专题06 解一元一次方程（六大类型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题06 解一元一次方程（六大类型） 重难点题型归纳 【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】 【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】 【题型3 新定义运算-解一元一次方程】 【题型4 判断解一元一次方程的过程】 【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【题型6 含绝对值的一元一次方程】 【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】 【典例1】解方程 (1) (2) 【变式1-1】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】求未知数． (1) (2) 【变式1-3】解方程： (1) ； (2)． 【变式1-4】解方程： (1)； (2)． 【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】 【典例2】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】解下列方程： (1) (2) 【变式2-4】解方程 (1) (2) (3) 【题型3 新定义运算-解一元一次方程】 【典例3】小蜜蜂用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数）．例如：． (1)当时，求的值． (2)若的值比的值大2，求a的值． (3)若的值为5，求的值． 【变式3-1】定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，c，d都有，应用新运算计算： (1)求的值； (2)如果，求x的值． 【变式3-2】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【变式3-3】用“★”定义一种新运算，对于任意有理数和，规定 如：． (1)求 (2)若，求的值． 【变式3-4】已知a、b是有理数，定义一种新运算“⊗”，满足． (1)求的值； (2)当时，求x的值． 【题型4 判断解一元一次方程的过程】 【典例4】下面是小严同学错题本上的一道题： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)以上解题过程中，小严从第______步开始出错误； (2)请计算出该方程的正确结果． 【变式4-1】（1）解方程： （2）下面是小林同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程： 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 填空： ①以上求解步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②该方程的正确解为______． 【变式4-2】下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． ． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 方程两边同除以，得．第五步 问题（1）：以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；第二步是依据______（运算律）进行变形的． 问题（2）：第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是______． 问题（3）：请写出该方程的正确解答过程． 【变式4-3】学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题：． 小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下： 小赵：； 小李：． (1)这两名同学中，第一步变形结果正确的是__________（填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是__________； (2)请写出完整的解题过程． 【变式4-3】下面是小贝同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 填空： (1)以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； (2)第________步开始出现错误这一步的错误的原因是________ (3)请直接写出该方程的正确解：________． 【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【典例5】我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空：________； (2)将循环小数写成分数的形式． 【变式5-1】借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即． (1)将化为分数，填写下面的空格： 设，由…可知，…． 所以．所以______．解这个方程，得______． (2)将化为分数． 【变式5-2】仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数成无限循环小数”，反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数，”那么怎么化为？ 解、不妨设……，则…… ， 解得即 根据以上材料，回答下列问题 (1)将“分数化为小数”，______，______； (2)将“小数和小数化为分数”，需要写出推理过程． 【变式5-3】综合实践：我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式，设，①，得，② 得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【类比应用】 （1）_______； 【实践操作】 （2）仿照示例，将化为分数形式，写出转化过程； 【迁移提升】 （3）根据（1）（2）猜想：______．（注） 【题型6 含绝对值的一元一次方程】 【典例6】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【变式6-1】满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解一元一次方程（六大类型） 重难点题型归纳 【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】 【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】 【题型3 新定义运算-解一元一次方程】 【题型4 判断解一元一次方程的过程】 【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【题型6 含绝对值的一元一次方程】 【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】 【典例1】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）合并同类项、系数化为一即可解答． （2）移项、合并同类项、系数化为一即可解答． 【详解】（1）解： 合并同类项得：， 系数化为一得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：． 【变式1-1】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-2】求未知数． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程： （1）根据等式的性质，解方程即可； （2）根据分数的运算，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1-3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是简单的一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）利用等式的基本性质把方程化为，再求解即可； （2）利用等式的基本性质把方程化为，再求解即可； 【详解】（1）解：， 所以， 所以， 解得：； （2）， 所以， 所以， 解得：． 【变式1-4】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）移项，合并同类项，系数化为即可求解； （）合并同类项，系数化为即可求解； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，； （2）解：合并同类项得，， 系数化为得，． 【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】 【典例2】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（）根据解一元一次方程的方法与步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解一元一次方程的方法与步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解含有分母的一元一次方程的方法与步骤，分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解含有分母的一元一次方程的方法与步骤，分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （3）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （3）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （4）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 【变式2-2】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键． （1）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （3）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （4）先化简、再去分母、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2-3】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 【变式2-4】解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可； 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 【题型3 新定义运算-解一元一次方程】 【典例3】小蜜蜂用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数）．例如：． (1)当时，求的值． (2)若的值比的值大2，求a的值． (3)若的值为5，求的值． 【答案】(1)11 (2) (3)17 【分析】本题主要考查了代数式求值，解一元一次方程，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据题干信息，列出算式进行计算即可； （2）根据的值比的值大2，得出，解关于a的方程即可； （3）先根据的值为5，得出，根据，整体代入求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 当时， ． （2）解：， ， ∵的值比的值大2， ∴， 解得：． （3）解：∵的值为5， ∴， ∴， 即， ∴ ． 