得， ，解得， 则直线的解析式为． ②不等式的解集为或； （2）解：设抛物线与轴交于P，Q两点，令， 解得：，， 故P，Q两点的坐标分别为，． 如图，当直线，经过点时，可得； 当直线经过点时，可得， 的取值范围为， 翻折后的二次函数解析式为． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 的取值范围为：， 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，结合，判定两点是对称点，故对应函数值相等，判定①正确；根据二次函数得到抛物线的对称轴，当时，；当时，；当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；可以判断②正确；根据抛物线与x轴交于不同两点，，得出，从而判定不成立，判定③不正确，解答即可． 本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴两点是对称点，故对应函数值相等， ∴①正确； ∵二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，； 当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； 当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； ∴②正确； ∵抛物线与x轴交于不同两点，， ∴不成立， ∴③不正确， 故选A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根与系数的关系判断②③，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断④． 【详解】解：的对称轴为， ， ， 抛物线经过， ，即，， 若，则， ，①正确． ， ， ， 与异号， ， 抛物线与轴有2个不同交点，②正确． ， ， 方程中， ， 时，，方程有两个相同实数解，③错误． 抛物线对称轴为直线， 把代入得， 抛物线顶点坐标为， 把代入得， 点坐标为， 设解析式为，把，代入得， 解得， ， 把代入得， 直线经过，④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 1．二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，认真观学会利用表格信息解决问题是解题的关键． 根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，或， ∴当时，x的取值范围为或， 故选C． 2．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．联立函数和一次函数，再利用判别式即可判断A 选项；根据二次函数系数与图象得关系，即可判断B选项；将二次函数化为顶点式，即可判断C选项；求出时的函数值，即可判断D选项． 【详解】解：A、联立，整理得：， ， 二次函数的图象与直线有两个交点，选项正确； B、， 二次函数的图象开口方向向下，选项错误； C、， 对称轴是直线，选项错误； D、当时，， 即点不在函数图象上，选项错误； 故选：A 3．无论k取何值，直线与抛物线总有公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题和数形结合思想．根据题意得到直线一定过定点，抛物线一定过定点和，再通过图象分别讨论当和时的情况求出a的取值范围． 【详解】解：由题意，直线， 则直线一定过定点， 同理，抛物线， 则抛物线过定点和， 如示意图，当时，直线与抛物线一定有公共点； 当时，为了保证直线与抛物线一定有公共点，则要求当时， 解得 综上，或， 故选：D 4．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据题意得出一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有解， ， 解得：且． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、一元二次方程定义，根的判别式以及解一元一次不等式，根据根的判别式结合二次项系数非零找出关于的一元一次不等式是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先确定抛物线的顶点坐标，于是有，再确定物线与轴的交点坐标为，，再代入解析式求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 将代入中，得， ∴抛物线顶点坐标为． ∵抛物线开口向下，顶点到x轴的距离为6， ∴，即， ∴． 又∵抛物线与x轴两个交点之间的距离为4a， ∴抛物线经过点，，将点代入中， 得， 整理得， 解得， ∴， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：D． 6．如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴抛物线与没有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 7．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线W沿y轴向上平移得到抛物线，抛物线与y轴交于点D，当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程的根与系数的关系，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．设向上平移得到抛物线的解析式为，利用，得到，利用抛物线与x轴有且只有一个交点，求得；设，，则α，β是方程的根，利用一元二次方程的根与系数的关系解答即可得出结论． 【详解】解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴． 设向上平移得到抛物线的解析式为， ∵抛物线与y轴交于点D， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴有且只有一个交点， ∴， ∴． ∴抛物线W的解析式为， 设，则α，β是方程的根， ∴． ∴． 故答案为：． 8．已知与是抛物线上的两点，且． （1）若，则与的大小关系是 ； （2）当与恰好是直线与抛物线两个交点时，若，则a的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题： （1）先求出抛物线对称轴为直线，再由得到点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，结合抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，据此可得答案； （2）联立两函数解析式可得，进而可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：（1）∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴， 故答案为：； （2）联立得， 解得或， ∴， ∵， ∴， ∴且， 故答案为：且． 