第16讲 三角恒等变换及其拓展（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第16讲 三角恒等变换及其拓展 【人教A版2019】 模块一 两角和与差的三角函数公式 1．两角差的余弦公式 对于任意角，有. 此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【题型1 利用和（差）角公式化简、求值】 【例1.1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，，则（   ） A． B．2 C． D． 【例1.2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2024·北京·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用】 【例2.1】（23-24高一下·北京东城·期末）的值为（    ） A． B． C． D．1 【例2.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 模块二 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型3 二倍角公式】 【例3.1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【例3.2】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式3.2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，且，都是锐角， (1)求的值； (2)求的值. 模块三 三角恒等变换思想 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①=(+)-； ②=-(-)； ③=[(+)+(-)]； ④= [(+)-(-)]； ⑤=(-)-(-)； ⑥-=(-)+(-). (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换. (3)辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型4 辅助角公式】 【例4.1】（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）若锐角满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【例4.2】（23-24高三上·河南·期中）已知函数的图象关于直线对称，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【变式4.1】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【变式4.2】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时的值. 【题型5 给值求值型问题】 【例5.1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（   ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知，． (1)求； (2)已知，．求． 【变式5.2】（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若且，求的值． 【题型6 给值求角型问题】 【例6.1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6.1】（23-24高一上·天津南开·期末）已知，且 (1)求的值； (2)求的值． 【变式6.2】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【题型7 三角恒等式的证明】 【例7.1】（23-24高一下·全国·课后作业）求证： (1)； (2). 【例7.2】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【变式7.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明下列三角恒等式： (1)； (2). 【变式7.2】（23-24高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型8 三角综合问题】 【例8.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值. 【例8.2】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，，求的值. 【变式8.1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知函数的最小正周期是． (1)求的解析式，并求的单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求的取值范围． 【变式8.2】（24-25高三上·重庆·期中）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·一模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳·一模）已知为第一象限角，且，则（   ） A．9 B．3 C． D． 6．（23-24高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 7．（23-24高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两零点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最大值为 D．，，使得 11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在单调递减 D．在区间有4048个零点 三、填空题 12．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知为锐角且，则 . 13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知，且，则 ． 14．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数 ，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（2025高三上·全国·专题练习）化简求值 (1)； (2). 16．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知 (1)化简； (2)若，求的值. 17．（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 18．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 19．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，求的值域； (3)若且，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 三角恒等变换及其拓展 【人教A版2019】 模块一 两角和与差的三角函数公式 1．两角差的余弦公式 对于任意角，有. 此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【题型1 利用和（差）角公式化简、求值】 【例1.1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，，则（   ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出即可得解. 【解答过程】由，得，而， 因此，所以. 故选：C. 【例1.2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【解答过程】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 【变式1.1】（2024·北京·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【解答过程】 ，即， ，即， ， ，解得， ， . 故选：D. 【变式1.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切的差角公式可得，即可结合角的范围，根据同角关系求解. 【解答过程】因为，， 所以，故， 又是第一象限角，为第四象限角， 故， 因此， 因此，由于， 则，故. 故选：C. 【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用】 【例2.1】（23-24高一下·北京东城·期末）的值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】逆用和、差角的余弦公式化简、求值. 【解答过程】 故选：B. 【例2.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将已知两式平方相加，即可求出，由差角公式即可得出结果. 【解答过程】将平方得，，① 将平方得，，② ①＋②得， 所以， 即. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意利用诱导公式结合两角和差公式运算求解. 【解答过程】由题意可得 ， 所以. 故选：A. 【变式2.2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先证明，再逆向使用正切差公式和余弦差公式推出. 