专题08 一元一次方程常考实际应用（十二大类型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题08 一元一次方程常考实际应用（十二大类型） 重难点题型归纳 【题型1：行程问题】 【题型2：工程问题】 【题型3：销售问题】 【题型4：方案问题】 【题型5：比赛积分问题】 【题型6：日历问题】 【题型7：数字问题】 【题型8：几何问题】 【题型9：水费和电费问题】 【题型10：比例分配问题】 【题型11：古代问题】 【题型12：其他问题】 【题型1：行程问题】 【典例1】阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， (1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)若数轴上表示x和的两点分别是点A、B，那么 (3)若数轴上点A表示数，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？ 【变式1-1】建湖物流公司的甲、乙两辆货车分别从相距400千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达配货站C地，此时两车相距40千米，甲车在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，两车行驶小时时乙车也到C地（未停留），继续开往A地．（友情提醒：画出线段图帮助分析） (1)乙车的速度是多少？B、C两地的距离是多少千米？A、C两地的距离是多少千米？ (2)求甲车的速度及甲车到达B地所用的时间． (3)乙车出发多长时间两车相距150千米？ 【变式1-2】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【变式1-3】如图，在数轴上点，，表示的数分别为，，，且． (1)若点到点，点的距离相等，则点表示的数为_____． (2)数轴上是否存在点，使得点到点，点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)点以每秒5个单位长度的速度从点向右匀速运动，点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点到点，点的距离相等？ 【题型2：工程问题】 【典例2】为庆祝校运会开幕，七（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半的同学参加制作，每天制作40面，完成了以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？ 【变式2-1】为加强新农村建设，某地方政府准备在甲村和乙村之间修建一条公路．已知A工程队单独完成此工程需要5个月，B工程队单独完成此工程需要10个月．若A，B两工程队合作2个月后，再由B工程队单独完成剩余部分，则B工程队还需要几个月才能完成？ 【变式2-2】某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 【变式2-3】某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题) 【题型3：销售问题】 【典例3】某水果销售点用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 【变式3-1】又是一年“女神节”，促销活动已经在各大电商平台展开．妈妈看中一件标价为元的外套，该店铺在活动期间所有服装均按标价的折再让利元销售，此时仍可获利，问此件外套的进价是多少元？ 【变式3-2】列方程解应用题： 某服装商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元．求： (1)每件服装的标价是多少？ (2)为保证不亏本，最多能打几折？ 【变式3-3】某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【题型4：方案问题】 【典例4】某服装批发商促销一种裤子和恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：方案一：买一条裤子送一件恤；方案二：裤子和恤都按定价的付款．现某客户要购买裤子30件，恤件（）： (1)按方案一，购买裤子和恤共需付款元；按方案二，购买裤子和恤共需付款_______元；（用含的式子表示） (2)计算一下，购买多少件恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请直接写出该购买方案下共需付款数目． 【变式4-1】已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示，现某顾客需要购买40箱酸奶和x个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当时，请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 【变式4-2】某旅游团名成人和5名学生去景区游玩，已知该景区门票的售价为50元/人，“元旦”期间该景区对游客优惠方案如下（只能选择其中一种方案）： 甲方案：学生免门票，成人门票按七五折收费； 乙方案：学生和成人门票均按七折收费． (1)分别用含的代数式表示该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用； (2)当为何值时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同？ 【变式4-3】王小明同学计划今年暑假到他家附近某游泳馆锻炼身体，该游泳馆收费方式如下表所示（不足1小时按1小时计算）： 收费方式 ①计时收费 ②普通会员 ③高级会员 收费标准 10元/时 会员费100元 会员费300 0—10小时 免费 0—30小时 免费 超过10小时 6元/时 超过30小时 4元/时 请回答下列问题： (1)当游泳总时间为______小时时，按方式①或方式②收费所付的钱相同． (2)若王小明同学计划每两天游泳一次，每次锻炼2小时（王小明所在学校放暑假时间为7月15日至8月31日），请你帮助他选择一个最省钱的付费方式，并说明理由． 【题型5：比赛积分问题】 【典例5】某校七年级组织篮球联赛，经过14轮比赛后，前四强积分榜如下表： 班级 比赛场次 胜场 负场 总积分 七（6）班 14 14 0 42 七（2）班 14 13 1 40 七（4）班 14 12 2 38 七（8）班 14 11 3 36 (1)从表中信息可以看出，胜一场得____________分，负一场得____________分； (2)若七（5）班的总积分为28分，求七（5）班的胜场数； (3)某班的胜场积分能等于它的负场积分吗，为什么？ 【变式5-1】民间有许多与除夕相关的习俗．某学校组织了“除夕习俗我知道”的知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 22 3 82 D 19 6 64 (1)每答对一道题得_________分，每答错一道题得_________分； (2)参赛者E答对了m道题，用含有m的式子表示他的得分是多少？ (3)参赛者F得70分，他答错了多少道题？ 【变式5-2】为了促进全民健身运动的开展，某市组织了足球比赛．下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况． 代表队 总场/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 A 6 5 1 0 16 B 6 6 0 0 18 C 6 3 2 1 11 D 6 3 1 2 10 (1)本次比赛中胜一场得 分, 平一场得 分, 负一场得 分； (2)参加本次比赛的F队，完成10场比赛后，只输了1场，积分是23分，请求出F队胜出的场次． 【变式5-3】某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 100 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)参赛者得分为分，求他答错了几道题？ (3)参赛者说他的得分为分，你认为可能吗？请说明理由． 【题型6：日历问题】 【典例6】如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．    (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示 形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 【变式6-2】将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【变式6-3】如图的数阵是由88个偶数组成： (1)甲同学这样圈出的四个数的和为432，你能求出这四个数吗？ (2)乙同学想用这样的框圈出和为172的四个数，可能吗？ (3)你能用这样的框圈出和为352的四个数吗？若能，请写出这四个数：若不能，请说明理由． 【变式6-4】再读教材 如图是某月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？ （2）不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立． 活学活用 小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： （1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和； （3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 【题型7：数字问题】 【典例7】【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．                (1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方． (2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________； (3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由． (4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________． 【变式7-1】观察下面三行数： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第①行 第②行 第③行 解决下面问题： (1)第①行的第7个数为____，第②行的第7个数为____，第③行的第7个数为____； (2)假设某一列第三行的数是，用含的式子表示这一列第①行中的数是____，这一列第②行中的数是____； (3)在某一偶数列的3个数中，最大的数与最小的数的差是384，求这三个数． 【变式7-2】我国古代的“九宫格”是由的方格构成，每个方格内均有不同的数字，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，设这个和为，下图给出了一个“九宫格”的部分数字． 计算：求的值； 探究：设数字左面方格的数为，求的值； 发现：直接写出的值． 【变式7-3】如图是由正奇数排成的数阵： (1)请计算图中“工”形框中七个数的和是中间数45的几倍； (2)在数阵中任意做一个这样的“工”形框，（1）中的关系是否仍成立?并写出理由； (3)用这样的“工”形框能框出和为2023的七个数吗?如果能，求出这七个数中间的数；如果不能，请写出理由． 【题型8：几何问题】 【典例8】某健身广场由6个正方形拼成一个长方形（如图），已知中间最小的正方形A的边长是1米，请按要求回答下列问题： (1)若设图中最大正方形B的边长是米，请用含的代数式分别表示出正方形F、E和C的边长； (2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的和），请根据这个等量关系，求出的值及广场（矩形）的面积； (3)现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问还需要多少天完成？ 【变式8-1】如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美长方形”，如图，“优美长方形”的周长为78，则正方形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式8-2】一块长方形菜地长18m，如果把它的长增加到22m，宽减少3m，它的面积大小正好没变．这块长方形菜地的面积是多少平方米？ 【变式8-3】四个同样大小的长方形和一个正方形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积是400平方厘米，小正方形的面积（阴影部分）是4平方厘米，求长方形的长和宽（长和宽均为整数）． 【题型9：水费和电费问题】 【典例9】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源.某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图． (1)若某户居民1月份用水8 m3，则水费 元； (2)若某户居民某月用水x m3，则用含x的代数式表示水费； (3)若某户居民3、4月份共用水15 m3，（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？ 【变式9-1】为增强居民节约用水意识，某市在2020年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如表： 每月用水量x立方米 水费单价（元/立方米） a 超出22立方米的部分 某户居民六月份用水18立方米时，收缴水费元． (1)求a的值． (2)若该户居民七月份所缴水费为元，求该户居民七月份的用水量．（用方程求解）． 【变式9-2】为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量 单位：度 电费价格 单位：元度 一档 不超过度的电量      二档 至度之间的电量      三档 超过度的电量      (1)小明家七月份共用电度，求小明家七月份应交多少电费？ (2)如果某户居民某月用电度，请用含的代数式表示该户居民该月应交电费． (3)小明家九月份的电费是元，求该月用电多少度？ 【变式9-3】为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费2元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费2.5元；小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费，但她不清楚家里每月用水是否超过20吨． (1)如果小红家每月用水15吨，则水费是 元；如果小红家每月用水23吨，则水费是 元． (2)如果字母x表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该如何用x的代数式表示． 当时，每个月的水费为： （用含x的代数式表示）； 当时，每个月的水费为： （用含x的代数式表示）； (3)小红家第二季度交纳水费的情况如下： 月份 四月份 五月份 六月份 交费金额（单位：元） 26 34 50.5 小红家这个季度共用水多少吨？ 【变式9-4】下表是两种“优惠套餐”计费方式．（月费固定收，主叫不超时，流量不超量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月费（元） 主叫（分钟） 流量 接听 超时（元/钟） 超流量（元/） 方式一 49 200 50 免费 0.20 3 方式二 69 250 65 免费 0.15 2 (1)若某月小郭主叫通话时间为320分钟，上网流量为，则她按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；若她按方式二计费需119元，主叫通话时间为234分钟，则上网流量为___________； (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型10：比例分配问题】 【典例10】有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 【变式10-1】某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？ 【变式10-3】某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 【变式10-4】某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作镜架，女工负责制作镜片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，那么要调多少名女工帮男工制作镜架？ 【题型11：古代问题】 【典例11】我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【变式11-1】《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少?若设人数为x人，则可列方程为 ． 