九年级数学第三次月考卷01（北师大版，一元二次方程+相似+反比例函数+直角三角形的边角关系+二次函数）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：九上第二章一元二次方程 15%+第四章图形的相似 26%+第六章反比例函数 17%+ 九下第一章直角三角形的边角关系 13%+第二章二次函数 29%。 5．难度系数： 0.69。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．已知  为锐角，且 1 sin 2   ，则   （ ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】A 【详解】∵  为锐角，且 1 sin 2   ， ∴ 30  ． 故选 A． 2．将一元二次方程 2 8 5 0x x   化成 2( )x a b  （a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（ ） A． 4 ，21 B． 4 ，11 C．4，21 D． 8 ，69 【答案】A 【详解】解： 2 8 5 0x x   移项得 2 8 5x x  ， 配方得 2 28 4 5 16x x    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 即  24 21x   ， ∴ a=-4，b=21． 故选：A 3．抛物线 22( 9) 3y x   的顶点坐标是（ ） A． (9, 3) B． ( 9, 3)  C． (9,3) D． ( 9,3) 【答案】B 【详解】∵ 二次函数解析式为 22( 9) 3y x   ， ∴ 顶点坐标为 ( 9, 3)  ； 故选：B． 4．下列函数中， y 随 x 的增大而减小的是（ ） A． 3 ( 0)y x x   B． 3y x  C． 22 ( 0)y x x   D． 1 4 y x 【答案】A 【详解】A 、由 3 ( 0)y x x   可知 3 0k   ，则在每一象限内， y 随 x 的增大而减小，此选项符合题意； B、由 3y x  可知 1 0k   ，则 y 随 x 的增大而增大，此选项不符合题意； C、由 22 ( 0)y x x   可知抛物线开口向下，当 0x  时， y 随 x 的增大而增大，此选项不符合题意； D 、由 1 4 y x 可知 1 0 4 k   ，则 y 随 x 的增大而增大，此选项不符合题意； 故选：A ． 5．如图，在平面直角坐标系中， AOB 与 COD△ 是以原点为位似中心的位似图形，若 3AC OA ，点 B 的 坐标为 (1,3)，则点 D 的坐标为（ ） A． (2,6) B． ( 2, 6)  C． (3,9) D． ( 3, 9)  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【答案】B 【详解】解：∵ 3AC OA ， ∴ 1 3 2 OA OA OA OC AC OA OA OA      ， ∵ AOB 与 COD△ 是以原点为位似中心的位似图形， ∴ AOB 与 COD△ 的位似比为 1 2 ， ∵ 点 B 的坐标为 (1,3)， ∴ 点D的坐标     1 2 ,3 2    ，即 ( 2, 6)  ， 故选：B． 6．据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020 年和 2022 年全国居民人均可 支配收入分别为 3.2 万元和 3.7 万元．设 2020 年至 2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x， 依题意可列方程为（ ） A． 23.2(1 ) 3.7x  B． 23.2(1 ) 3.7x  C． 23.7(1 ) 3.2x  D． 23.7(1 ) 3.2x  【答案】B 【详解】设 2020 年至 2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x， 根据题意得， 23.2(1 ) 3.7x  ． 故选：B． 7．已知 ABC DEF∽△ △ ，且 3AB  ， 6DE  ，若 ABC 的周长为 20，则 DEF 的周长为（ ） A．5 B．10 C．40 D．80 【答案】C 【详解】解： ABC DEF△ ∽△ ， ∴ ABC 的周长: DEF△ 的周长 : 3 : 6 1: 2AB DE   ， ABC 的周长为 20， DEF 的周长为 40． 故选：C． 8．已知二次函数 2y ax 2x c   ，其中 0ac  ，则它的图象可能是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 0ac  ， a 、c异号， 当 0c  时， 0a  ，与 y 轴交点在正半轴，抛物线开口向下，对称轴 2 0 2a   ，在 y 轴右侧， 当 0c  时， 0a  ，与 y 轴交点在负半轴，抛物线开口向上，对称轴 2 0 2a   ，在 y 轴左侧， 综上所述，只有选项C符合题意， 故选：C． 9．如图，D 是等边三角形 ΔABC 边上的点，AD＝3，BD＝5，现将 ΔABC 折叠，使点 C 与点 D 重合，折痕 为 EF，且点 E 点 F 分别在边 AC 和 BC 上，则 CE CF 的值为( ) A． 11 13 B． 3 5 C． 4 5 D． 8 9 【答案】A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【详解】解：∵ △ ABC 是等边三角形， ∴ ∠ A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8， 由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD， ∴ ∠ AED=∠BDF， ∴ △ AED∽ △ BDF， ∴ 11 13 DE AE AD DE DF BD DF BF       ， ∴ 11 13 CE DE CF DF   ， 故选 A． 10．函数 2 4 2y x x   的自变量 x 的取值范围为全体实数，其中 0x  部分的图象如图所示，对于此函数有 下列结论： ①函数图象关于 y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当 < 2x  时，y 随 x 的增大而减小； ④当 6 2a    时，关于 x 的方程 2 4 2x x a   有 4 个实数根； 其中正确的结论个数是．（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ①如图所示：函数图象关于 y 轴对称，则正确； ②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误； ③如图所示：当 < 2x  时，y 随 x 的增大而减小，则正确； ④如图所示：当 6 2a    时，关于 x 的方程 2 4 2x x a   有 4 个实数根，则正确； 则正确的个数有 3 个，故选 C． 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11．若 2x  是关于 x 的方程 2 2 0x x m   的一个解，则m 的值是 ． 【答案】3 【详解】将 2x  代入方程 2 2 0x x m   中得， 2 02 2 2m   ， 解得： 3m  ， 故答案为：3． 12．如图，P 是反比例函数 y = 3 x 图象上一点，PA⊥ x 轴于点 A，则 PAOS  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【答案】 3 2 【详解】解：∵ P 是反比例函数 y = 3 x 图象上一点 PA⊥x 轴于点 A， ∴ PAOS  3 2 ， 故答案为： 3 2 . 13．如图， AB 表示一个窗户，窗户的下端到地面距离 0.5mBC  ， AM 和BN 表示射入室内的光线．若某 一时刻BC 在地面的影长 0.4mCN  ， AC 在地面的影长 2mCM  ，则窗户的高度为 ． 【答案】2m 【详解】解： AM BN∥ ， ACM BCN ∽  ， AC CM BC CN   ，  0.5mBC  ， 0.4mCN  ， 2mCM  ， 2.5mAC  ， 2mAB AC BC    ，则窗户的高度为2m， 故答案为：2m． 14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度  my 和 运动员出手点的水平距离  mx 之间的函数关系为 2 1 4 2 10 5 y x x    ，由此可知铅球的落地点与运动员出手 点的水平距离是 m． 【答案】10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】 21 4 2 10 5 y x x    当 0y  时，得： 21 4 2 0 10 5 x x    ， 解得： 1 10x  ， 2 2x   （舍去） 即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是10m 故答案为：10 15．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝15，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B，C 重合），∠ADE＝∠B＝∠α， DE 交 AB 于点 E，且 tan∠α＝ ，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当 CD＝9 时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为 12 或 ；④0＜BE≤5，其中正确的结论是 （填入 正确结论的序号） 【解答】解：①∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAD， ∴△ADE∽△ABD； 故①错误； ②作 AG⊥BC 于 G， ∵∠ADE＝∠B＝α，tan∠α＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴cosα＝ ， ∵AB＝AC＝15， ∴BG＝12， ∴BC＝24， ∵CD＝9， ∴BD＝15， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴AC＝BD． ∵∠ADE+∠BDE＝∠C+∠DAC，∠ADE＝∠C＝α， ∴∠EDB＝∠DAC， 在△ACD 与△DBE 中， ， ∴△ACD≌△DBE（ASA）． 故②正确； ③当∠BED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ABD， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠BED＝90°， ∴∠ADB＝90°， 即 AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵∠ADE＝∠B＝α 且 tan∠α＝ ，AB＝15， ∴ ＝ ∴BD＝12． 当∠BDE＝90°时，易证△BDE∽△CAD， ∵∠BDE＝90°， ∴∠CAD＝90°， ∵∠C＝α 且 cosα＝ ，AC＝15， ∴cosC＝ ＝ ， ∴CD＝ ． ∵BC＝24， ∴BD＝24﹣ ＝ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 即当△BDE 为直角三角形时，BD＝12 或 ． 故③正确； ④易证得△BDE∽△CAD，由②可知 BC＝24， 设 CD＝y，BE＝x， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 整理得：y2﹣24y+144＝144﹣15x， 即（y﹣12）2＝144﹣15x， ∴0＜x≤ ， ∴0＜BE≤ ． 