第18讲 一次函数 （4个知识点+4种题型+分层练习）- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第18讲 一次函数 （4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点4．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 题型强化 题型一．一次函数的定义 1．（2023秋•邗江区校级月考）下列关于的函数中，是一次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•邗江区校级月考）已知函数是一次函数，则的取值范围为 　　． 3．（2021秋•灌云县校级月考）红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量（吨与烧煤天数（天之间的函数表达式，指出是不是的一次函数，并求自变量的取值范围． 题型二．正比例函数的定义 4．（2023秋•亭湖区校级期中）若关于的函数是正比例函数，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D． 5．（2023秋•盐都区校级期中）若是正比例函数，则的值为 　　． 6．（2023秋•溧阳市期末）已知：是的函数，函数关系式为． （1）当为何值时，该函数是一次函数？ （2）当、为何值时，该函数是正比例函数？ （3）当、为何值时，该函数经过第一、二、三象限？ 题型三．一次函数的性质 7．（2023秋•亭湖区校级期中）已知，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 8．（2023秋•灌云县校级期中）已知一次函数为常数，且的图象过，，，点，若，则　　．（用或填空） 9．（宜兴市校级月考）已知，直线与轴、轴分别交于点、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，．且点为坐标系中的一个动点． （1）求三角形的面积； （2）请说明不论取任何实数，三角形的面积是一个常数； （3）要使得和的面积相等，求实数的值． 题型四．待定系数法求一次函数解析式 10．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为　　 A．3 B． C．3或 D．的值不确定 11．（2023秋•沭阳县校级月考）一次函数，当时，则　　． 12．（2023秋•兴化市月考）已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求的值． （3）试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 分层练习 一、单选题 1．一次函数中，b的值是（    ） A．3 B．2 C． D． 2．下列各点中，在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 3．直线的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 4．若函数是正比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D．任意实数 5．若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（       ） A．正多边形一个外角的大小与它的边数成正比例 B．正多边形一个外角的大小与它的边数成反比例 C．正多边形一个内角的大小与它的边数成正比例 D．正多边形一个内角的大小与它的边数成反比例 7．已知正比例函数的图象经过点，如果和在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．下列各关系中，成正比例关系的是（    ） A．被除数一定，除数和商 B．除数一定，被除数和商 C．正方形的面积和它的边长 D．一个人的体重和他的年龄 9．点、都在直线上，则、的关系为（    ） A． B． C． D． 10．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图①；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图②；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于轴对称，且点P的坐标为（0,2），PM的延长线与轴交于点N（n，0），如图③，当m=时，n的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知函数y＝2xm﹣1+1是一次函数，则m＝ ． 12．已知点是直线上一点，则的值是 ． 13．若正比例函数的图像过点A(3，－5)，则该正比例函数的表达式为 ． 14．已知点P（3，5）在一次函数y＝x+b的图象上，则b＝ ． 15．若是正比例函数，则m的值为 ． 16．当k＝ 时，函数y＝（k+3）是关于x的一次函数． 17．若函数是关于x的正比例函数，则m的值为 ． 18．平面直角坐标系中，点，在直线上，则的值为 ． 三、解答题 19．已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 20．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 21．已知：y﹣1与x+2成正比例，且当x=2时，y=3． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）计算当y=4时，x的值． 22．习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩，收获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元． (1)请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少； (2)今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加千克和千克．由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去年的基础上每千克上涨元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降元．若甲、乙两个品种全部售出后总收入为元，请写出与的关系式；若今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，水的值． 23．如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，若，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，若点是边的中点，是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）. ①在点滑动过程中，是否一定成立？请说明理由； ②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在直线上，求此时点的坐标． 24．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 25．