13.4最短路径问题 合作教学案 2024--2025学年人教版八年级数学上册

13.最短路径问题  合作教学案

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学习目标：

1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线的距离最短。（重点）

2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。（难点）

一、导入

1.最短路径的基本原理：

①两点之间，线段       。如图    号线最短。

图①             图②             图③

②点到直线的距离          。如图，        最短。

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离         。如图，MN是垂直平分线，CA=        。

 

二、导学

问题1.两点一线型（两点在直线的异侧）：

问题：如图1，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。

图1 图2

作法：如图2，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。

结论：PA＋PB最小

原理：两点之间，线段最短。

问题2.两点一线型（两点在直线的同侧）：

问题：如图1，直线两同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。

 

 

作法：如图2，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。

结论：MP＋MQ最小。

原理证明：∵P与P’关于直线l对称

    ∴直线l是PP’的            

    ∴MP        MP’

    ∴MP＋MQ＝        ＋MQ＝         。

     ∴MP＋MQ此时有最小值，为         的长度                              

尝试练习

1．如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（  ）

A．点C处             B．线段之间

C．线段的中点      D．线段之间

2.如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　）

A．    B．

C．    D．

三、应用知识举例与提升

例1.如图，在正方形网格中有