故④错误． 故正确的结论为：②③． 故答案为：②③． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7 分）计算：   1 1 2 3 tan 60 2023 2            【详解】解：   1 1 2 3 tan 60 2023 2            2 3 3 2 2023     --------------------------------2 分 2 3 2 2023    --------------------------------4 分 2020  --------------------------------7 分 2020 17．（7 分）已知二次函数  2 1 1y mx m x m     有最小值为 0，求 m 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 【详解】解：∵  2 1 1y mx m x m     有最小值 0， ∴     2 4 1 1 0 4 m m m m     且 0m  ，--------------------------------3 分 解得 1m  或 1 3 m   （舍去）．--------------------------------5 分 经检验： 1m  是该方程的解．--------------------------------6 分 即 m 的值为 1．--------------------------------7 分 18．（7 分）如图，在 ABC 中， 5AB AC= = ，点 P 为BC 边上一动点（不与点 B，C 重合），过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M， APM B   ， 8BC  ． (1)求证： ABP PCM∽△ △ ； (2)当 2BP  时，求CM 的值． 【详解】（1）证明： AB AC ，  B C  ．--------------------------------1 分  APM B   ，  180 180BAP B APB APM APB CPM         ，--------------------------------2 分  ABP PCM∽△ △ ．--------------------------------3 分 （2）解： 5AB AC  ， 8BC  ， 2BP  ，  6CP  ．--------------------------------4 分  ABP PCM∽△ △ ，  AB BP PC CM  ，--------------------------------5 分  5 2 6 CM  ，--------------------------------6 分  12 5 CM  ．--------------------------------7 分 19．（8 分）已知 ( , 2), (2, 3)A n B  两点是一次函数 y kx b  和反比例函数 m y x  图象的两个交点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 (1)求一次函数的解析式和m 的值； (2)求 AOB 的面积． 【详解】（1）解：由题意可得：点 (2, 3)B  在反比例函数 m y x  图象上， ∴ 6m   ，--------------------------------1 分 ∴ 反比例函数的解析式为 6 y x   ，--------------------------------2 分 将 ( , 2)A n 代入 6 y x   ，得： 3n   ，即 ( 3,2)A  ， ∵ 一次函数 y kx b  图象经过 ( 3,2), (2, 3)A B  ， ∴ 3 2 2 3 k b k b        ， 解得： 1 1 k b      ，--------------------------------3 分 ∴ 一次函数的解析式为 = 1y x  ；--------------------------------4 分 （2）解：设一次函数 = 1y x  的图象与 x 轴交于C 点， 当 0y  时， 1x   ， ∴ 点 ( 1,0)C  ，--------------------------------6 分 ∴ 1OC  ，--------------------------------7 分 ∴ 1 1 5 1 2 1 3 2 2 2AOB AOC BOC S S S           ．--------------------------------8 分 20．（8 分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设 计示意图如图②所示，以山脚A 为起点，沿途修建 AB 、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处， 中途设计了一段与 AF 平行的观光平台BC 为50m．索道 AB 与 AF 的夹角为15，CD与水平线夹角为45， A B、 两处的水平距离 AE 为576m，DF AF ，垂足为点F ．（图中所有点都在同一平面内，点 A E F、 、 在 同一水平线上） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 (1)求索道 AB 的长（结果精确到1m）； (2)求水平距离 AF 的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15 0.25  ， cos15 0.96  ， tan15 0.26  ， 2 1.41 ） 【详解】（1）解：∵ A B、 两处的水平距离 AE 为576m，索道 AB 与 AF 的夹角为15，-------------------2 分 ∴ 576 600m cos15 0.96 AE AB     ；--------------------------------4 分 （2）解：过点 C 作水平线 CG 交 DF 于点 G, ∵ AB 、CD两段长度相等，CD与水平线夹角为45， ∴ 600mCD  ， 2 1.41cos 45 600 600 423m 2 2 CG CD       ，--------------------------------6 分 ∴ 576 50 423 1049mAF AE BC CG       ；--------------------------------8 分 21．（9 分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图 2，将喷灌架置于坡度为1:5的坡地底部点 O 处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1 米，当 喷射出的水流与喷水头的水平距离为 20 米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9 米． (1)求图 2 中抛物线表达式； (2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度 AB 的长； (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为3.5米，求水流与喷水头的水平距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 【详解】（1）∵ 抛物线的顶点坐标为  20,9 ，且过点(0,1)， 设抛物线的解析式为  220 9y a x   ，--------------------------------1 分 ∴  21 0 20 9a   ， 解得 1 50 a   ，--------------------------------2 分 故抛物线的解析式为  21 20 9 50 y x    或 2 1 4 1 50 5 y x x    ．--------------------------------3 分 （2）设铅直高度 AB 与水平面的交点为 N， 根据坡比为1:5，得 1 5 BN ON  ， 20ON  ，--------------------------------4 分 解得 4BN  ， --------------------------------5 分 9 4 5AB AN BN     (米)． 答：铅直高度 AB 为 5 米．--------------------------------6 分 （3）设点 P 为抛物线上的一点，且喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为 3.5PM  米且PM 与水平面的交 点为 G， 设  ,0G n ，则OG n ， ∵ 坡比为1:5， ∴ 1 5 MG OG  ， 解得 1 5 MG n ， ∴ 1 , 3.5 5 P n n      ，--------------------------------7 分 ∵ 点 P 在抛物线  21 20 9 50 y x    上， ∴  21 13.5 20 9 5 50 n n     ，--------------------------------8 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 整理，得 2 30 125 0n n   ， 解得 1 25, 25n n  ， 答：水流与喷水头的水平距离为 5 米或 25 米．--------------------------------9 分 22．（10 分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，增加盈利，尽量 减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 5 元，商场平均每天可多售 出 10 件．求： （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利 1600 元，可能吗？请说明理由． 【详解】（1）设每件衬衫应降价 x 元． 根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200--------------------------------2 分 整理，得 x2-30x+200=0 解得 x1=10，x2=20． --------------------------------3 分 ∵ “扩大销售量，减少库存”， ∴ x1=10 应略去，--------------------------------4 分 ∴ x=20． 答：每件衬衫应降价 20 元．--------------------------------5 分 （2）不可能．理由如下：--------------------------------6 分 令 y=（40-x）（20+2x），--------------------------------7 分 当 y=1600 时，（40-x）（20+2x）=1600 整理得 x2-30x+400=0--------------------------------8 分 ∵ △ =900-4×400＜0， 方程无实数根．--------------------------------9 分 ∴ 商场平均每天不可能盈利 1600 元．--------------------------------10 分 23．