商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量（千克）与售价（元）之间的关系如下表. 销量/千克 售价/元 1 1+0.3+0.05 2 2+0.6+0.05 3 3+0.9+0.05 4 4+1.2+0.05 ... ... （1）写出用含的式子表示售价的计算公式。 （2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？ （3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？ 26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是__________； (2)下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 4 3 2 0 1 2 3 4 … 的值为___________； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；    (4)写出此函数的两条性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 一次函数 （4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点4．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 题型强化 题型一．一次函数的定义 1．（2023秋•邗江区校级月考）下列关于的函数中，是一次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 【解答】解：、自变量次数不为1，故不是一次函数，不符合题意； 、不符合一次函数的一般形式，不符合题意； 、自变量次数不为1，故不是一次函数，不符合题意； 、符合一次函数的一般形式，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数的定义．一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数． 2．（2023秋•邗江区校级月考）已知函数是一次函数，则的取值范围为 　　． 【分析】根据即为一次函数，代入数值进行计算，即可作答． 【解答】解：函数是一次函数， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟知一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 3．（2021秋•灌云县校级月考）红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量（吨与烧煤天数（天之间的函数表达式，指出是不是的一次函数，并求自变量的取值范围． 【分析】根据燃烧的速度乘以燃烧的时间，可得燃烧的煤的吨数，根据总质量减去燃烧的质量，可得函数解析式，结合一次函数的定义来判定是否为一次函数，根据求的取值范围． 【解答】解：依题意得：，即，该函数属于一次函数． 因为， 所以， 解得， 又因为， 所以的取值范围为． 【点评】本题考查了一次函数的定义．得到剩余煤的质量的关系式是解决本题的关键． 题型二．正比例函数的定义 4．（2023秋•亭湖区校级期中）若关于的函数是正比例函数，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D． 【分析】根据正比例函数的定义：形如为常数且，可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：函数是关于的正比例函数， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 5．（2023秋•盐都区校级期中）若是正比例函数，则的值为 　　． 【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解． 【解答】解：根据题意得：且， 解得：， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义以及解一元一次不等式，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． 6．（2023秋•溧阳市期末）已知：是的函数，函数关系式为． （1）当为何值时，该函数是一次函数？ （2）当、为何值时，该函数是正比例函数？ （3）当、为何值时，该函数经过第一、二、三象限？ 【分析】（1）根据一次函数的定义解答即可； （2）根据正比例函数的定义解答即可； （3）根据一次函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：（1）该函数是一次函数， ， ； （2）该函数是正比例函数， 且， 且； （3）该函数经过第一、二、三象限， ，， 且． 【点评】本题考查的是一次函数及正比例函数的定义，熟记定义是解题的关键． 题型三．一次函数的性质 7．（2023秋•亭湖区校级期中）已知，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，可得出． 【解答】解：， 随的增大而增大， 又，是一次函数的图象上的两个点，且， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 8．（2023秋•灌云县校级期中）已知一次函数为常数，且的图象过，，，点，若，则　　．（用或填空） 【分析】由，可得出，进而可得出，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，再结合，即可得出． 【解答】解：为常数，且， ， ， 随的增大而增大． 又一次函数为常数，且的图象过，，，点，且， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 9．（宜兴市校级月考）已知，直线与轴、轴分别交于点、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，．且点为坐标系中的一个动点． （1）求三角形的面积； （2）请说明不论取任何实数，三角形的面积是一个常数； （3）要使得和的面积相等，求实数的值． 【分析】（1）先求出、两点的坐标，利用勾股定理得到的长，等腰的面积为平方的一半； （2）三角形的底边，边上的高为点的横坐标1，所以它的面积是一个常数1； （3）实际上给定的面积，求点坐标．利用面积和差求的面积，注意要分类讨论． 【解答】解：（1）令中，得点坐标为； 令，得点坐标为． 由勾股定理可得， 所以； （2）不论取任何实数，三角形都可以以为底，点到轴的距离1为高， 所以为常数； （3）当点在第四象限时， 因为，， 所以， 即，解得， 当点在第一象限时， ，，， ， 即， 用类似的方法可解得． 【点评】掌握一次函数的性质，会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；会用坐标表示线段；掌握用面积的和差表示不规则图形的面积． 题型四．待定系数法求一次函数解析式 10．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为　　 A．3 B． C．3或 D．的值不确定 【分析】由一次函数的性质，分和时两种情况讨论求解． 