【变式11-3】中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，三车空；三人共车，十人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每四人乘一车，最终剩余3辆车，若每3人共乘一车，最终剩余10个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程 ． 【题型12：其他问题】 【典例12】轩轩公司现有甲、乙两级粉刷技工各3人，每名甲级技工每天可以粉刷，每名乙级技工每天可以粉刷，轩轩每天支付给每名甲级技工工资500元，轩轩通过计算得出，平均每粉刷墙壁，支付给每名甲级技工的工资比支付给每名乙级技工的工资多元． (1)求轩轩每天支付给每名乙级技工的工资是多少元； (2)现有一批房间墙壁需要粉刷，每间大房间的墙壁面积比每间小房间的墙壁面积多，5间小房间的墙壁面积比6间大房间的墙壁面积少，求每间大房间的墙壁面积是多少平方米； (3)在（2）的条件下，现有两个工程同时开工，A工程需要粉刷8间大房间，10间小房间，B工程需要粉刷12间大房间，7间小房间．A工程派1名甲级技工和2名乙级技工去完成，剩余技工派往B工程．粉刷一间大房间工程负责人需要支付给轩轩2500元，粉刷一间小房间支付给轩轩2300元．粉刷前轩轩去建材市场购买油漆，每桶油漆能粉刷墙壁进价2600元．请通过计算进行比较，完成工程后轩轩在哪个工程中获得的利润最大？ 【变式12-1】某条公路的一侧原有电线杆103根（两端都有），相邻的2根相距．现计划把他们全部换成大型水泥电线杆，相邻的两根相距，则需要大型水泥电线杆（    ） A．67根 B．68根 C．69根 D．70根 【变式12-2】国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费的的税；（3）稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的的税．已知丁老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税420元，则丁老师的这笔稿费有 元． 【变式12-3】参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销．保险公司制定的报销细则如下表：某人住院治疗得到保险公司报销金额是11000元，此人的住院医疗费为元 ． 住院医疗费（元） 报销率（） 不超过5000元的部分 0 5000—10000元的部分 60 超过10000元的部分 80 【变式12-4】如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案．    (1)第个图案中有根小棒；第个图案中有 根小棒；第个图案中有 根小棒 (2)第个图案中有 根小棒； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，由根小棒摆成？如果有，指出是第几个图案；如果没有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元一次方程常考实际应用（十二大类型） 重难点题型归纳 【题型1：行程问题】 【题型2：工程问题】 【题型3：销售问题】 【题型4：方案问题】 【题型5：比赛积分问题】 【题型6：日历问题】 【题型7：数字问题】 【题型8：几何问题】 【题型9：水费和电费问题】 【题型10：比例分配问题】 【题型11：古代问题】 【题型12：其他问题】 【题型1：行程问题】 【典例1】阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， (1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)若数轴上表示x和的两点分别是点A、B，那么 (3)若数轴上点A表示数，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？ 【答案】(1)5 (2)或3 (3)①运动8秒时，点P可以追上点Q；②运动5秒或者11秒时，P，Q两点相距3个单位长度 【分析】本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离等知识点，注意动点问题的多解性． （1）由即可计算； （2）根据，结合列方程计算即可； （3）①设运动x秒时，点P可以追上点Q，根据题意可知，相遇时P所在的位置为，Q所在的位置为，据此列方程解答即可；②分点P在点Q左侧和右侧两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：和的两点之间的距离， 故答案为：5； （2）解：根据题意可得， ∴或， 故答案为：或3； （3）解：①设运动x秒时，点P可以追上点Q， 根据题意得：， 解得：， 答：运动8秒时，点P可以追上点Q． ②设运动y秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 当点P在点Q左侧时，，解得：； 当点P在点Q右侧时，，解得：． 答：运动5秒或者11秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 【变式1-1】建湖物流公司的甲、乙两辆货车分别从相距400千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达配货站C地，此时两车相距40千米，甲车在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，两车行驶小时时乙车也到C地（未停留），继续开往A地．（友情提醒：画出线段图帮助分析） (1)乙车的速度是多少？B、C两地的距离是多少千米？A、C两地的距离是多少千米？ (2)求甲车的速度及甲车到达B地所用的时间． (3)乙车出发多长时间两车相距150千米？ 【答案】(1)80，200，200 (2)甲车的速度为100千米/小时，甲车到达B地所用的时间为5小时． (3)乙车出发或小时，两车相距150千米． 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用，解题关键审清题意、找准等量关系列出代数式和方程成为解题的关键． （1）由题意可知，甲车2小时到达C地，用1小时配货，乙车行驶小时也到C地，这半小时甲车未动，即乙车半小时走了40千米，据此可求出乙车的速度，再根据速度求出B、C两地的距离和A、C两地的距离即可解答； （2）根据A、C两地的距离和甲车到达配货站C地的时间可求出甲车的速度，再根据行程问题的关系式求出甲车到达B地所用的时间即可解答； （3）此题分为2种情况，未相遇和相遇以后相距150千米，据此根据题意列出符合题意得方程即可解答． 【详解】（1）解：乙车的速度千米/时； B、C两地的距离千米； A、C两地的距离千米． 故答案为80，200，200． （2）解：甲车的速度千米/小时； 甲车到达B地所用的时间小时． 答：甲车的速度为100千米/小时，甲车到达B地所用的时间为5小时． （3）解：设乙车出发x小时，两车相距150千米，列方程得： 或， 解得：或． 答：乙车出发或小时，两车相距150千米． 【变式1-2】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． （1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可． （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得： ， 解得， ∴船在静水中的平均速度为； （2）解：依题意，船在静水中的平均速度为， ∴甲乙两码头之间的距离为， ∴甲乙两码头之间的距离． 【变式1-3】如图，在数轴上点，，表示的数分别为，，，且． (1)若点到点，点的距离相等，则点表示的数为_____． (2)数轴上是否存在点，使得点到点，点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)点以每秒5个单位长度的速度从点向右匀速运动，点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点到点，点的距离相等？ 【答案】(1)； (2)或； (3)同时出发，秒或秒后点到点，点的距离相等． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值、路程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． （1）根据中点公式即可求解； （2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可； （3）设经过分钟点到点，点的距离相等，分为当点在之间时，当点在右侧时，分别计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴，， 故点，表示的数分别为：、， 若点到点，点的距离相等，则 ， ∴点对应的数是， 故答案为：； （2）解：当在之间，（不可能有）， 当在的左侧， ， ∴， 当在的右侧， ， ∴， ∴点对应的数为或； （3）解：设经过秒后点到点，点的距离相等，此时点，，表示的数分别为： ，，， 当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则： ， 解得：， 当点在右侧时，此时、重合，则： ， 解得：， ∴它们同时出发，秒或秒后点到点，点的距离相等． 