【解答过程】假设，则， 则， 矛盾，所以. 由已知有， 故，而，故，即. 故选：A. 模块二 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型3 二倍角公式】 【例3.1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题思路】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解. 【解答过程】. 故选：D. 【例3.2】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由平方可得，利用倍角公式和降幂公式运算求解. 【解答过程】因为，则，可得， 所以. 故选：D. 【变式3.1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）直接利用三角函数的二倍角公式求出结果． 【解答过程】（1）； （2）； （3）． 【变式3.2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，且，都是锐角， (1)求的值； (2)求的值. 【解题思路】（1）利用二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得结论. （2）利用二倍角公式得，再利用两角和的正切函数公式得，最后利用三角函数的求值计算得结论． 【解答过程】（1）由，得. （2）由，得，而， 因此， 又，为锐角，且，则， 因此， 所以的值是. 模块三 三角恒等变换思想 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①=(+)-； ②=-(-)； ③=[(+)+(-)]； ④= [(+)-(-)]； ⑤=(-)-(-)； ⑥-=(-)+(-). (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换. (3)辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型4 辅助角公式】 【例4.1】（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）若锐角满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】首先根据利用辅助角公式得到，再利用角的变换 ，结合诱导公式，以及二倍角公式，即可求解. 【解答过程】，则， 因为，，则 ， . 故选：B. 【例4.2】（23-24高三上·河南·期中）已知函数的图象关于直线对称，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【解题思路】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的对称性建立等式，进而可以求解． 【解答过程】函数 ， 因为函数图象关于直线对称，则，， 解得，， 则，解得． 故选：B． 【变式4.1】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【解题思路】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的图象性质即可求得其单调递减区间； （2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域. 【解答过程】（1） , 由，可得， 即函数的单调递减区间为. （2）当，，则， 故函数的值域为. 【变式4.2】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时的值. 【解题思路】（1）利用辅助角公式先化简函数式，再利用三角函数的性质求单调区间即可； （2）结合（1）的结论，利用整体代换思想及三角函数的图象与性质计算最值即可. 【解答过程】（1） ， 令，， 得，， 所以的单调递增区间为，； （2）因为，所以， 所以当，即时， 有， 当时，即时， 有. 【题型5 给值求值型问题】 【例5.1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】关键利用拆角求解，即，，然后利用和差角公式求值即可. 【解答过程】由， 结合，可得， 所以有， 故选：C. 【例5.2】（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得，进而得，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以 ，即， 所以由得， 所以. 故选：A. 【变式5.1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知，． (1)求； (2)已知，．求． 【解题思路】（1）利用两角差的正弦公式，即可求解； （2）利用角的变换，以及二倍角余弦公式，即可求解. 【解答过程】（1）因为，且，所以， 所以； （2）由，且，可知， 又因为，所以， 因为，所以； ， ， . 【变式5.2】（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若且，求的值． 【解题思路】（1）由，，可求出，从而可求出，进而利用正切的二倍角公式可求得答案； （2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解； （3）先由已知条件求出，再利用展开代值可求得结果 【解答过程】（1）因为，，则， 所以. （2）由（1）可知：， 所以 . （3）因为，，且，则， 可得， 所以. 【题型6 给值求角型问题】 【例6.1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即 ， 所以，所以． 又，所以． 故选：D. 【例6.2】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【解答过程】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为 所以 则. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高一上·天津南开·期末）已知，且 (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）由同角三角函数的基本关系式求出，然后利用二倍角公式即可求值； （2）先求，再由，运用两角差的余弦公式，注意到的范围，计算得到结果. 【解答过程】（1）由， 得 所以． 于是 （2）因为 所以 所以 因为， 所以,所以. 【变式6.2】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【解题思路】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【解答过程】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 【题型7 三角恒等式的证明】 【例7.1】（23-24高一下·全国·课后作业）求证： (1)； (2). 【解题思路】（1）利用二倍角正余弦公式进行弦化切即可； （2）利用两角和与差的正弦公式和积化和差公式即可证明. 【解答过程】（1）∵左边 右边， ∴原等式成立. （2）∵左边 右边. ∴原等式成立. 【例7.2】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）通过展开左侧的表达式，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角公式证明即可． （2）利用平方差公式以及同角三角函数基本关系式证明即可． （3）利用两角和与差的三角函数化简求解即可． 【解答过程】（1） ，等式成立． （2） ，所以等式成立． （3） ，所以等式成立． 【变式7.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明下列三角恒等式： (1)； (2). 【解题思路】（1）利用正切差角公式及同角三角函数关系进行化简，得到答案； （2）利用二倍角公式，化弦为切，证明出结论. 【解答过程】（1）∵， ∴ ， ∴. （2） . 【变式7.2】（23-24高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证； （2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明； （3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证； （4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证. 【解答过程】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. 【题型8 三角综合问题】 【例8.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值. 【解题思路】（1）利用二倍角公式整理函数的表达式为，然后求出a，利用辅助角公式得，代入周期公式求出周期即可； （2）由（1）知，当时，，结合正弦函数的性质，即可求得的最值. 【解答过程】（1） ， 因为，所以，所以， 所以，所以的最小正周期. （2）当时，， 当，即时，， 当，即时，， 所以的最小值为，最大值为1. 【例8.2】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，，求的值. 