（10 分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值 L 2ΩR  ）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电 阻 LR R、 之间关系为 L U I R R   ，通过实验得出如下数据： / ΩR … 1 a 3 4 6 … / AI … 4 3 2.4 2 b … (1) a _______，b  _______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数  12 0 2 y x x    ，结合表格信息，探究函数  12 0 2 y x x    的图象 与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数  12 0 2 y x x    的图象； ②随着自变量 x 的不断增大，函数值 y 的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 0x  时， 12 3 6 2 2 x x     的解集为________． 【详解】（1）解：由题意， 12 2 I R   ， 当 3I  时，由 12 3 2a   得 2a  ， 当 6R  时， 12 1.5 6 2 b    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 故答案为：2，1.5；--------------------------------2 分 （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数  12 0 2 y x x    的图象如图： --------------------------------4 分 ②由图象可知，随着自变量 x 的不断增大，函数值 y 逐渐减小， 故答案为：函数值 y 逐渐减小；--------------------------------6 分 （3）解：当 2x  时， 3 2 6 3 2 y      ，当 0x  时， 6y  ， ∴ 函数  12 0 2 y x x    与函数 3 6 2 y x   的图象交点坐标为  2,3 ，  0,6 ， 在同一平面直角坐标系中画出函数 3 6 2 y x   的图象，如图， 由图知，当 2x  或𝑥 = 0时， 12 3 6 2 2 x x     ， 即当 0x  时， 12 3 6 2 2 x x     的解集为 2x  或𝑥 = 0， 故答案为： 2x  或𝑥 = 0．--------------------------------10 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 24．（12 分）如图 1，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， 45CAB CDE   ，点 D 是线 段 AB 上一动点，连接 BE ． (1)填空：① BE AD 的值为 ；② DBE 的度数为 ． (2)类比探究：如图 2，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， 60CAB CDE   ，点 D 是 线段 AB 上一动点，连接 BE ．请求出的 BE AD 值及 DBE 的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图 3，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， CAB CDE  ，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE ，P 为DE 中点．若 6AC  ， 8BC  ，在点 D 从 A 点运动到 B 点的过程中，请直接写出 点 P 经过的路径长． 【详解】（1） ∵① 90ACB DCE    ， 45CAB CDE   ， ∴ 45ABC CAB CDE CED        ， ∴ AC BC ，CD CE ， ∵ 90ACB DCE    ， ∴ ACD BCE  ， 在 ACD 和 BCE 中， AC BC ACD BCE CD CE       ， ∴ (SAS)ACD BCE≌△ △ ， ∴ BE AD ， 45CAB CBE   ， ∴ 1 BE AD  故答案为：1；--------------------------------2 分 ②由①得： 45ABC  ， 45CAB CBE   ， ∴ 90DBE ABC CBE      ， 故答案为：90°；--------------------------------4 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 （2）解： 3 BE AD  ， 90DBE  ，理由如下： ∵ 90ACB DCE    ， 60CAB CDE   ， ∴ ACD BCE  ， 30CED ABC   ， ∴ 3BC AC ， ∴ 3 BC AC  ，--------------------------------5 分 ∵ 90ACB DCE    ， 60CAB CDE   ， ∴ ACB DCE∽  ，--------------------------------6 分 ∴ AC CD BC CE  ， 同①得： ACD BCE  ， ∴ ACD BCE△ △∽ ，--------------------------------7 分 ∴ 3 BE BC AD AC   ， 60CBE CAD   ， ∴ 90DBE ABC CBE      ；--------------------------------8 分 （3）解：同（2）得： ACD BCE△ △∽ ， ∴ A CBE  ， ∵ 90ACB  ， ∴ 90A ABC   ， ∴ 90CBE ABC   ，即 90DBE  ， 当点 D 与 A 重合时，点 E 与 B 重合， AB 的中点，记为P； 当点 D 与 B 重合时，点 E 是 AC 的延长线与 BE 的延长线的交点，记为E，如图 3 所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 则点 P 的运动轨迹为P P ，P P 是 ABE 的中位线， ∴ 1 2 P P AE   ， ∵ 90ACB BCE    ， A CBE   ， ∴ ABC BE C∽  ， ∴ BC AC CE BC   ，即 8 6 8CE   ， ∴ 32 3 CE  ， ∴ 50 3 AE AC CE    ， ∴ 1 25 2 3 P P AE    ， 即 P 点经过的路径长为 25 3 ．--------------------------------12 分 25．（12 分）如图 1，已知二次函数图象与 y 轴交点为 (0,3)C ，其顶点为 (1, 2)D ． (1)求二次函数的表达式； (2)直线CD与 x 轴交于M ，现将线段CM 上下移动，若线段CM 与二次函数的图象有交点，求CM 向上和向 下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90，得到抛物 线G ，如图 2 所示，直线 2y x   与G 交于A ， B 两点，P 为G 上位于直线 AB 左侧一点，求 ABP 面积 最大值，及此时点P 的坐标． 【详解】（1）解：顶点 (1, 2)D ， 设二次函数的解析式为 2( 1) 2y a x   ，--------------------------------1 分 把 (0,3)代入得：3 2a  ， 1a  ，--------------------------------2 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 2( 1) 2y x    ， 即 2 2 3y x x   ；--------------------------------3 分 （2）解：由点C 、D的坐标得，直线CD解析式为 3y x   ， (3,0)M ，--------------------------------4 分 ①设直线CD向下平移最大距离为m ， 平移后的直线解析式为 3y x m    ， 此时直线与抛物线有一个交点， 把 3y x m    代入 2 2 3y x x   ， 得 2 2 3 3x x x m      ，--------------------------------5 分 2 0x x m   ， △ 1 4 0m   ， 即： 1 4 m  ．--------------------------------6 分 ②设直线CD向上平移最大距离为 n ， 此时C ，M 对应点为C，M ， 则 (3, )M m ， 当M 恰在二次函数上时， 23 2 3 3 m     ，--------------------------------7 分 6m  ， 向上平移的最大距离为 6． 综上，CM 向下平移的最大距离为 1 4 ，向上平移的最大距离为 6；--------------------------------8 分 （3）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为 (0,0)， 则函数的解析式为： 2y x ， 设 2( , )F m m 为 2y x 上一点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 F 绕O顺时针旋转90 后，对应点为 F ， 则 FMO F M O ≌△ △ ， 则 FM F M m  ， 2FN OM OM m   ， 2: ( )F m m ， ， 若F 在 y 轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方， 所以 2:G x y ， 把 2y x   代入 2x y ， 2 2y y    ， 解得： 1 2y   ， 2 1y  ； 则 (1,1)A ， (4, 2)B  ，--------------------------------9 分 设： 2( )P m m， ， 过点 P 作PQ x∥ 轴交 AB 于点Q， : 2AB y x   ， (2 , )Q m m  ， 22PQ m m    ，  1 ( ) 2ABP A B S PQ y y   21 (2 ) 3 2 m m    23 3 3 2 2 m m    ，--------------------------------10 分 当 1 2 m   时， ABPS 有最大值， 27 8max S  ，--------------------------------11 分 此时 1 1 , 4 2 P      ．--------------------------------12 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7 分） 18．（7 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：九上第二章一元二次方程 15%+第四章图形的相似 26%+第六章反比例函数 17%+ 九下第一章直角三角形的边角关系 13%+第二章二次函数 29%。 5．难度系数： 0.69。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．已知  为锐角，且 1 sin 2   ，则   （ ） A．30 B．45 C．60 D．90 2．将一元二次方程 2 8 5 0x x   化成 2( )x a b  （a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（ ） A． 4 ，21 B． 4 ，11 C．4，21 D． 8 ，69 3．抛物线 22( 9) 3y x   的顶点坐标是（ ） A． (9, 3) B． ( 9, 3)  C． (9,3) D． ( 9,3) 4．下列函数中， y 随 x 的增大而减小的是（ ） A． 3 ( 0)y x x   B． 3y x  C． 22 ( 0)y x x   D． 1 4 y x 5．