专题10 实数的运算【挑战压轴题】-2024-2025学年苏科版数学八年级上册培优专题真题检测卷

2024-2025学年苏科版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题讲练 专题10 实数的运算 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•小店区校级月考）图中的内容是某同学完成的作业，他作答正确的题数是　　 填空： ①的倒数是______； ②1的平方根，立方根都等于它本身； ③9； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2分）（2024春•平原县期末）关于实数，，定义一种关于“※”的运算：※，例如：2※．依据运算定义，若※，且※，则的值为　　 A． B．1 C． D． 3．（2分）（2023春•惠城区校级期中）实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2023春•吕梁期末）对于实数、，定义，的含义为：当时，，；当时，，，例如：，．已知，，，，且和为两个连续正整数，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2分）（2023秋•西安月考）实数、在数轴上的位置如图，则化简的结果是　　 A． B． C． D．0 6．（2分）（2022春•黔东南州期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么的结果是　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2023秋•太原期中）下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2020春•大同期末）若，，且，则的值是　　 A．1，7 B．，7 C．1， D．， 9．（2分）（2019秋•青山区校级月考）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2021秋•青神县期末）已知为实数，规定运算：，，，，，．按上述方法计算：当时，的值等于　　 A． B． C． D． 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•青岛月考）实数，的位置如图，化简：　　． 12．（2分）（2023秋•九龙坡区校级期末）计算：　　． 13．（2分）（2023秋•浚县期末）已知，为有理数，且满足，则　　． 14．（2分）（2023秋•温江区校级期中）对于两个实数、，定义运算如下：，例如．那么，则等于　 　． 15．（2分）（2021秋•中站区期中）对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算如下：，如：，那么　 　． 16．（2分）（2021春•饶平县校级期中）一个负数的倒数等于它本身，则　 　；若一个数的相反数等于它本身，则　 　． 17．（2分）（2022春•南谯区期末）已知为实数，规定运算：，，，，，．按上述方法计算：当时，的值等于 　　． 18．（2分）（2020秋•大邑县期中）我们规定一个新数“”，使其满足，，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．那么　　，　　． 19．（2分）（2019秋•昌平区校级期末）计算：　　． 20．（2分）（2020春•房县期末）对于能使式子有意义的有理数，，定义新运算：△．如果，则△△　　． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•二七区校级月考）计算 （1） （2） 22．（6分）（2024春•兖州区月考）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 23．（8分）（2023秋•东明县期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3） ； （4）． 24．（8分）（2024春•瑶海区期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． （1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含的式子表示的等式为正整数）． （3）应用上述结论，请计算的值． 25．（8分）（2023秋•永丰县校级期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算： ；． ②若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为． （1）填空：　　，　　，　　； （2）求的共轭复数； （3）已知，求的值． 26．（8分）（2022秋•大竹县校级期中）观察下列各等式及验证过程． ，验证； ，验证：； ，验证：． （1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式，并证明． 27．（8分）（2018秋•泗洪县期中）先阅读，然后解答提出的问题： 设，是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为，都是有理数，所以，也是有理数， 由于是无理数，所以，，所以，，所以． 问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 28．（8分）（2017秋•龙泉驿区期中）小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念： 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈　次方”． 小明探究出：初步探究 （1）直接写出计算结果：　　，　　；　　． 他们一起深入思考得出： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）小华探究出：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．　　；　　；　　． （3）请你想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于　　； （4）请你算一算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题讲练 专题10 实数的运算 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•小店区校级月考）图中的内容是某同学完成的作业，他作答正确的题数是　　 填空： ①的倒数是______； ②1的平方根，立方根都等于它本身； ③9； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：的倒数是； 1的平方根是，立方根都等于它本身； ； ； ， 嘉琪批改的第④⑤题正确，第①②③题错误， 嘉琪批改正确的题数是2个， 故选：． 2．（2分）（2024春•平原县期末）关于实数，，定义一种关于“※”的运算：※，例如：2※．依据运算定义，若※，且※，则的值为　　 A． B．1 C． D． 解：※，※， 根据运算定义可得：， 解得方程得：， ． 故选：． 3．