【变式3-1】定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，c，d都有，应用新运算计算： (1)求的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新运算进行变形，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）先根据新运算进行变形，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． 【变式3-2】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及有理数的混合运算的方法，要熟练掌握． （1）根据，求出的值是多少即可． （2）根据题中新定义得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴=； （2）∵， ∴， 化简得：， 解得：． 【变式3-3】用“★”定义一种新运算，对于任意有理数和，规定 如：． (1)求 (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，涉及整式的加减混合运算，解一元一次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据新定义列式并进行计算即可； （2）根据新定义得出关于x的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）； （2）， 整理得， 解得． 【变式3-4】已知a、b是有理数，定义一种新运算“⊗”，满足． (1)求的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算，能够理解新定义的运算法则是解答本题的关键． （1）根据定义的运算可得，即可得出答案． （2）根据定义的运算将化为，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：． （2） ， ， 移项得：， 系数化1得：． ∴x的值为2． 【题型4 判断解一元一次方程的过程】 【典例4】下面是小严同学错题本上的一道题： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)以上解题过程中，小严从第______步开始出错误； (2)请计算出该方程的正确结果． 【答案】(1)三； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）第三步开始出现错误，原因是移项时，没有变号； （2）按照解一元一次方程的步骤，进行求解即可． 熟练掌握等式的基本性质，解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 【详解】（1）解：第三步移项时，没有变号，则开始出现错误， 故答案为：三； （2） 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化1，得： 【变式4-1】（1）解方程： （2）下面是小林同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程： 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 填空： ①以上求解步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②该方程的正确解为______． 【答案】（1）；（2）①三，移项时没有变号；② 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去分母，去括号，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； 【详解】解：（1）移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）①三，移项时没有变号 ②去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4-2】下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． ． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 方程两边同除以，得．第五步 问题（1）：以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；第二步是依据______（运算律）进行变形的． 问题（2）：第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是______． 问题（3）：请写出该方程的正确解答过程． 【答案】（1）等式的性质2，乘法的分配律 （2）三；移项没变号 （3）过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程： （1）根据等式两边同时乘上12，以及结合乘法的分配律的性质，即可作答． （2）观察移项前后符号的变化情况，即可作答． （3）结合解一元一次方程的过程，先去分母再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，∵等式两边同时乘上12， ∴第一步是依据等式的性质2进行变形的； ∵去括号过程中，括号前的数值与括号每项相乘， ∴第二步是依据乘法的分配律（运算律）进行变形的； （2）观察式子，第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号； （3）原式去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 方程两边同除以，得． 【变式4-3】学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题：． 小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下： 小赵：； 小李：． (1)这两名同学中，第一步变形结果正确的是__________（填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是__________； (2)请写出完整的解题过程． 【答案】(1)小李；等式的性质 (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程： （1）根据等式的性质，即可求解； （2）先去分母、去括号，移项合并同类项，最后将系数化为1即可． 【详解】（1）解：这两名同学中，第一步变形结果正确的是小李，这一步的变形依据是等式的性质； 故答案为：小李；等式的性质 （2）解： 去分母得： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式4-3】下面是小贝同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 填空： (1)以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； (2)第________步开始出现错误这一步的错误的原因是________ (3)请直接写出该方程的正确解：________． 【答案】(1)等式的基本性质2 (2)三；移项时，没有变号 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的基本性质， （1）根据等式的基本性质即可作答； （2）结合解一元一次方程的基本方法逐步核算，即可作答； （3）按照解一元一次方程的基本方法解答即可． 【详解】（1）．     第一步 方程两边同时乘以6，等式两边仍然相等， 即第一步依据等式的基本性质进行变形， 故答案为：等式的基本性质2； （2）正确的步骤：     第二步     第三步 第三步开始出现错误，错误的原因是：移项时，没有变号； 故答案为：三，移项时，没有变号； （3）     ， 故答案为：． 【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【典例5】我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空：________； (2)将循环小数写成分数的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的其他实际应用问题，掌握题目中的转化方法、解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）仿照题目中的方法列方程求解即可； （2）设，则，从而可得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴， 解得，， ∴． 【变式5-1】借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即． (1)将化为分数，填写下面的空格： 设，由…可知，…． 所以．所以______．解这个方程，得______． (2)将化为分数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）根据题意，得到，解方程即可； （2）设，则，，用列出方程进行求解即可． 读懂题意，找准等量关系，列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：设，由…可知，…． 所以． 所以， 解得：； 故答案为：，； （2）设，则，， ∴， ∴， ∴， 即：化为分数为． 【变式5-2】仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数成无限循环小数”，反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数，”那么怎么化为？ 解、不妨设……，则…… ， 解得即 根据以上材料，回答下列问题 (1)将“分数化为小数”，______，______； (2)将“小数和小数化为分数”，需要写出推理过程． 【答案】(1)， (2)；，推理过程见解析 【分析】（1）利用除法进行求解即可； （2）根据题目提供的方法分别得到方程和，解方程即可得到答案； 读懂题意，正确列出方程和解方程是解题的关键． 【详解】（1），， 故答案为：， （2）设x＝， 则10x＝， 那么， 解得：， 即； 设， 则， 那么， 解得：， 即． 【变式5-3】综合实践：我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式，设，①，得，② 得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【类比应用】 （1）_______； 【实践操作】 （2）仿照示例，将化为分数形式，写出转化过程； 【迁移提升】 （3）根据（1）（2）猜想：______．（注） 【答案】（1）；（2），转化过程见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求解即可； （3）仿照题意求解即可； （4）仿照题意求解即可． 【详解】解：（1）设，①， ∴，② 得， 解得：， 即； 故答案为： （2）设，①， ∴，② 得， 解得：， 即； （3）设，①， ∴，② 得， 解得：， 即． 故答案为： 【题型6 含绝对值的一元一次方程】 【典例6】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【答案】或=-2 【分析】按照所给解法，结合绝对值的意义解方程即可． 【详解】解：当时，方程可化为： 符合题意 当<1时，方程可化为： -2=4 =-2符合题意 所以原方程的解为：或=-2． 【点睛】本题考查了绝对值方程，解决可化为一元一次方程的绝对值方程，其最基本的套路是：将方程中的绝对值符号去掉，转化为括号即可，不过，括号里面的代数式，视原绝对值里面代数式的符号而定：如果原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；如果原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数． 【变式6-1】满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分类讨论：，，时，分别解方程求得答案. 【详解】当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1. 故选：C. 【点睛】此题考查解一元一次方程，需根据x的范围将绝对值符合去掉，再解出x的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$