如图，在平面直角坐标系中， AOB 与 COD△ 是以原点为位似中心的位似图形，若 3AC OA ，点 B 的 坐标为 (1,3)，则点 D 的坐标为（ ） A． (2,6) B． ( 2, 6)  C． (3,9) D． ( 3, 9)  6．据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020 年和 2022 年全国居民人均 可支配收入分别为 3.2万元和 3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x， 依题意可列方程为（ ） A． 23.2(1 ) 3.7x  B． 23.2(1 ) 3.7x  C． 23.7(1 ) 3.2x  D． 23.7(1 ) 3.2x  7．已知 ABC DEF∽△ △ ，且 3AB  ， 6DE  ，若 ABC 的周长为 20，则 DEF 的周长为（ ） A．5 B．10 C．40 D．80 8．已知二次函数 2y ax 2x c   ，其中 0ac  ，则它的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．如图，D 是等边三角形 ΔABC 边上的点，AD＝3，BD＝5，现将 ΔABC 折叠，使点 C 与点 D 重合，折痕 为 EF，且点 E 点 F 分别在边 AC 和 BC 上，则 CE CF 的值为( ) A． 11 13 B． 3 5 C． 4 5 D． 8 9 10．函数 2 4 2y x x   的自变量 x 的取值范围为全体实数，其中 0x  部分的图象如图所示，对于此函数 有下列结论： ①函数图象关于 y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当 < 2x  时，y 随 x 的增大而减小； ④当 6 2a    时，关于 x 的方程 2 4 2x x a   有 4 个实数根； 其中正确的结论个数是．（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11．若 2x  是关于 x 的方程 2 2 0x x m   的一个解，则m 的值是 ． 12．如图，P 是反比例函数 y = 3 x 图象上一点，PA⊥x 轴于点 A，则 PAOS  ． 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．如图，AB 表示一个窗户，窗户的下端到地面距离 0.5mBC  ， AM 和BN 表示射入室内的光线．若某 一时刻BC 在地面的影长 0.4mCN  ， AC 在地面的影长 2mCM  ，则窗户的高度为 ． 14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度  my 和运动员出手点的水平距离  mx 之间的函数关系为 2 1 4 2 10 5 y x x    ，由此可知铅球的落地点与运动员 出手点的水平距离是 m． 15．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝15，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B，C 重合），∠ADE＝∠B＝∠α， DE 交 AB 于点 E，且 tan∠α＝ ，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当 CD＝9 时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为 12 或 ；④0＜BE≤5，其中正确的结论是 （填入 正确结论的序号） 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7 分）计算：   1 1 2 3 tan 60 2023 2            17．（7 分）已知二次函数  2 1 1y mx m x m     有最小值为 0，求 m 的值． 18．（7 分）如图，在 ABC 中， 5AB AC= = ，点 P 为BC 边上一动点（不与点 B，C 重合），过点 P 作射 线 PM 交 AC 于点 M， APM B   ， 8BC  ． (1)求证： ABP PCM∽△ △ ； (2)当 2BP  时，求CM 的值． 19．（8 分）已知 ( , 2), (2, 3)A n B  两点是一次函数 y kx b  和反比例函数 m y x  图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式和m 的值； (2)求 AOB 的面积． 20．（8 分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设 计示意图如图②所示，以山脚A 为起点，沿途修建 AB 、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处， 中途设计了一段与 AF 平行的观光平台 BC 为50m．索道 AB 与 AF 的夹角为15，CD与水平线夹角为45， A B、 两处的水平距离 AE 为576m，DF AF ，垂足为点F ．（图中所有点都在同一平面内，点 A E F、 、 在 同一水平线上） (1)求索道 AB 的长（结果精确到1m）； (2)求水平距离 AF 的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15 0.25  ，cos15 0.96  ， tan15 0.26  ， 2 1.41 ） 21．（9 分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图 2，将喷灌架置于坡度为1:5的坡地底部点 O 处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1 米， 当喷射出的水流与喷水头的水平距离为 20 米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9 米． (1)求图 2 中抛物线表达式； (2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度 AB 的长； (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为3.5米，求水流与喷水头的水平距离． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 22．（10 分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，增加盈利，尽 量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 5 元，商场平均每天可多 售出 10 件．求： （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利 1600 元，可能吗？请说明理由． 23．（10 分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来 改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值 L 2ΩR  ）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电 阻 LR R、 之间关系为 L U I R R   ，通过实验得出如下数据： / ΩR … 1 a 3 4 6 … / AI … 4 3 2.4 2 b … (1) a _______，b  _______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数  12 0 2 y x x    ，结合表格信息，探究函数  12 0 2 y x x    的图象 与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数  12 0 2 y x x    的图象； ②随着自变量 x 的不断增大，函数值 y 的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 0x  时， 12 3 6 2 2 x x     的解集为________． 24．（12 分）如图 1，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， 45CAB CDE   ，点 D 是 线段 AB 上一动点，连接 BE ． (1)填空：① BE AD 的值为 ；② DBE 的度数为 ． (2)类比探究：如图 2，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， 60CAB CDE   ，点 D 是 线段 AB 上一动点，连接 BE ．请求出的 BE AD 值及 DBE 的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图 3，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， CAB CDE  ，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE ，P 为DE 中点．若 6AC  ， 8BC  ，在点 D 从 A 点运动到 B 点的过程中，请直接写 出点 P 经过的路径长． 25．（12 分）如图 1，已知二次函数图象与 y 轴交点为 (0,3)C ，其顶点为 (1,2)D ． (1)求二次函数的表达式； (2)直线CD与 x 轴交于M ，现将线段CM 上下移动，若线段CM 与二次函数的图象有交点，求CM 向上和 向下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90，得到抛物 线G ，如图 2 所示，直线 2y x   与G 交于A ， B 两点， P 为G 上位于直线 AB 左侧一点，求 ABP 面积 最大值，及此时点 P 的坐标． 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 6 9 10 9 B B B A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.3 12月 13.2m 14.10 15.②③ 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(7分) 【详解】解：-2+√3tan60 -+2023 =2+√5×V5-2-2023 -2分 =2+3-2-2023 -4分 =-2020- -7分 -2020 17.(7分) 【详解】解：y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值0， :4m(m-=(m-1 =0且m>0, -3分 4m 解得m=1或m=-】 (舍去). -5分 经检验：m=1是该方程的解. …6分 即m的值为1. -7分 18.(7分) 【详解】(1)证明：：AB=AC, LB=∠C -1分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 :∠APM=∠B, ·∠BAP=180°-∠B-∠APB=I80°-∠APM-∠APB=∠CPM,--- -2分 :△ABPn△PCM.- 3分 (2)解：“AB=AC=5,BC=8,BP=2, CP=6. -4分 :△ABPn△PCM, AB BP 5分 PC CM 52 -6分 6 CM :CM=2 -7分 19.(8分) 【详解】(1)解：由题意可得：点B2,-3)在反比例函数y=”图象上， ,.m=-6, -1分 一反比例函数的解析式为y=-6, -一2分 将4n,2)代入y=-6,得：=3，即4-3,2)， 一次函数y=+b图象经过A(-3,2),B(2,-3), 「-3k+b=2 2k+b=-3 k=-1 解得： 3分 b=-1 .