9．如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，    当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 10．已知抛物线，为常数）． （1）若抛物线经过点，，则抛物线的表达式为 ； （2）在（1）的条件下，抛物线经过点，，当时，的取值范围为 ． 【答案】 抛物线的表达式为 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，涉及二次函数图象上电坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系． （1）由抛物线 ，为常数）经过点，，可得，解出，的值可得抛物线的表达式为； （2）根据抛物线 经过点，，知， 是关于 的两个不相等的实数根，故，，即可得，从而，解得． 【详解】解：（1）抛物线 ，为常数）经过点，， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）抛物线 经过点，， 当 时，， 是关于 的两个不相等的实数根， ，， ， ， ． ， 解得：． 11．已知抛物线． (1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若点都在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)的取值范围是或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与轴的交点问题，采用数形结合的思想与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意得出，结合得出，再由即可得出，从而得解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，再分情况：当，即时，当，即时；分别画出草图，结合图形求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意得：． ， ． ， 即． 在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点． （2）解：点都在抛物线上， 抛物线的对称轴为． 当，即时， ， 可作抛物线草图如图1、2： 由图可知，此时点的横坐标小于0，与题目矛盾，故舍去． 当，即时， ， 可作抛物线草图如图3： 由图可得，， 解得，． 作抛物线草图如图4： 由图可得，， 解得，． 综上所述，的取值范围是或． 12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)当或时，抛物线与线段恰有一个公共点． 【分析】（）当时，，再解方程即可得到结论； （）根据点，，抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，即可求的取值范围； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，， ∴，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）当时，点在点上方时，抛物线与线段恰有一个公共点， 可知， 解得：， ∴的取值范围为； 当时，点在抛物线过与轴的交点，之间时，抛物线与线段恰有一个公共点, ∴的取值范围为， 此时，抛物线与线段有一个公共点， 综上所述，当或时，抛物线与线段恰有一个公共点． 13．如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求线段的长． (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． （1）代入和，解方程组即可； （2）令，求出点B的坐标，利用两点间距离公式求解即可； （3）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③． 【详解】（1）解：解：把和代入， 解得：，， 二次函数的表达式为：； （2）解：令抛物线，则， 解得或， 根据题意：， ， ； （3）解：， 点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，    ①当时，， 又∵， ，； ②当时，， ； ③当时， 此时与重合， ； 综上所述，点的坐标为：或或或． 14．在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移 个单位． (1)写出平移后的抛物线的函数表达式； (2)若时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)已知，，若平移后的抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)，且． 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，二次函数的性质及应用； （1）由二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解； （2）由解析式可求对称轴为直线，由当时，随着的增大而减小，可得，即可求解； （3）分别求出当拋物线经过点，时，求出的值，结合由抛物线与线段只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：由抛物线得 对称轴为直线， 当时，随着的增大而减小， ， 解得：； （3）解：由题意得，， 当拋物线经过点时， 解得或； 当拋物线经过点时， 解得或． 当时，拋物线同时经过点和点，不合题意， 则， 综上所述，若平移后的抛物线与线段只有一个交点， 则的取值范围是，且． 15．已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (1)当 时，求两个函数图象的交点坐标． (2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围． (3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求 的最小值； ②当轴时，求 的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题； （1）当时，一次函数为y= 二次函数为 ，联立解析式，解方程，即可求解． （2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解； （3）当 时，一次函数为y= 二次函数为 ①设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解； ②设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为 联立方程组 解得 或 ∴交点坐标为或； （2）由 得 ∵两个函数图象没有交点， ∴ 得 （3）当 时，一次函数为二次函数为 ①∵轴 设 ， ∴当 时， ②设 ∵轴， ∴当 时， 学科网（北京）股份有限公司 $$