【题型2：工程问题】 【典例2】为庆祝校运会开幕，七（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半的同学参加制作，每天制作40面，完成了以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？ 【答案】共制作小旗180面 【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，解答时根据实际比计划提前一天半完成任务为等量关系建立方程是关键．设共制作小旗x面，则原计划的时间为天，再根据条件求出实际完成任务的时间，由实际比计划提前一天半完成任务建立方程，求出其解即可； 【详解】解：设共制作x面， 由题意得， 解得：， 答：共制作小旗180面． 【变式2-1】为加强新农村建设，某地方政府准备在甲村和乙村之间修建一条公路．已知A工程队单独完成此工程需要5个月，B工程队单独完成此工程需要10个月．若A，B两工程队合作2个月后，再由B工程队单独完成剩余部分，则B工程队还需要几个月才能完成？ 【答案】B工程队还需要4个月才能完成 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设B工程队还需要x个月才能完成，根据工作总量工作效率工作时间列出方程求解即可． 【详解】解：设B工程队还需要x个月才能完成， 由题意得，， 解得， 答：B工程队还需要4个月才能完成． 【变式2-2】某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 【答案】(1)4天 (2)甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，根据甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元，，根据甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书， 依题意，得：， 解得：. 答：甲、乙两人合作还需要4天运完图书. （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元， 依题意，得：， 解得：， ∴. 答：甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元. 【变式2-3】某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题) 【答案】甲队每小时清雪40吨 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲队每小时清雪x吨，根据工作总量工作效率工作时间分别求出甲队和乙队的工作总量，再根据积雪为430吨列出方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时清雪x吨， 由题意得，， 解得， 答：甲队每小时清雪40吨． 【题型3：销售问题】 【典例3】某水果销售点用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 【答案】(1)甲种65千克，乙种75千克 (2)495元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克．根据“用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克”建立方程求解即可； （2）由两种水果的利润之和等于总利润可得答案． 【详解】（1）解：设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克．依题意得：． ． 解得：， ∴． 答：甲种水果购进65千克，乙种水果购进75千克； （2）解：． （元）． 答：该水果店按销售价销售完这批水果，获得的利润是495元． 【变式3-1】又是一年“女神节”，促销活动已经在各大电商平台展开．妈妈看中一件标价为元的外套，该店铺在活动期间所有服装均按标价的折再让利元销售，此时仍可获利，问此件外套的进价是多少元？ 【答案】进价是元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握有关利润的公式：利润销售价成本价是解题的关键．设此件外套的进价为元，依商店按售价的折再让利元销售，此时仍可获利，可得方程式，求解即可得答案． 【详解】解：设此件外套的进价为元， 依题意得：， 解得：， 答：此件外套的进价是元． 【变式3-2】列方程解应用题： 某服装商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元．求： (1)每件服装的标价是多少？ (2)为保证不亏本，最多能打几折？ 【答案】(1)200元 (2)六折 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． （1）设每件服装的标价是x元，则分别表示出售价，再根据成本不变建立方程求出其解即可； （2）根据（1）的标价求出售价就可以求出成本；设打y折就可以不亏本，建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是x元，依题意，得 ， 解得：． 答：每件服装的标价是200元； （2）解：每件衣服的成本价为： （元）． 设打y折就可以不亏本，由题意，得 ， 解得：． 答：为保证不亏本，最多能打六折． 【变式3-3】某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【答案】(1)批发甲商品40千克，乙商品60千克 (2)打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设批发甲商品x千克，则批发乙商品千克， 根据总进货价为520元列出方程，解之即可； （2）设打折前售出相同的重量为千克，根据打折前和打折后的利润之和为464元列出方程，解之可得结果． 【详解】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克， 依题意，得， 解得， ∴（千克）， ∴批发甲商品40千克，乙商品60千克； （2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得： ， 解得， ∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）； ∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克． 【题型4：方案问题】 【典例4】某服装批发商促销一种裤子和恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：方案一：买一条裤子送一件恤；方案二：裤子和恤都按定价的付款．现某客户要购买裤子30件，恤件（）： (1)按方案一，购买裤子和恤共需付款元；按方案二，购买裤子和恤共需付款_______元；（用含的式子表示） (2)计算一下，购买多少件恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请直接写出该购买方案下共需付款数目． 【答案】(1) (2)购买90件恤时，两种优惠方案付款一样 (3)能，用方案一购买裤子30件，送恤30件；再用方案二购买10件恤， 共需付款3400元 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）根据已知，分方案一、方案二分别列出代数式即可； （2）根据（1）中的代数式列方程，即可解得答案； （3）用方案一购买裤子30件，送恤30件，再用方案二购买10件恤，即可得到共需付款数目． 【详解】（1）解：购买裤子30件，恤件， 按方案二共需付款元， 故答案为：； （2）解：根据题意，由（1）中结论可得：， 解得， 答：购买90件恤时，两种优惠方案付款一样； （3）解：能给出一种更为省钱的购买方案： 用方案一购买裤子30件，送恤30件；再用方案二购买10件恤， 共需付款（元， 共需付款3400元． 