一次函数的解析式为y=一x-1: -4分 (2)解：设一次函数y=-x-1的图象与x轴交于C点， 当y=0时，x=-1, ∴.点C(-1,0),-- --6分 .0C=1, 一-7分 六5.aw=S0e+S.e= 2*1x2+ 1x3=5 -8分 2 20.(8分) ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 【详解】(1)解：：A、B两处的水平距离AE为576m,索道AB与AF的夹角为15°， -2分 ..AB=- AE576 ≈600m；- -4分 s15°0.96 (2)解：过点C作水平线CG交DF于点G, ,AB、CD两段长度相等，CD与水平线夹角为45°， CD=60m CG=CDcos45600x 2s600×141=423m,- -6分 2 2 .AF=AE+BC+CG=576+50+423=1049m:- -8分 D BCX45 --G 15° A E 图② 21.(9分) 【详解】(1)“抛物线的顶点坐标为(20,9)，且过点(0,1)， 设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+9, -1分 ∴.1=a0-20)2+9, 1 解得a=- 一-一-2分 50 做箱物线的解折式为y=动x-2刘+9现y=高2+ x+1,- -3分 50 (2)设铅直高度AB与水平面的交点为N, 限据坡比为1：5，符八=} ON5,0N=20, -4分 解得BW=4, -5分 B 坡地 51015N202530 AB=AN-BN=9-4=5(米). 答：铅直高度AB为5米. -6分 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 (3)设点P为地物线上的一点，且喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为PM=3.5米且PM与水平面的交 点为G, 设Gn,0,则0G=n, 坡比为1：5， 61 05 1 解得MG=三n, 5 1 Pn写n+35 -7分 :点P在抛物线y= 50x-202+9上， .n+3.5= 1 (n-20)2+9, -8分 50 B 坡地 M 5 10G15202530 整理，得n2-30n+125=0, 解得m1=5,m2=25, 答：水流与喷水头的水平距离为5米或25米 -9分 22.(10分) 【详解】(1)设每件衬衫应降价x元. 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200 -2分 整理，得×2-30x+200=0 解得x1=10,X2=20. --3分 “扩大销售量，减少库存”， .×=10应略去， -4分 .x=20. 答：每件衬衫应降价20元 -5分 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 (2)不可能.理由如下： -6分 令y=(40-x)(20+2x), -7分 当y=1600时，(40-×)(20+2x)=1600 整理得x2-30x+400=0-------8分 ,△=900-4×400<0， 方程无实数根。 -9分 .商场平均每天不可能盈利1600元.一 --10分 23.(10分) 【详解】(1)解：由题意，1=12 R+2 当1=3时，由3=12 得a=2, a+2 当R=6时，b= 12=15 6+2 故答案为：2,1.5：-- (2)解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y=12,x之0的图象如图： x+2 4分 0 2 3 4 5678 ②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y逐渐减小， 故答案为：函数值y逐渐减小；一 一一6分 (3)解：当x=2时，y=- 2×2+6=3,当x=0时，y=6, 函数=2，x≥0)与函数y=-x+6的图象交点坐标为2,3引，(0.6)， x+2 2 在同一平面直角坐标系中面出函数y=- 二x+6的图象，如图， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 12 x+2 :x6 45678 由图知，当x22或x=0时，12 3 x+2 2*6, 即当x20时， 3 x+2≥-2+6的解集为x之2或x=0 故答案为：x22或x=0: --10分 24.(12分) 【详解】(1)①：∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°， ∴.LABC=∠CAB=45°=∠CDE=∠CED, ∴.AC=BC,CD=CE, .∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACD=∠BCE, 在△ACD和aBCE中， AC=BO ∠ACD=∠BCE, CD=CE ∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CAB=LCBE=45°， 故答案为：1： 一一一2分 ②由①得：∠ABC=45°，∠CAB=∠CBE=45°， ∴.∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 故答案为：90； -4分 (2)解：BE=5,∠DBE=90,理由如下： AD ,:LACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°， .LACD=LBCE,∠CED=∠ABC=30°， :BC=3AC, C-5, -5分 AC ∠ACB=∠DCE=90°，LCAB=LCDE=60°， .aACB∽aDCE, --6分 瓷品 同①得：∠ACD=∠BCE, ∴.△ACDm△BCE,- -7分 :.BE-BC=5,∠CBE=∠C4D=60, AD AC .ZDBE ZABC+ZCBE=90;--- -8分 (3)解：同(2)得：△ACDn△BCE, :ZA=Z CBE, ∠ACB=90°， ∴.∠A+∠ABC=90°， ∴.∠CBE+LABC=90°，即LDBE=90°， (D)A D P' (E)B(D) 图3 当点D与A重合时，点E与B重合，AB的中点，记为P: 7 ⊙O原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 当点D与B重合时，点E是AC的延长线与BE的延长线的交点，记为E,如图3所示： 则点P的运动轨迹为P'P",PP"是△ABE"的中位线， .PP=T4E", ∠ACB=LBCE"=90°，LA=LCBE", .△ABCBE"C, .BC AC CEBc, 即86 CE-8 CE”=3 ·AE=AC+CE*=50 .PP"==25 即P点经过的路径长为三 -12分 3 25.(12分) 【详解】(1)解：：顶点D1,2), 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2, -1分 把(0,3)代入得：3=a+2, a=1,-- 一--2分 “y=(x-102+2, 即y=x2-2x+3；-- -3分 (2)解：由点C、D的坐标得，直线CD解析式为y=-x+3, .M3,0), -4分 ①设直线CD向下平移最大距离为m, “平移后的直线解析式为y=-x+3-m, 此时直线与抛物线有一个交点， 把y=-x+3-m代入y=x2-2x+3, 得x2-2x+3=-x+3-m, 一-5分 x2-x+m=0, △=1-4m=0, ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 即：m=4 1 6分 ②设直线CD向上平移最大距离为， 此时C,M对应点为C,M', 则M3,m), 当M'恰在二次函数上时， 32-23+3=m,----- ---7分 .m=6, :向上平移的最大距离为6。 综上，CM向下平移的最大距离为}，向上平移的最大距离为6： -8分 (3)解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为(0,0)， 则函数的解析式为：y=x2, 设F(m,m)为y=x2上一点， F绕0顺时针旋转90°后，对应点为F, B 则△FMO≌△FMO, FM=F'M =m,FN=OM =OM'=m2, F':(m己，-m), 若F在y轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方， 所以G:x=y2, 把y=-x+2代入x=y2, “y2=-y+2, 解得：片=-2，乃=1； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 则A1,1),B(4,-2), 9分 设：P(m2,m), 过点P作PQMx轴交AB于点Q, AB:y=-x+2, Q(2-两，m), PQ=2-m-m2, ·SMr=,PQU,-y) =二(2-m-m2)-3 2 -2m-3 m+3, --10分 22 时，Sm有最大值，5- 当m=一2 11分 此时司 -12分 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 2024-2025学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：九上第二章一元二次方程15%+第四章图形的相似26%+第六章反比例函数17%+九下第一章直角三角形的边角关系13%+第二章二次函数29%。 5．难度系数： 0.69。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知为锐角，且，则 （　　） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（  ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，，若的周长为20，则的周长为（    ） A．5 B．10 C．40 D．80 8．已知二次函数，其中，则它的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，D是等边三角形ΔABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将ΔABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为(    )     A． B． C． D． 10．函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．若是关于的方程的一个解，则的值是 ． 12．如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则 ． 13．如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE＝∠B＝∠α，DE交AB于点E，且tan∠α＝，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD＝9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤5，其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号） 三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算： 17．（7分）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 18．（7分）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 19．（8分）已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式和的值； (2)求的面积． 20．