【解答】解：当时，随的增大而增大，即一次函数为增函数， 当时，，当时，， 代入一次函数解析式得：解得； 当时，随的增大而减小，即一次函数为减函数， 当时，，当时，， 代入一次函数解析式得：， 解得． 故选：． 【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质要分情况讨论． 11．（2023秋•沭阳县校级月考）一次函数，当时，则　2或　． 【分析】根据一次函数的增减性分以下两种情况讨论，①时，随的增大而增大，②时，随的增大而减小，根据增减性得到一次函数图象所过点的情况，将点代入中，求出，的值，即可解题． 【解答】解：一次函数，当时， 下面两种情况讨论： ①当时，随的增大而增大， 即时，，时，， ，解得， ； ①当时，随的增大而减小， 即时，，时，， ，解得， ； 即或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握以上知识解题的关键． 12．（2023秋•兴化市月考）已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求的值． （3）试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【分析】（1）设，将、值代入求出值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【解答】解：（1）根据题意，设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数关系式为； （2）将点代入得：， 解得：； （3）当时，， 则点不在此函数的图象上． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． 分层练习 一、单选题 1．一次函数中，b的值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义即可求解． 【详解】解：一次函数中，b的值是． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握定义是解题的关键．一般地，形如y=kx+b的函数（k，b为常数，x的次数为1，且k≠0），叫做一次函数． 2．下列各点中，在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】代入各选项中点的横坐标求出纵坐标，比较后即可得出结论． 【详解】解：A．当x=2时，y=2×2-5=-1， ∴点（2，-1）在直线y=2x-5上，选项A符合题意； B．当x=-2时，y=2×（-2）-5=-9≠-1， ∴点（-2，-1）不在直线y=2x-5上，选项B不符合题意； C．当x=-1时，y=2×（-1）-5=-7≠2， ∴点（-1，2）不在直线y=2x-5上，选项C不符合题意； D．当x=1时，y=2×1-5=﹣3≠2， ∴点（1，2）不在直线y=2x-5上，选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 3．直线的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点坐标直线中，看是否满足，即可判断函数图象经过的点． 【详解】A．3≠7+4，所以函数图象不经过； B．0≠7+4，所以函数图象不经过； C．7=3+4，所以函数图象经过； D．0≠3+4，所以函数图象不经过； 故答案为：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象上点的坐标，经过该图象的点可满足图象的函数关系式． 4．若函数是正比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的定义，一次项系数不等于0，常数项等于0列式计算即可得解． 【详解】∵   函数是正比例函数， ∴   且．解得． 故选． 【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数，k≠0，自变量次数为1，解决本题的关键是要熟练掌握正比例函数的定义. 5．若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的知识，解题的关键是掌握正比例函数的定义，，即可． 【详解】∵函数是正比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：B． 6．下列说法中正确的是（       ） A．正多边形一个外角的大小与它的边数成正比例 B．正多边形一个外角的大小与它的边数成反比例 C．正多边形一个内角的大小与它的边数成正比例 D．正多边形一个内角的大小与它的边数成反比例 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】正n边形一个外角等于，正多边形一个外角的大小与它的边数成反比例；正n边形一个内角等于（n-2）•180°=180°n-360°，正多边形一个内角的大小与它的边数成一次函数，据此判断即可． 【详解】设正多边形为正n边形， 一个外角等于，正多边形一个外角的大小与它的边数成反比例； 一个内角等于（n-2）•180°=180°n-360°， 正多边形一个内角的大小与它的边数成一次函数. 故选B 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角以及正比例函数与反比例函数、一次函数的定义．解题关键点：熟记相关性质. 7．已知正比例函数的图象经过点，如果和在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列一次函数解析式并求值、求一次函数自变量或函数值 【分析】将点（-2，4）代入y=kx，求出k，即可得出函数关系式，然后将两个坐标代入求出字母的值，比较即可． 【详解】因为点（-2，4）在函数y=kx的图象上， 所以， 解得， 所以函数关系式为． 因为点（1，a）和点（-1，b）在该函数图像上， 所以，， 所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数关系式，求函数值等，求出关系式是解题的关键．本题也可以先判断正比例函数图象的性质，再比较即可． 8．下列各关系中，成正比例关系的是（    ） A．被除数一定，除数和商 B．除数一定，被除数和商 C．正方形的面积和它的边长 D．一个人的体重和他的年龄 【答案】B 【分析】两个量成正比例关系就是这两个量的比值一定，据此判断即可. 【详解】解：A、被除数一定，除数和商成反比例关系，本选项不符合题意； B、除数一定，被除数和商成正比例关系，本选项符合题意； C、正方形的面积和它的边长平方成正比例关系，本选项不符合题意； D、一个人的体重和他的年龄不成比例，本选项不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了正比例的意义，两个量是否成正比例就看这两个量的比值是否一定. 9．点、都在直线上，则、的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于直线中，由此即可得到y随x的增大而减小，然后利用A、B两点的横坐标即可得到结论． 【详解】因为<0，y随x的增大而减小，又−5<2，所以,y1>y2.故选D. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征. 10．