【变式4-1】已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示，现某顾客需要购买40箱酸奶和x个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当时，请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 【答案】(1) 按方案一购买时所需的费用为元；按方案二购买时所需的费用为元； (2)按方案二购买更省钱； (3)当购买240个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值， （1）利用总价单价数量，结合该超市推出的两种优惠促销方案，即可用含的代数式表示出按方案一及按方案二购买所需费用； （2）代入，求出按方案一及按方案二购买所需费用，再比较后即可得出结论； （3）根据按这两种方案的花费一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：按方案一购买所需费用为元； 按方案二购买所需费用为元． 答：按方案一购买所需费用为元，按方案二购买所需费用为元； （2）当时，（元； （元． ， 该顾客按方案二购买更省钱； （3）根据题意得：， 解得：． 答：当购买240个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多． 【变式4-2】某旅游团名成人和5名学生去景区游玩，已知该景区门票的售价为50元/人，“元旦”期间该景区对游客优惠方案如下（只能选择其中一种方案）： 甲方案：学生免门票，成人门票按七五折收费； 乙方案：学生和成人门票均按七折收费． (1)分别用含的代数式表示该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用； (2)当为何值时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同？ 【答案】(1)用甲种方案购买门票的费用为元，用乙种方案购买门票的费用为元 (2) 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的方案列出代数式． （2）令列出方程即可求出的值． 【详解】（1）解：该旅游团采用甲种方案购买门票的费用为（元）， 该旅游团采用乙种方案购买门票的费用为（元）． （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同． 【变式4-3】王小明同学计划今年暑假到他家附近某游泳馆锻炼身体，该游泳馆收费方式如下表所示（不足1小时按1小时计算）： 收费方式 ①计时收费 ②普通会员 ③高级会员 收费标准 10元/时 会员费100元 会员费300 0—10小时 免费 0—30小时 免费 超过10小时 6元/时 超过30小时 4元/时 请回答下列问题： (1)当游泳总时间为______小时时，按方式①或方式②收费所付的钱相同． (2)若王小明同学计划每两天游泳一次，每次锻炼2小时（王小明所在学校放暑假时间为7月15日至8月31日），请你帮助他选择一个最省钱的付费方式，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)王小明选择方式②付费最省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用，有理数比较大小，理解题意是解答的关键． （1）设游泳总时间为x小时，根据按方式①或方式②收费所付的钱相同，列出方程，求解即可； （2）分别计算出按三种方式的收费所付的钱，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解：设游泳总时间为x小时，根据题意，得 ， 解得： ∴当游泳总时间为10小时时，按方式①或方式②收费所付的钱相同， 故答案为：10． （2）解：王小明同学暑假到他家附近某游泳馆锻炼身体的时间为：(小时)， 选择方式①付费为：(元)， 选择方式②付费为：(元)， 选择方式③付费为：(元) ∵ ∴王小明选择方式②付费最省钱． 【题型5：比赛积分问题】 【典例5】某校七年级组织篮球联赛，经过14轮比赛后，前四强积分榜如下表： 班级 比赛场次 胜场 负场 总积分 七（6）班 14 14 0 42 七（2）班 14 13 1 40 七（4）班 14 12 2 38 七（8）班 14 11 3 36 (1)从表中信息可以看出，胜一场得____________分，负一场得____________分； (2)若七（5）班的总积分为28分，求七（5）班的胜场数； (3)某班的胜场积分能等于它的负场积分吗，为什么？ 【答案】(1)3，1 (2)7 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）根据图表求出胜一场和负一场分别所得的分数， （2）假设七（5）班胜x场，七（5）班的总积分为28分，列出关于x的方程并求解，再根据x的值进行判断即可． （3）由（1）中可知胜一场和负一场分别所得的分数，再假设某班胜x场，某班的胜场积分等于它的负场积分，列出关于x的方程并求解，再根据x的值进行判断即可． 【详解】（1）解：解：根据七（6）班的比赛积分可知胜一场得分为：分． 再根据七（2）班的比赛积分可知负一场得分为：分 故答案为3，1． （2）解：设某班胜x场，则负场． 解得， 答：七（5）班的胜场数是7场． （3）解：设某班胜x场，则负场， 解得， ∵场数不能为分数， ∴某班的胜场积分不能等于它的负场积分． 【变式5-1】民间有许多与除夕相关的习俗．某学校组织了“除夕习俗我知道”的知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 22 3 82 D 19 6 64 (1)每答对一道题得_________分，每答错一道题得_________分； (2)参赛者E答对了m道题，用含有m的式子表示他的得分是多少？ (3)参赛者F得70分，他答错了多少道题？ 【答案】(1)4； (2)参赛者E的得分是分 (3)参赛者F答错了5道题 【分析】此题考查了一元一次方程的应用∶ （1）由参赛者A可得：答对1题得（分），设答错一题扣x分，根据设每答错一道题得a分，根据参赛者B的得分得的得分列出方程，求出方程的解，即可得到结果； （2）参赛者E答对了m道题，根据他的得分等于答对的得分加上答错的得分，即可求解； （3）设参赛选手F答对y道题，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：每答对一道题得分， 设每答错一道题得a分，根据参赛者B的得分得： ， 解得：， 所以答错一道题得分； 故答案为：4； （2）解：根据题意，得． 答：参赛者E的得分是分． （3）解：设参赛者F答错了x道题， 根据题意，得，解得， 答：参赛者F答错了5道题． 【变式5-2】为了促进全民健身运动的开展，某市组织了足球比赛．下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况． 代表队 总场/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 A 6 5 1 0 16 B 6 6 0 0 18 C 6 3 2 1 11 D 6 3 1 2 10 (1)本次比赛中胜一场得 分, 平一场得 分, 负一场得 分； (2)参加本次比赛的F队，完成10场比赛后，只输了1场，积分是23分，请求出F队胜出的场次． 【答案】(1)；； (2)F代表队胜出的场数为7场 【分析】本题考查比赛积分问题，清楚积分的组成部分及胜负积分的规则是解本题的关键． （1）根据代表队的积分情况解出胜一场、平一场、负一场的积分情况； （2）根据题意，列一元一次方程求解即可. 【详解】（1）解：根据B代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：分； 根据A代表队的积分情况可得平一场的积分情况：分； 根据C代表队的积分情况可得负一场的积分情况：分； 故答案为：；；； （2）设F代表队胜出的场数为x，则平场为场， 列方程得：， 解方程得：， 答：F代表队胜出的场数为7场． 【变式5-3】某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 100 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)参赛者得分为分，求他答错了几道题？ (3)参赛者说他的得分为分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)参赛者答错了3道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分答错题所扣分总得分”是关键． （1）先由选手算出答对一题所得分数，再由选手算出答错一题扣分即可； （2）设答对了道题，答错了道题，根据题意构造方程，解方程即可； （3）设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分答错的得分分”列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 答对一题的得分是：（分）， 答错一题的得分是：（分）， 故答案为：，； （2）设参赛者答对了道题，答错了道题，由题意得： 参赛者答错了3道题； （3）不可能，理由如下： 假设参赛者得分，设答对了道题，答错了道题，由题意得： ， ， ， 为整数， 参赛者说他的得分为分，是不可能的． 