（8分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）      (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 21．（9分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．    (1)求图2中抛物线表达式； (2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长； (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离． 22．（10分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由． 23．（10分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 24．（12分）如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接． (1)填空：①的值为 ；②的度数为 ． (2)类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长． 25．（12分）如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九上第二章一元二次方程15%+第四章图形的相似26%+第六章反比例函数17%+九下第一章直角三角形的边角关系13%+第二章二次函数29%。 5．难度系数： 0.69。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知为锐角，且，则 （　　） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（  ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，，若的周长为20，则的周长为（    ） A．5 B．10 C．40 D．80 8．已知二次函数，其中，则它的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，D是等边三角形ΔABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将ΔABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为(    )     A． B． C． D． 10．函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．若是关于的方程的一个解，则的值是 ． 12．如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则 ． 13．如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE＝∠B＝∠α，DE交AB于点E，且tan∠α＝，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD＝9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤5，其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号） 三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算： 17．（7分）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 18．（7分）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 19．（8分）已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式和的值； (2)求的面积． 20．（8分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）      (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 21．（9分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．    (1)求图2中抛物线表达式； (2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长； (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离． 22．（10分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由． 23．（10分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 24．（12分）如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接． (1)填空：①的值为 ；②的度数为 ． (2)类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长． 25．（12分）如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：九上第二章一元二次方程15%+第四章图形的相似26%+第六章反比例函数17%+九下第一章直角三角形的边角关系13%+第二章二次函数29%。 5．难度系数： 0.69。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知为锐角，且，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故选A． 2．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（  ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 【答案】A 【详解】解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 4．下列函数中，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、由可知，则在每一象限内，随的增大而减小，此选项符合题意； 、由可知，则随的增大而增大，此选项不符合题意； 、由可知抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，此选项不符合题意； 、由可知，则随的增大而增大，此选项不符合题意； 故选：． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标，即， 故选：B． 6．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 7．已知，且，，若的周长为20，则的周长为（    ） A．5 B．10 C．40 D．80 【答案】C 【详解】解：， ∴的周长的周长， 的周长为20， 的周长为40． 故选：C． 8．已知二次函数，其中，则它的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 、异号， 当时，，与轴交点在正半轴，抛物线开口向下，对称轴，在轴右侧， 当时，，与轴交点在负半轴，抛物线开口向上，对称轴，在轴左侧， 综上所述，只有选项符合题意， 故选：． 9．如图，D是等边三角形ΔABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将ΔABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为(    )     A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8， 由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD， ∴∠AED=∠BDF， ∴△AED∽△BDF， ∴， ∴， 故选A． 10．函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图： ①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确； ②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误； ③如图所示：当时，y随x的增大而减小，则正确； ④如图所示：当时，关于x的方程有4个实数根，则正确； 则正确的个数有3个，故选C． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．若是关于的方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【详解】将代入方程中得， ， 解得：， 故答案为：3． 12．如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则 ． 【答案】 【详解】解：∵P是反比例函数y = 图象上一点PA⊥x轴于点A， ∴， 故答案为：. 13．如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ，，， ， ，则窗户的高度为， 故答案为：． 14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m． 【答案】10 【详解】 当时，得： ， 解得：，（舍去） 即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 故答案为：10 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE＝∠B＝∠α，DE交AB于点E，且tan∠α＝，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD＝9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤5，其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号） 【解答】解：①∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAD， ∴△ADE∽△ABD； 故①错误； ②作AG⊥BC于G， ∵∠ADE＝∠B＝α，tan∠α＝， ∴＝， ∴＝， ∴cosα＝， ∵AB＝AC＝15， ∴BG＝12， ∴BC＝24， ∵CD＝9， ∴BD＝15， ∴AC＝BD． ∵∠ADE+∠BDE＝∠C+∠DAC，∠ADE＝∠C＝α， ∴∠EDB＝∠DAC， 在△ACD与△DBE中， ， ∴△ACD≌△DBE（ASA）． 故②正确； ③当∠BED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ABD， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠BED＝90°， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵∠ADE＝∠B＝α且tan∠α＝，AB＝15， ∴＝ ∴BD＝12． 当∠BDE＝90°时，易证△BDE∽△CAD， ∵∠BDE＝90°， ∴∠CAD＝90°， ∵∠C＝α且cosα＝，AC＝15， ∴cosC＝＝， ∴CD＝． ∵BC＝24， ∴BD＝24﹣＝ 即当△BDE为直角三角形时，BD＝12或． 故③正确； ④易证得△BDE∽△CAD，由②可知BC＝24， 设CD＝y，BE＝x， ∴＝， ∴＝， 整理得：y2﹣24y+144＝144﹣15x， 即（y﹣12）2＝144﹣15x， ∴0＜x≤， ∴0＜BE≤． 