22.1 比例线段（第4课时 平行线分线段成比例 ）（同步课件）数学沪科版九年级上册

八年级沪科版数学上册 第二十二章 相似形 22.1 比例线段 第四课时 平行线分线段成比例 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论; （重点） 2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题. （难点） 还记得什么是平行线等分线段定理？ 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么它在另一条直线上截得的线段也相等． 情景导入 1.请你使用上节课所学知识求出下列各式中的x∶y. (1)3x＝5y　　　(2)x＝ y　　　(3)3∶x＝5∶y 解：(1) ＝ ； (2) ＝ ； (3) ＝ 旧知回顾 2．已知 ＝ ，求 . ∴ = = ， 解：∵ = ， ∴ = ， = ∴ . 比例的基本性质： 如果 ，那么 ad=bc. 如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 . 合比性质： 如果 ，那么 等比性质： 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 = , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点, AC与AB的比称为黄金比. 下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道: AD,BE1,CF互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？ a b c D F E DE=EF 情景导入 仔细阅读课本P69观察：回答什么是平行线分线段成比例定理，如何推导的？ 解：如图，有一组平行线：l1//l2//l3…//ln， 根据已学定理，可以得到： 如果A1A2＝A2A3＝…＝An－1An，那么B1B2＝B2B3＝…Bn－1Bn. 另外，直线A1An与直线B1Bn被这一组平行线分别截于点A1，A2，…，An和点B1，B2，…，Bn. 1.平行线分线段成比例定理推导与应用 新知探究 如果设A1A2＝A2A3＝…An－1An＝a，B1B2＝B2B3＝…Bn－1Bn＝b， 容易得到： = = ， . 所以有 = = = ， 数学语言 A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c a 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 若a∥b∥ c ， 则 = ， = ， = ， ... = 概念归纳 1.如图，已知l1∥ l2∥ l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. D A C E B D F l2 l1 l3 练一练 我们该如何理解“对应线段”？ “对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 对应线段成比例是指相对应位置的线段成比例 ∴相对应位置的线段就是对应线段 a：b=c:d a：d =bc 如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例. 平行线分线段成比例定理的推论 新知探究 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 归纳： 2.如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= . A B C E D F G 7.5 6 练一练 例1.已知，如图，AD∥EF∥BC，BE＝3，AE＝9，FC＝2.求DF的长． 解：∵A // EF // BC， ∴DF＝6. ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 典例剖析 B A E C D F A B C E F 例2.如图，在△ABC中， = . 求证：(1) = 证明: ∵ = ∴ = ∴ = 典例剖析 A B C E F (2) = , 证明: ∵ = , = . ∴ ∴ = . = ∴ . ∴ = . 证明：∵l1 // l2 // l3， 例3.如图，已知l1∥l2∥l3， ＝ ，求证 ＝ . ∴ = = ， ∴ = ∴ = ， ∴ = ， = ， ∴ 典例剖析 3.如图，AD//EG//BC，AD＝6，BC＝9，AE∶AB＝2∶3，求GF的长． ∴ ＝ ， EG＝6. ∵EF//AD， ∴ ＝ ，EF＝2，　 ∴GF＝EG－EF＝6－2＝4.　 ∵EG//BC， 解： 练一练 证明：∵DE∥BC， 4.如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥BE，求证 ＝ . ∴ ＝ . ∵DF∥BE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ . 练一练 解：过D作DH∥BE交AC于H. ∵BD∶DC＝CE∶AE＝2∶1， 5.如图，在△ABC中，若 ＝ ＝ ，AD和BE交于F，则 ＝ ． ∴ ＝ ＝2， ∴EH＝ CE. 练一练 ∴AE＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ . C 随堂练 C 随堂练 4 随堂练 6 随堂练 随堂练 C 1. 