【题型6：日历问题】 【典例6】如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．    (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示 形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)8 (3)70 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． （1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，其他6个数分别为， ∴这7个数的和为． 故答案为：； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a， 由题意得，， 解得， ∴， ∴最小的数是8； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，则有最大值， ∴只需要满足最大，最小时即可， ∵，即， ∴当最大时，最小， 由日历表可知， 当取23，取7时，由日历表可知不符合题意； 当取20，取10，由日历表可知符合题意， ∴的最大值为． 【变式6-2】将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； (2)①；②不能，理由见解析． 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出数字的排列规律，利用数字和建立方程求得答案即可． （1）先求出这5个数的和，用这个和去除以中间的这个数15就可以得出结论； （2）①由左右相邻两个奇数之间相差2，上下相邻两个奇数之间相差10，就可以分别表示出这5个数，进而得出结论； ②设中间的一个数为，建立方程求出的值就可以得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得． ． 因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； （2）解：①设中间数为，则其余的4个数分别为，，，，由题意，得 ． 答：5个数之和为； ②不能．理由如下： 设中间的一个数为，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 解得， ∵不是整数， ∴不存在五个数之和等于2023． 【变式6-3】如图的数阵是由88个偶数组成： (1)甲同学这样圈出的四个数的和为432，你能求出这四个数吗？ (2)乙同学想用这样的框圈出和为172的四个数，可能吗？ (3)你能用这样的框圈出和为352的四个数吗？若能，请写出这四个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1)100，102，114，116 (2)圈出四个数的和不能为172 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，把问题转化为方程问题是关键． （1）设最小的数为x，用x表示其它3个数列方程求解． （2）根据（1）列方程求出x，看x是否是偶数判定． （3）根据（1）的解法得出四个数，再结合数阵中这几个数的位置判定是否能组成平行四边形． 【详解】（1）解：设甲同学圈出的四个数中最小的为x，则其它三个是， ∵和为432， ∴， 解得， ∴ ∴这四个数是100，102，114，116； （2）解：圈出四个数的和不能为172；理由如下： 设圈出四个数中最小的为m， 根据题意得：， 解得， ∵35不是偶数， ∴圈出四个数的和不能为172； （3）解：不能圈出和为352的四个数，理由如下： 设圈出四个数中最小的为n， 根据题意得：， 解得， ∴ 由数阵可知，80在最右边一列， 82在最左边一列，96在80的正下方， ∴不能圈出和为352的四个数． 【变式6-4】再读教材 如图是某月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？ （2）不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立． 活学活用 小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： （1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和； （3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 【答案】教材再现（1）这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；（2）成立；如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于；活学活用（1）十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍.（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类， 再读教材 （1）求出9个数之和，然后找出与正中心的数的关系为：9个数之和为方框正中心的9倍； （2）改变位置，关系不变； 活学活用 （1）将五个数相加即可得出结论； （2）设中间的数为x，则另外四个数分别为、、、，将五个数相加即可得出结论； （3）设中间的数为x，根据（2）的规律可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再判断位置即可． 【详解】教材再现 （1）日历图中框出的9个数之和为：， 该方框正中间的数是11，， 所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍； （2）成立；如果用a表示正中间的数，则其他八个数依次为：， ∵， ∴这9个数的和等于； 活学活用 （1）， 十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍； （2）设中间的数为x，则另外四个数分别为、、、， ； （3）不能，理由如下： 设中间的数为x，根据题意得：， 解得； ∵402在第41行的第一个数字， 框住的五个数的和不能等于2010． 【题型7：数字问题】 【典例7】【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．                (1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方． (2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________； (3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由． (4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________． 【答案】(1)见解析（答案） (2)3 (3)能，见解析 (4)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，抓住幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可； （2）根据规则知，据此求解可得x的值； （3）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可； （4）根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和，可得每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等．图中有四个三角形，四个三角形上的数字相加后，中间正方形四个顶点上的数字之和就多算了一遍，所以所给的8个数字的和除以3即可得到每个三角形三个顶点的数字之和，代入求解即可． 【详解】（1）解：如下表： 6 1 2 3 7 4 5 0 （2）由题意知， 解得， 故答案为：3； （3）解：∵， ∴只要使每行、每列、每条对角线上的三个数的和为33即可． 如下表： 12 3 18 17 11 5 4 19 10 （4）解：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等， 每个三角形的三个顶点上的数字之和， ，， ，，， 所给的数剩下7，6，3，2，，， ，，，或，，，， 或， 或 故答案为∶或． 