故④错误． 故正确的结论为：②③． 故答案为：②③． 三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算： 【详解】解： --------------------------------2分 --------------------------------4分 --------------------------------7分 17．（7分）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 【详解】解：∵有最小值0， ∴且，--------------------------------3分 解得或（舍去）．--------------------------------5分 经检验：是该方程的解．--------------------------------6分 即m的值为1．--------------------------------7分 18．（7分）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 【详解】（1）证明：， ．--------------------------------1分 ， ，--------------------------------2分 ．--------------------------------3分 （2）解：，，， ．--------------------------------4分 ， ，--------------------------------5分 ，--------------------------------6分 ．--------------------------------7分 19．（8分）已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式和的值； (2)求的面积． 【详解】（1）解：由题意可得：点在反比例函数图象上， ∴，--------------------------------1分 ∴反比例函数的解析式为，--------------------------------2分 将代入，得：，即， ∵一次函数图象经过， ∴， 解得：，--------------------------------3分 ∴一次函数的解析式为；--------------------------------4分 （2）解：设一次函数的图象与轴交于点， 当时，， ∴点，--------------------------------6分 ∴，--------------------------------7分 ∴．--------------------------------8分 20．（8分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）      (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【详解】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，-------------------2分 ∴；--------------------------------4分 （2）解：过点C作水平线CG交DF于点G, ∵、两段长度相等，与水平线夹角为， ∴，，--------------------------------6分 ∴；--------------------------------8分    21．（9分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．    (1)求图2中抛物线表达式； (2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长； (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离． 【详解】（1）∵ 抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为，--------------------------------1分 ∴， 解得，--------------------------------2分 故抛物线的解析式为或．--------------------------------3分 （2）设铅直高度与水平面的交点为N， 根据坡比为，得，，--------------------------------4分 解得， --------------------------------5分    (米)． 答：铅直高度为5米．--------------------------------6分 （3）设点P为抛物线上的一点，且喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米且与水平面的交点为G， 设，则， ∵坡比为， ∴， 解得， ∴，--------------------------------7分 ∵点P在抛物线上， ∴，--------------------------------8分    整理，得， 解得， 答：水流与喷水头的水平距离为5米或25米．--------------------------------9分 22．（10分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由． 【详解】（1）设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200--------------------------------2分 整理，得x2-30x+200=0 解得x1=10，x2=20． --------------------------------3分 ∵“扩大销售量，减少库存”， ∴x1=10应略去，--------------------------------4分 ∴x=20． 答：每件衬衫应降价20元．--------------------------------5分 （2）不可能．理由如下：--------------------------------6分 令y=（40-x）（20+2x），--------------------------------7分 当y=1600时，（40-x）（20+2x）=1600 整理得x2-30x+400=0--------------------------------8分 ∵△=900-4×400＜0， 方程无实数根．--------------------------------9分 ∴商场平均每天不可能盈利1600元．--------------------------------10分 23．（10分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，；--------------------------------2分 （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：   --------------------------------4分 ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小；--------------------------------6分 （3）解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，    由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或．--------------------------------10分 24．（12分）如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接． (1)填空：①的值为 ；②的度数为 ． (2)类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长． 【详解】（1）①∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：1；--------------------------------2分 ②由①得：，， ∴， 故答案为：90°；--------------------------------4分 （2）解：，，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴，--------------------------------5分 ∵，， ∴，--------------------------------6分 ∴， 同①得：， ∴，--------------------------------7分 ∴，， ∴；--------------------------------8分 （3）解：同（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 当点D与A重合时，点E与B重合，的中点，记为； 当点D与B重合时，点E是的延长线与的延长线的交点，记为，如图3所示： 则点P的运动轨迹为，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即P点经过的路径长为．--------------------------------12分 25．（12分）如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标． 【详解】（1）解：顶点， 设二次函数的解析式为，--------------------------------1分 把代入得：， ，--------------------------------2分 ， 即；--------------------------------3分 （2）解：由点、的坐标得，直线解析式为， ，--------------------------------4分 ①设直线向下平移最大距离为， 平移后的直线解析式为， 此时直线与抛物线有一个交点， 把 代入， 得，--------------------------------5分 ， △， 即：．--------------------------------6分 ②设直线向上平移最大距离为， 此时，对应点为，， 则， 当恰在二次函数上时， ，--------------------------------7分 ， 向上平移的最大距离为6． 综上，向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6；--------------------------------8分 （3）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为， 则函数的解析式为：， 设 为 上一点， 绕顺时针旋转 后，对应点为， 则， 则，， ， 若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方， 所以， 把 代入， ， 解得：，； 则，，--------------------------------9分 设：， 过点作轴交于点， ， ， ， ，--------------------------------10分 当 时，有最大值，，--------------------------------11分 此时．--------------------------------12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九上第二章一元二次方程 15%+第四章图形的相似 26%+第六章反比例函数 17%+九下 第一章直角三角形的边角关系 13%+第二章二次函数 29%。 