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图①；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图②；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于轴对称，且点P的坐标为（0,2），PM的延长线与轴交于点N（n，0），如图③，当m=时，n的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：根据根据题意得出得出点M的坐标为（，2－），然后求出直线PM的解析式，从而得出点N的坐标． 考点：一次函数的性质 二、填空题 11．已知函数y＝2xm﹣1+1是一次函数，则m＝ ． 【答案】2． 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义列出方程即可求出m. 【详解】一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 则得到m﹣1＝1， ∴m＝2， 故答案为2． 【点睛】此题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义求参数是解决此题的关键. 12．已知点是直线上一点，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】将点代入直线解析式即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查求解一次函数的函数值．将点的坐标代入已知的解析式即可求解． 13．若正比例函数的图像过点A(3，－5)，则该正比例函数的表达式为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【详解】试题解析：设正比例函数解析式为y=kx， 把A（3，-5）代入得3k=-5，解得k=-， 所以正比例函数解析式为y=-． 【点睛】设正比例函数解析式为y=kx，然后把A点坐标代入求出k即可．本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 14．已知点P（3，5）在一次函数y＝x+b的图象上，则b＝ ． 【答案】2 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】由题意可直接把点P的坐标代入一次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：把点P（3，5）代入一次函数y＝x+b得： ， 解得：； 故答案为2． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 15．若是正比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、绝对值方程 【分析】此题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义得到且，即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数为， ，且， 解得：， 故答案为：． 16．当k＝ 时，函数y＝（k+3）是关于x的一次函数． 【答案】3． 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义得到k2-8=1，且k+3≠0． 【详解】∵函数y=（k+3）xk2−8-5是关于x的一次函数， ∴k2-8=1，且k+3≠0． 解得 k=3． 故答案是：3． 【点睛】此题参考一次函数的定义．解题关键在于掌握一次函数的自变量x的系数不为零． 17．若函数是关于x的正比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、利用平方根解方程 【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，利用平方根解方程，熟知正比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做正比例函数． 18．平面直角坐标系中，点，在直线上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：点，在直线上， ∴，，则，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，用含m的代数式表示出的值是解题的关键． 三、解答题 19．已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）由与成正比例，设 再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入求解函数值即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设 当时，． ∴ 解得： ∴函数关系式为： 即． （2）当时， ∴ 【点睛】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数值，掌握“待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键． 20．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1) (2)1400元 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 21．已知：y﹣1与x+2成正比例，且当x=2时，y=3． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）计算当y=4时，x的值． 【答案】（1）y=x+2；（2）x=4． 【知识点】正比例函数的定义 【详解】分析：（1）根据题意设y﹣1=k（x+2），将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x关系式；     （2）将y=4代入y与x关系式求出x的值即可． 详解：（1）根据题意得：y﹣1=k（x+2），将x=2，y=3代入得：3﹣1=4k，即k=，则y﹣1=（x+2），即y=x+2；     （2）将y=4代入y=x+2得：x=4． 点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 22．习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩，收获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元． (1)请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少； (2)今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加千克和千克．由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去年的基础上每千克上涨元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降元．