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，由的最小值为，列出方程，即可求解； （2）由，可得，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解； （3）由，求得，进而得到，结合正弦的倍角公式，得到，即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数 ， 因为函数的最小值为，可得，解得. （2）解：由（1）知：， 因为，可得， 令和，解得和， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）解：由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则 . 【变式8.1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知函数的最小正周期是． (1)求的解析式，并求的单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）化简函数解析式，根据复合函数单调性的判断方法求出单调递减区间即可； （2）根据题意，分离参数即可求解. 【解答过程】（1）有题意知 ， 由，解得， 所以． 由，得 ，，， 所以单调递减区间为， （2）依题意得， 因为，所以 当时，恒成立， 所以只需，转化为求的最大值与最小值． 当时，为单调减函数， 所以， 从而，，即， 故的取值范围是． 【变式8.2】（24-25高三上·重庆·期中）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 【解题思路】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可； （2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可. 【解答过程】（1） ， 结合正弦函数的图象与性质可得：当， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为； （2）①令，当时，，， 所以，    所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象性质可知，即， 所以. 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·一模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 【解答过程】由可得 ， 故选：C. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦和角公式和求出，求出，利用二倍角公式求出答案. 【解答过程】， ， ， . 故选：C. 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的商关系、两角差的正切公式进行求解即可. 【解答过程】由 由， 于是有， 故选：D. 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得． 【解答过程】因为，， 所以，， 即所以， ， 两式相加得， 所以， 故选：C． 5．（2024·四川绵阳·一模）已知为第一象限角，且，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【解题思路】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出，再结合二倍角公式化简求值，即可得答案. 【解答过程】由题意知为第一象限角，且， 故，解得或（舍去）， 则， 故选：B. 6．（23-24高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【解答过程】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 7．（23-24高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【解答过程】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 8．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两零点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】从函数在上恰有两个零点可得出，又函数图象的一条对称轴是，可得出，进而求得的最大值. 【解答过程】解：由题意可得，函数， 由于，所以； 又由在上恰有两个零点，所以，解得； 又因为函数图象的一条对称轴是， 所以，即 ， 又且，所以当时，， 故选：B． 二、多选题 9．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同角三角函数关系式计算可判断A；根据余弦两角和差的公式计算可判断B，C；根据二倍角公式结合和差公式可判断D . 【解答过程】因为，故，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最大值为 D．，，使得 【解题思路】利用二倍角公式与和差角的三角函数公式化简、分析、计算即可一一判断. 【解答过程】，（*）， 对于A，若，则 ， 化简得，则，故A正确； 对于B，因，由（*）可得， ， ，故B正确； 对于C，若，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，，假设，则， ，又，，则得， 即，该方程无解，故D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在单调递减 D．在区间有4048个零点 【解题思路】借助辅助角公式可得，利用余弦型函数的周期性可得A；利用整体代入法结合余弦型函数的对称性可得B；利用整体代入法结合余弦型函数的单调性可得C；利用整体代入法结合余弦型函数计算可得D. 【解答过程】； 对A：，故是的一个周期，故A正确； 对B：当时，，由的图象关于对称， 故的图象关于对称，故B正确； 对C：当时，，由在上不单调， 故在上不单调，故C错误； 对D：令，解得， 则有，，可得，， 即可取个数，即在区间有4048个零点，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知为锐角且，则 . 【解题思路】根据和差角公式以及二倍角公式化简可得，即可利用辅助角公式求解. 【解答过程】由可得， 由于为锐角，所以，故， 进而可得， 故， 故答案为：. 13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知，且，则 ． 【解题思路】根据给定条件，利用同角公式求出，再利用和差角的余弦公式求出即可. 【解答过程】由，得，， 由，得，， 由，得， 即，则， 因此，所以. 故答案为：. 14．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数 ，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 . 【解题思路】根据已知条件，结合三角变换先对解析式变形，再结合正弦函数的单调性，即可求解． 【解答过程】 ， ，， 因为在区间上是单调函数， 所以，即. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高三上·全国·专题练习）化简求值 (1)； (2). 【解题思路】（1）先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值. （2）通分后利用平方差公式、两角和差的正弦公式化简，最后利用二倍角的正弦公式和诱导公式可求三角函数式的值. 【解答过程】（1） . （2） . 16．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知 (1)化简； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）根据诱导公式化简即可； （2）根据二倍角公式和同角三角函数的关系求解即可. 【解答过程】（1）根据诱导公式可得，. （2）由（1）得， 所以 . 17．（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 18．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）根据已知，可求出，，根据三角函数恒等式可求出，，将变形转化为，根据两角差余弦公式可求解； （2）将转化根据两角和的正弦公式分解，由，求出，将原式化简上下同时除以，即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以，因为， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以 ． （2）由题意知 ， 又，所以，所以， 所以． 19．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，求的值域； (3)若且，求的值. 【解题思路】（1）利用余弦的二倍角公式公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的性质求值域； （3）根据正弦的两角差公式求解. 【解答过程】（1）,           当时，单调递增， 即,                                   ∴的单调递增区间：, 当时，单调递减， 即,   的单调递减区间：； （2）∵，∴，                                ∴，                                          ∴的值域为； （3）∵，   ∵，∴， ∴，                                                ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$