【变式7-1】观察下面三行数： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第①行 第②行 第③行 解决下面问题： (1)第①行的第7个数为____，第②行的第7个数为____，第③行的第7个数为____； (2)假设某一列第三行的数是，用含的式子表示这一列第①行中的数是____，这一列第②行中的数是____； (3)在某一偶数列的3个数中，最大的数与最小的数的差是384，求这三个数． 【答案】(1)128，129， (2)， (3)128，， 【分析】本题考查数字类规律探究，列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）根据已有数据，得到第①行数的第n列数是：，第②行数的第n列数是：，第③行数的第n列数是：，求解即可； （2）根据三行数字之间的关系，列出代数式即可； （3）设偶数列的第③行数为 ，则偶数列的第①行数为 ，偶数列的第①行数为 ，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知： 第①行数的第n列数是：，所以第①行数的第7列数是：；第②行数的第n列数是：，所以第②行数的第7列数是：； 第③行数的第n列数是：，所以第③行数的第7列数是：， 故答案为：128，129，； （2）因为某一列第③行的数乘上等于某一列第①行的数， 所以这一列第①行中的数是， 因为某一列第③行的数乘上，再加上1等于某一列第②行的数， 所以这一列第②行中的数是， 故答案为：，； （3）设偶数列的第③行数为 ，则偶数列的第①行数为 ，偶数列的第①行数为 ； 所以第①行的数最小，第③行的数最大， 所以 解得：， ∴这三个数为：128，，． 【变式7-2】我国古代的“九宫格”是由的方格构成，每个方格内均有不同的数字，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，设这个和为，下图给出了一个“九宫格”的部分数字． 计算：求的值； 探究：设数字左面方格的数为，求的值； 发现：直接写出的值． 【答案】；； 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，理解题意．由可求出；根据可求出；求出右面方格的数即可求出． 【详解】解：计算：由题意得：， 解得：；   探究：由题意得：，               解得：； 发现：设数字右面方格的数为， 则， 解得：， ． 【变式7-3】如图是由正奇数排成的数阵： (1)请计算图中“工”形框中七个数的和是中间数45的几倍； (2)在数阵中任意做一个这样的“工”形框，（1）中的关系是否仍成立?并写出理由； (3)用这样的“工”形框能框出和为2023的七个数吗?如果能，求出这七个数中间的数；如果不能，请写出理由． 【答案】(1)七个数的和为是中间数45的7倍 (2)仍成立，七个数的和为是中间数45的7倍，理由见解析 (3)不能框出和为2023的七个数，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出算式或方程，准确计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为x，根据七个数的和为2023，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 答：七个数的和为是中间数的7倍． （2）解：仍成立． 设中间数为x，则另六个数为，，，，，， 则七个数的和为： ， 故七个数的和为是中间数的7倍． （3）解：设中间数为x，依题得， 解得：， 经检验289处于数表的第一列， 故不能框出和为2023的七个数． 【题型8：几何问题】 【典例8】某健身广场由6个正方形拼成一个长方形（如图），已知中间最小的正方形A的边长是1米，请按要求回答下列问题： (1)若设图中最大正方形B的边长是米，请用含的代数式分别表示出正方形F、E和C的边长； (2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的和），请根据这个等量关系，求出的值及广场（矩形）的面积； (3)现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问还需要多少天完成？ 【答案】(1)（）米，（）米，（）米 (2)， (3)10天 【分析】本题考查了列代数式并求值，一元一次方程的应用； （1）结合图形，根据正方形之间的关系，即可求解； （2）由（1）得，，由已知条件得，据此列方程求解，将解代入 即可求解； （3）甲的工作效率为，乙的工作效率为，等量关系式：甲和乙天共同完成的工作量乙单独完成的工作量，据此列方程，解方程，即可求解； 找出正方形各边长之间的关系和等量关系是解题关键． 【详解】（1）解：由题意得 正方形F的边长：米， 正方形E的边长：米， 正方形C的边长：米； （2）解：由题意得 （米）， （米）， ， ．                 解得：．                                           （）， 故的值是，广场（矩形）的面积 ． （3）解：设乙队单独施工还需要天可以完成，根据题意得： ， 解得：， 答：余下的工程由乙队单独施工还需要10天完成． 【变式8-1】如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美长方形”，如图，“优美长方形”的周长为78，则正方形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，设正方形的边长为，由“优美长方形”的周长得，再求出分别求得，，进而建立方程计算即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， “优美长方形”的周长为78， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为9， 故选：B． 【变式8-2】一块长方形菜地长18m，如果把它的长增加到22m，宽减少3m，它的面积大小正好没变．这块长方形菜地的面积是多少平方米？ 【答案】这块长方形菜地的面积是297平方米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设原长方形的宽为米，根据题意和长方形的面积长宽列方程求解即可． 【详解】解：设原长方形的宽为米， 由题意得：， 解得：， （平方米）， 答：这块长方形菜地的面积是297平方米． 【变式8-3】四个同样大小的长方形和一个正方形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积是400平方厘米，小正方形的面积（阴影部分）是4平方厘米，求长方形的长和宽（长和宽均为整数）． 【答案】长是11厘米，宽是9厘米 【分析】此题主要考查了一元一次方程组的应用，关键是根据等量关系长宽厘米列出方程．首先根据大正方形的面积可得大正方形的边长为20厘米，再由小正方形的面积是4平方厘米可得小正方形的边长为2厘米，再根据图示可设长方形的长为厘米，则宽为厘米，根据等量关系长宽厘米列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为大正方形的面积是400平方厘米，小正方形的面积（阴影部分）是4平方厘米， 所以大正方形的边长是20平方厘米，小正方形的边长（阴影部分）是2厘米， 设长方形的长为厘米，则宽为厘米，由题意得： ， 解得， ． 故长方形的长是11厘米，宽是9厘米． 【题型9：水费和电费问题】 【典例9】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源.某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图． (1)若某户居民1月份用水8 m3，则水费 元； (2)若某户居民某月用水x m3，则用含x的代数式表示水费； (3)若某户居民3、4月份共用水15 m3，（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)20 (2) (3)3月份4m3，4月份11m3 【分析】（1）根据价目表进行计算即可； （2）根据题意分类讨论：当时，当时，当时，再根据价目表分别表示出水费即可； （3）设该户居民3月份用水立方米，则该户居民4月份用水立方米，根据题意分类讨论，列方程计算即可． 【详解】（1）由题意得（元）， 故答案为：20； （2）当时，水费为元； 当时，水费为元，即水费为元； 当时，水费为元，即水费为元； 综上，水费为； （3）设该户居民3月份用水立方米，则该户居民4月份用水立方米， ①3月份的用水量不超出6立方米，则4月份的用水量超出6立方米不超出10立方米， 可列出方程， 解得， ， 不符合4月份的用水量超出6立方米不超出10立方米的前提，故不符合题意； ②3月份的用水量超出6立方米不超出10立方米，4月份的用水量超出6立方米不超出10立方米， 可列出方程， 此方程无解，故不符合题意； ③3月份的用水量不超出6立方米，4月份的用水量超出10立方米， 可列出方程， 解得， ，符合题意； 综上，3月份用水4立方米，4月份用水11立方米． 