若甲、乙两个品种全部售出后总收入为元，请写出与的关系式；若今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，水的值． 【答案】(1)甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克 (2)的值为5 【知识点】列一次函数解析式并求值、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是千克，乙水稻品种去年平均亩产量是千克，根据：甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元，即可求解； （2）根据总收入等于甲乙两个品种的收入之和即可列出与的关系式，进而得到关于x的方程，解方程即得答案． 【详解】（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是千克，乙水稻品种去年平均亩产量是千克，根据题意得 ， 解得． 答：甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克． （2）根据题意得： ， 整理得， ∴y与x的关系式． ∵今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，可得 ， 解得． 答：的值为5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列出实际问题中的函数关系式，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 23．如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，若，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，若点是边的中点，是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）. ①在点滑动过程中，是否一定成立？请说明理由； ②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在直线上，求此时点的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2) AE=EF一定成立，理由见解析；②F点坐标为 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、根据正方形的性质与判定证明 【分析】(1)利用ASA证明△AME≌△ECF，可得结论； (2) ①在AB上截取AM=EC，连接ME，同（1）证明△AME≌△ECF，可得AE=EF； ②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出FG、FH，由角平分线的性质得到关于a的方程，求得a的值，即可得出F的坐标. 【详解】(1)证明：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∵M、E为中点， ∴AM=EC=BE=BM， ∴∠BME＝45°， ∵CF平分∠DCB， ∴∠AME=∠ECF=135°， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF (ASA) ， ∴AE=EF； (2)解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立. 证明：如图2中，在AB上截取AM=EC，连接ME， ∵AB=BC， ∴BM=BE， ∴△MBE是等腰直角三角形， ∴∠AME=180°-45°=135°， 又∵CF是角平分线， ∴∠ECF=90°+45°=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF (ASA) ， ∴AE=EF； ②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3， 则FG=CH=a-1，FH=-2a+6， ∵CF为角平分线， ∴FH=FG， ∴a-1=-2a+6， 解得， 当时，， ∴F点坐标为. 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质及方程思想等知识，能够添加正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键. 24．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【知识点】列一次函数解析式并求值、用一元一次不等式解决实际问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 25．商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量（千克）与售价（元）之间的关系如下表. 销量/千克 售价/元 1 1+0.3+0.05 2 2+0.6+0.05 3 3+0.9+0.05 4 4+1.2+0.05 ... ... （1）写出用含的式子表示售价的计算公式。 （2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？ （3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？ 【答案】（1）；（2）售价为13.05元；（3）商品的销售量为20千克. 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）从图中的x与y的关系：当x=1时，y=1+0.3+0.05，当x=2时，y=2+0.3×2+0.05，……，可以看出y=x+0.3x+0.05=1.3x+0.05； （2）把x=10代入（1）中关系式即可求出y的值； （3）把y=26.05代入（1）中关系式，可以得到x的值． 【详解】解：（1）； （2）把代入可得，， 答：售价为13.05元； （3）把代入， 可得：， 解得：， 答：商品的销售量为20千克． 【点睛】考查数字的变化规律，观察表格得到销量的每一项与相应售价之间的关系是解决本题的关键． 26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是__________； (2)下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 4 3 2 0 1 2 3 4 … 的值为___________； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；    (4)写出此函数的两条性质． 【答案】(1)任意实数 (2)1 (3)见解析 (4)①函数有最小值为0；②当时，随的增大而增大；③图象关于过点且垂直于轴的直线对称（答案不唯一） 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）解：当时，， 故答案为：1； （3）解：描点、连线，画出函数的图象如图：    （4）解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而增大； ③图象关于过点且垂直于轴的直线对称.． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$