（2分）（2023春•惠城区校级期中）实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得　　 A． B． C． D． 解：，， ， ，故正确． 故选：． 4．（2分）（2023春•吕梁期末）对于实数、，定义，的含义为：当时，，；当时，，，例如：，．已知，，，，且和为两个连续正整数，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：，，，． ，． ，是两个连续的正整数． ，． ． 故选：． 5．（2分）（2023秋•西安月考）实数、在数轴上的位置如图，则化简的结果是　　 A． B． C． D．0 解：由题意知，， ， ， 故选：． 6．（2分）（2022春•黔东南州期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么的结果是　　 A． B． C． D． 解：由数轴知， 则，， 原式 ， 故选：． 7．（2分）（2023秋•太原期中）下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 解：、，故不合题意； 、，故不合题意； 、，故不合题意； 、，符合题意． 故选：． 8．（2分）（2020春•大同期末）若，，且，则的值是　　 A．1，7 B．，7 C．1， D．， 解：，，且， ，或，， 则或． 故选：． 9．（2分）（2019秋•青山区校级月考）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 解：．，此选项计算正确，故此选项符合题意； ．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：． 10．（2分）（2021秋•青神县期末）已知为实数，规定运算：，，，，，．按上述方法计算：当时，的值等于　　 A． B． C． D． 解：， ， ， ， ． ， ， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•青岛月考）实数，的位置如图，化简：　　． 解：由数轴可知，， ，， 原式． 故答案为：． 12．（2分）（2023秋•九龙坡区校级期末）计算：　1　． 解：． 故答案为：1． 13．（2分）（2023秋•浚县期末）已知，为有理数，且满足，则　　． 解：根据题意可得： ，， 解得：，， 把，代入， 故答案为：． 14．（2分）（2023秋•温江区校级期中）对于两个实数、，定义运算如下：，例如．那么，则等于　　． 解：， ， 则， 解得：． 故答案为：． 15．（2分）（2021秋•中站区期中）对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算如下：，如：，那么　　． 解：根据题中的新定义得：， 故答案为： 16．（2分）（2021春•饶平县校级期中）一个负数的倒数等于它本身，则　1　；若一个数的相反数等于它本身，则　 　． 解：一个负数的倒数等于它本身， ， ； 一个数的相反数等于它本身， ， ． 故答案为：1，． 17．（2分）（2022春•南谯区期末）已知为实数，规定运算：，，，，，．按上述方法计算：当时，的值等于 　　． 解：， ， ， ， 以三个数为一组，不断循环， ， ， 故答案为：． 18．（2分）（2020秋•大邑县期中）我们规定一个新数“”，使其满足，，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．那么　　，　　． 解：， ； ，，，， ． ． 以此类推， ， ． 故答案为：；0． 19．（2分）（2019秋•昌平区校级期末）计算：　2020　． 解：原式 ． 故答案为2020． 20．（2分）（2020春•房县期末）对于能使式子有意义的有理数，，定义新运算：△．如果，则△△　　． 解：，，， 又， ，，． ，，． ，，． △ ． △△△ ． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•二七区校级月考）计算 （1） （2） （1）解：原式 ；． （2）解：， ， 即， 解得：． 22．（6分）（2024春•兖州区月考）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 解：由数轴可知：， ，， ， ，， ． 23．（8分）（2023秋•东明县期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 24．（8分）（2024春•瑶海区期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． （1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含的式子表示的等式为正整数）． （3）应用上述结论，请计算的值． 解：（1）解：的结果为； 验证：； （2）第个等式的左边为，等式右边为1与的和， 故等式如下： ； （3） 25．（8分）（2023秋•永丰县校级期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算： ；． ②若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为． （1）填空：　　，　　，　　； （2）求的共轭复数； （3）已知，求的值． 解：（1），，； 故答案为：，1，； （2）， 的共轭复数为； （3）， ，， 解得，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为3或． 26．（8分）（2022秋•大竹县校级期中）观察下列各等式及验证过程． ，验证； ，验证：； ，验证：． （1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式，并证明． 解：（1）根据题意得：， 等式左边，右边， 左边右边，成立； （2）归纳总结得：为正整数）， 证明：等式左边，右边， 左边右边，成立． 27．（8分）（2018秋•泗洪县期中）先阅读，然后解答提出的问题： 设，是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为，都是有理数，所以，也是有理数， 由于是无理数，所以，，所以，，所以． 问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 解：， ， ，， 解得，，， 当，时，， 当，时，， 即的值是8或0． 28．（8分）（2017秋•龙泉驿区期中）小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念： 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈　次方”． 小明探究出：初步探究 （1）直接写出计算结果：　　，　　；　　． 他们一起深入思考得出： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）小华探究出：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．　　；　　；　　． （3）请你想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于　　； （4）请你算一算：． 解：（1）由题可得：，，， 故答案为：，，； （2）（1）； ； ； 故答案为：，，； （3）； 故答案为：； （4） 学科网（北京）股份有限公司 $$