如图，l1∥l2∥l3，下列比例式不成立的是(　　) 分层练习-基础 31 C 2. [2022·丽水]如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝3，则线段BC的长是(　　) 【点拨】 32 3. [2023·北京]如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值为________. 【点拨】 33 4. 如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3. (1)如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长； 34 返回 (2)如果DE : EF＝2 : 3，AB＝6，求AC的长. 35 A 36 C 6. 如图，在△ABC中，D是△ABC的边BC上的中点，AF : FD＝1 : 2，BF的延长线交AC于点E，则AE : CE的值为(　　) 37 【点拨】 7. 在▱ABCD中，E是AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝10. 39 (2)求GE的长. 40 D 8. 如图，已知在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列各式中不一定成立的是(　　) 41 9. [2024·常州二十四中月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6. 点P从点A出发，沿A→B→C向点C运动，在AB上以每秒5个单位的速度运动，在BC上以每秒3个单位的速度运动. 点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个单位的速度运动. P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止. 设点P运动的时间为t秒. 分层练习-巩固 42 (1)求线段AQ的长(用含t的代数式表示)； 43 返回 (2)当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值. 44 10. [2023·江西]【课本再现】 思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 分层练习-拓展 45 【定理证明】 (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O. 求证：▱ABCD是菱形. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO. 又∵BD⊥AC，垂足为O，∴AC是BD的垂直平分线. ∴AB＝AD. ∴▱ABCD是菱形. 46 【知识应用】 (2)如图②，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6. ①求证：▱ABCD是菱形； 47 ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝ ∠ACD，求 的值. 48 (1) 已知 ，且2b－d+7f≠0，求 的值； 1. 解：(1) 习题22.1 (2)已知 ，且x+y+z≠0，求k的值. 已知：在四边形ABCD和四边形A'B'C'D' 中， ，且四边形A'B'C'D' 的周长为80 cm，求四边形ABCD的周长. 2. 解： 又∵四边形A'B'C'D' 的周长为80 cm ∴AB+BC+CD+DA=128 cm， ∴四边形ABCD的周长为128 cm. 已知：点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶5，求AB∶PB和AP∶AB的值. 3. 解：AB∶PB=(2+5)∶5=7∶5， AP∶AB=2∶(2+5)=2∶7. 解：∵DE∥BC，EF∥AB ∴四边形BDEF为平行四边形， ∴DE=BF. 已知：如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB. 求证： 4. ∵DE∥BC， 如图，l1∥l2∥l3，AM=3，MB=5，CM=4.5，EF=16，求DM，EK，KF的值. 5. 解：∵l1∥l2∥l3， ∵l1∥l2∥l3， 设EK=3x，则KF=5x， 则3x+5x=16，解得x=2， ∴EK=6，KF=10. 已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AB上的一点，在边CD上找一点F，使AE∶EB=DF∶FC. 6. 解：如图，过点E作EF∥BC，交CD于点F，点F即为所求的点. 点P是∠AOB内一点，过点P作一直线与∠AOB的两边OA，OB分别交于点E，F，使PE∶PF=2∶1. 7. 解：如图，(1)过点P作OB的平行线PC交OA于点C； (2)在射线OA上截取CE=2OC； (3)连接EP并延长交OB于点F. EF即为所求的直线. 已知：在△ABC中，作直线DN平行于BC上的中线AM，设直线DN交AB于点D、交CA的延长线于点E、交BC于点N. 求证：AD∶AB=AE∶AC. 8. 解：如图，∵DN∥AM， 又∵EN∥AM， 又∵AM是三角形ABC的中线， ∴CM=BM， 如图，AG∶GD=4∶1，BD∶DC=2∶3，求 AE∶EC的值. 9. 解：如图，过点D作DF//BE， 已知：在△ABC中，AD为∠A平分线. 求证： 10. 