5．难度系数： 0.69。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．已知  为锐角，且 1 sin 2   ，则   （ ） A．30 B．45 C．60 D．90 2．将一元二次方程 2 8 5 0x x   化成 2( )x a b  （a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（ ） A． 4 ，21 B． 4 ，11 C．4，21 D． 8 ，69 3．抛物线 22( 9) 3y x   的顶点坐标是（ ） A． (9, 3) B． ( 9, 3)  C． (9,3) D． ( 9,3) 4．下列函数中， y 随 x 的增大而减小的是（ ） A． 3 ( 0)y x x   B． 3y x  C． 22 ( 0)y x x   D． 1 4 y x 5．如图，在平面直角坐标系中， AOB 与 COD△ 是以原点为位似中心的位似图形，若 3AC OA ，点 B 的 坐标为 (1,3)，则点 D 的坐标为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． (2,6) B． ( 2, 6)  C． (3,9) D． ( 3, 9)  6．据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020 年和 2022 年全国居民人均可 支配收入分别为 3.2 万元和 3.7 万元．设 2020 年至 2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x， 依题意可列方程为（ ） A． 23.2(1 ) 3.7x  B． 23.2(1 ) 3.7x  C． 23.7(1 ) 3.2x  D． 23.7(1 ) 3.2x  7．已知 ABC DEF∽△ △ ，且 3AB  ， 6DE  ，若 ABC 的周长为 20，则 DEF 的周长为（ ） A．5 B．10 C．40 D．80 8．已知二次函数 2y ax 2x c   ，其中 0ac  ，则它的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．如图，D 是等边三角形 ΔABC 边上的点，AD＝3，BD＝5，现将 ΔABC 折叠，使点 C 与点 D 重合，折痕 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 为 EF，且点 E 点 F 分别在边 AC 和 BC 上，则 CE CF 的值为( ) A． 11 13 B． 3 5 C． 4 5 D． 8 9 10．函数 2 4 2y x x   的自变量 x 的取值范围为全体实数，其中 0x  部分的图象如图所示，对于此函数有 下列结论： ①函数图象关于 y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当 < 2x  时，y 随 x 的增大而减小； ④当 6 2a    时，关于 x 的方程 2 4 2x x a   有 4 个实数根； 其中正确的结论个数是．（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11．若 2x  是关于 x 的方程 2 2 0x x m   的一个解，则m 的值是 ． 12．如图，P 是反比例函数 y = 3 x 图象上一点，PA⊥ x 轴于点 A，则 PAOS  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 13．如图， AB 表示一个窗户，窗户的下端到地面距离 0.5mBC  ， AM 和BN 表示射入室内的光线．若某 一时刻BC 在地面的影长 0.4mCN  ， AC 在地面的影长 2mCM  ，则窗户的高度为 ． 14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度  my 和 运动员出手点的水平距离  mx 之间的函数关系为 2 1 4 2 10 5 y x x    ，由此可知铅球的落地点与运动员出手 点的水平距离是 m． 15．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝15，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B，C 重合），∠ADE＝∠B＝∠α， DE 交 AB 于点 E，且 tan∠α＝ ，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当 CD＝9 时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为 12 或 ；④0＜BE≤5，其中正确的结论是 （填入 正确结论的序号） 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7 分）计算：   1 1 2 3 tan 60 2023 2            原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 17．（7 分）已知二次函数  2 1 1y mx m x m     有最小值为 0，求 m 的值． 18．（7 分）如图，在 ABC 中， 5AB AC= = ，点 P 为BC 边上一动点（不与点 B，C 重合），过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M， APM B   ， 8BC  ． (1)求证： ABP PCM∽△ △ ； (2)当 2BP  时，求CM 的值． 19．（8 分）已知 ( , 2), (2, 3)A n B  两点是一次函数 y kx b  和反比例函数 m y x  图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式和m 的值； (2)求 AOB 的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 20．（8 分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设 计示意图如图②所示，以山脚A 为起点，沿途修建 AB 、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处， 中途设计了一段与 AF 平行的观光平台BC 为50m．索道 AB 与 AF 的夹角为15，CD与水平线夹角为45， A B、 两处的水平距离 AE 为576m，DF AF ，垂足为点F ．（图中所有点都在同一平面内，点 A E F、 、 在 同一水平线上） (1)求索道 AB 的长（结果精确到1m）； (2)求水平距离 AF 的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15 0.25  ， cos15 0.96  ， tan15 0.26  ， 2 1.41 ） 21．（9 分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图 2，将喷灌架置于坡度为1:5的坡地底部点 O 处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1 米，当 喷射出的水流与喷水头的水平距离为 20 米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9 米． (1)求图 2 中抛物线表达式； (2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度 AB 的长； (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为3.5米，求水流与喷水头的水平距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 22．（10 分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，增加盈利，尽量 减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 5 元，商场平均每天可多售 出 10 件．求： （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利 1600 元，可能吗？请说明理由． 23．（10 分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来 改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值 L 2ΩR  ）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电 阻 LR R、 之间关系为 L U I R R   ，通过实验得出如下数据： / ΩR … 1 a 3 4 6 … / AI … 4 3 2.4 2 b … 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 (1) a _______，b  _______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数  12 0 2 y x x    ，结合表格信息，探究函数  12 0 2 y x x    的图象 与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数  12 0 2 y x x    的图象； ②随着自变量 x 的不断增大，函数值 y 的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 0x  时， 12 3 6 2 2 x x     的解集为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 24．（12 分）如图 1，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， 45CAB CDE   ，点 D 是线 段 AB 上一动点，连接 BE ． (1)填空：① BE AD 的值为 ；② DBE 的度数为 ． (2)类比探究：如图 2，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， 60CAB CDE   ，点 D 是 线段 AB 上一动点，连接 BE ．请求出的 BE AD 值及 DBE 的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图 3，在Rt ABC△ 和Rt CDE△ 中， 90ACB DCE    ， CAB CDE  ，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE ，P 为DE 中点．若 6AC  ， 8BC  ，在点 D 从 A 点运动到 B 点的过程中，请直接写出 点 P 经过的路径长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 25．（12 分）如图 1，已知二次函数图象与 y 轴交点为 (0,3)C ，其顶点为 (1, 2)D ． (1)求二次函数的表达式； (2)直线CD与 x 轴交于M ，现将线段CM 上下移动，若线段CM 与二次函数的图象有交点，求CM 向上和向 下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90，得到抛物 线G ，如图 2 所示，直线 2y x   与G 交于A ， B 两点，P 为G 上位于直线 AB 左侧一点，求 ABP 面积 最大值，及此时点P 的坐标．