解：如图，分别过点D作DE //AC交AB于点E，作DF//AB 交AC于点F. ∵AD为∠A平分线， ∴∠EAD=∠FAD. ∵DE∥AC，∴∠EDA=∠FAD. ∴∠EAD=∠EDA，∴AE=ED. 又∵DE∥AC，DF//AB， ∴四边形AEDF是菱形. ∴AE=EF， 课堂反馈 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 基本事实 平行线分线段成比例 课堂小结 64 64 , C l1 l2 A B EH CE 1．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(　　) A.eq \f(AC,CE)＝eq \f(BD,DF)　　　　　 B．eq \f(AC,AE)＝eq \f(BD,BF) C.eq \f(BD,CE)＝eq \f(AC,DF) D．eq \f(AE,CE)＝eq \f(BF,DF) 2．(兰州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，若eq \f(AD,DB)＝eq \f(2,3)，则eq \f(AE,EC)等于(　　) A.eq \f(1,3)　　 B．eq \f(2,5)　　 C．eq \f(2,3)　　 D．eq \f(3,5) 3．(淮安中考)如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝ . 4．如图，已知AB∥CD∥EF，若AD＝7，DF＝3，CE＝2，则线段BE＝ 　　. eq \f(20,3) 5．(长春中考)如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为 . 6．已知：如图，直线l1∥l2∥l3，eq \f(AB,BC)＝eq \f(m,n)，求证：eq \f(DE,DF)＝eq \f(m,m＋n). 证明：∵l1∥l2∥l3，∴eq \f(DE,EF)＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(m,n)，∴eq \f(EF,DE)＝eq \f(n,m).∴eq \f(DE＋EF,DE)＝eq \f(m＋n,m).∴eq \f(DE,DE＋EF)＝eq \f(m,m＋n)，即eq \f(DE,DF)＝eq \f(m,m＋n). A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ A. B. 1 C. D. 2 过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于点D，交点C所在的平行横线于点E，则＝，即＝2，解得BC＝. 故选C. ∵AB∥EF∥CD，∴＝＝＝. 【解】∵l1∥l2∥l3，∴＝＝＝. ∴DE＝EF＝6. 【解】∵l1∥l2∥l3，∴＝＝. ∴BC＝AB＝×6＝9. ∴AC＝AB＋BC＝6＋9＝15. 5. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若AD＝2，BD＝3，则的值是(　　) A. B. C. D. A. B. C. D. 过点D作DM∥BE交AC于点M，如图所示. ∵D是△ABC的边BC上的中点， ∴BD＝CD. ∵DM∥BE，∴＝＝，＝＝1. ∴CM＝EM. ∴CE＝EM＋CM＝2EM. ∴＝＝. 故选C. (1)＝________； 【解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BG∥CD. ∴＝. ∵DE＝2AE，CE＝10，∴＝. ∴GE＝5. A. ＝ 　　 B. ＝ C. ＝ 　　 D. ＝ 【解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝＝＝8. 易知CQ＝t，∴AQ＝8－t. 【解】当点P在线段AB上时，有PQ∥BC，AP＝5t， ∴＝，即＝，解得t＝(符合题意). 当点P在线段BC上时，有PQ∥AB，CP＝6－3(t－2)＝12－3t，∴＝，即＝，解得t＝3(符合题意). 综上，t的值为或3. 【证明】∵在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝AC＝4，DO＝BD＝3. 又∵AD＝5，∴AD2＝AO2＋DO2. ∴△AOD为直角三角形. ∴∠AOD＝90°，即BD⊥AC. ∴▱ABCD是菱形. 【解】如图，过点E作EG∥CD，交BD的延长线于点G. 由①知四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AD＝5，∠ACD＝∠ACB. ∵∠CEO＝∠ACD， ∴∠CEO＝∠ACB. 又∵∠ACB＝∠CEO＋∠COE， ∴∠CEO＝∠COE. ∴CE＝CO＝AC＝4. ∵CD∥EG，∴＝，即＝，解得DG＝. ∵DF∥GE，∴＝＝＝. 平行线分线段成比例定理的推论的应用 如图：DE∥BC，EF∥DC. 求证：AD2＝AF·AB. 【思路分析】　要证AD2＝AF·AB，只要证eq \f(AF,AD)＝eq \f(AD,AB)，由于AF、AD、AB在同一直线上，因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比． 【规范解答】　证明：∵DE∥BC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例)． ∵EF∥DC，∴eq \f(AF,AD)＝eq \f(AE,AC)，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AF,AD)，即AD2＝AF·AB. $$