【点睛】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，准确理解题意，准确作出等量关系是解题的关键． 【变式9-1】为增强居民节约用水意识，某市在2020年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如表： 每月用水量x立方米 水费单价（元/立方米） a 超出22立方米的部分 某户居民六月份用水18立方米时，收缴水费元． (1)求a的值． (2)若该户居民七月份所缴水费为元，求该户居民七月份的用水量．（用方程求解）． 【答案】(1) (2)30立方米 【分析】（1）根据时的水费标准，列出方程，即可求解； （2）根据题意可得，再根据超出22立方米的部分水费单价为元/立方米，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为； （2）解：设该户居民四月份的用水量为x立方米． ∵，， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民七月份的用水量为30立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式9-2】为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量 单位：度 电费价格 单位：元度 一档 不超过度的电量      二档 至度之间的电量      三档 超过度的电量      (1)小明家七月份共用电度，求小明家七月份应交多少电费？ (2)如果某户居民某月用电度，请用含的代数式表示该户居民该月应交电费． (3)小明家九月份的电费是元，求该月用电多少度？ 【答案】(1)小明家七月份应交元电费 (2)电费元 (3)度 【分析】根据阶梯收费可求出小明家七月份电费； 根据阶梯收费可得出结论； 先判断九月份的电费在的范围，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，小明家七月份的电费为： （元）， 小明家七月份应交元电费； （2）根据题意可得，． 该户居民该月应交电费元； （3）当用电度时，应交电费（元）， 当用电度时，应交电费（元）， 设小刚家八月份的用电量千瓦时， ， ， ， 解得． 该月用电度． 【点睛】本题考查解一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法，根据题意列式或列方程是解题关键． 【变式9-3】为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费2元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费2.5元；小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费，但她不清楚家里每月用水是否超过20吨． (1)如果小红家每月用水15吨，则水费是 元；如果小红家每月用水23吨，则水费是 元． (2)如果字母x表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该如何用x的代数式表示． 当时，每个月的水费为： （用含x的代数式表示）； 当时，每个月的水费为： （用含x的代数式表示）； (3)小红家第二季度交纳水费的情况如下： 月份 四月份 五月份 六月份 交费金额（单位：元） 26 34 50.5 小红家这个季度共用水多少吨？ 【答案】(1)30，47.5 (2)， (3)54.2吨 【分析】（1）根据所给的两种收费标准进行计算即可得到答案； （2）根据所给的两种收费标准列式即可； （3）由表格数据可知四月和五月的用水量不超过20吨，六月份的用水量超过20吨，由此根据（2）所求建立方程求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，如果小红家每月用水15吨，则水费是元；如果小红家每月用水23吨，则水费是元， 故答案为：30，47.5； （2）解：由题意得，当时，每个月的水费为元， 当时，每个月的水费为元， 故答案为：，； （3）解：由题意得， 解得， ∴四月用水13吨； 同理可得，五月份用水17吨； ， 解得， ∴六月份用水24.2吨， ∴这个季度一共用水吨． 【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 【变式9-4】下表是两种“优惠套餐”计费方式．（月费固定收，主叫不超时，流量不超量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月费（元） 主叫（分钟） 流量 接听 超时（元/钟） 超流量（元/） 方式一 49 200 50 免费 0.20 3 方式二 69 250 65 免费 0.15 2 (1)若某月小郭主叫通话时间为320分钟，上网流量为，则她按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；若她按方式二计费需119元，主叫通话时间为234分钟，则上网流量为___________； (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)133；89.5；90． (2)若上网流量为，当主叫通话时间分钟时，两种方式的计费相同． 【分析】（1）分别按照方式一与方式二的方案进行计算，求解流量时，要注意先减去月费再用剩余的费用除以超流量的单价，最后要加上套餐内包含的流量； （2）分别在，，中进行讨论求解即可． 【详解】（1）方式一：（元）， 方式二：（元）， 使用流量：， 故答案为：133；89.5；90． （2）当时，， ∴此时不存在这样的t； 当时，， 解得； 当时，， 解得．不合题意，舍去， 故若上网流量为，当主叫通话时间为分钟时，两种方式的计费相同． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准数量关系正确进行计算和列方程是解题的关键． 【题型10：比例分配问题】 【典例10】有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 【答案】甲仓库原来存货 吨 【分析】设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，即甲乙丙仓库的存货吨数比为， ∴设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨， 根据题意得， 解得：， ∴甲仓库原来存货吨数是吨， 答：甲仓库原来存货 吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式10-1】某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，本题先分别表示新工艺的废水排量为，旧工艺的废水排量为，再利用比值的含义建立方程即可；确定相等关系是解本题的关键． 【详解】解：设环保限制的最大量为，则 ， 故选：A． 【变式10-2】甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？ 【答案】甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书 【分析】设甲爱心人士捐了册图书，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：设甲爱心人士捐了册图书， ∵甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是， ∴乙、丙两位爱心人士捐赠图书的册数为：， 由题意，得：， 解得：， ∴， 即：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书； 答：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 【变式10-3】某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 【答案】 【分析】设三种型号三种洗衣机分别生产台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣机1500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设三种型号三种洗衣机分别生产台， 依题意得：， 解得：， ∴， ， 答：三种型号三种洗衣机分别生产． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，此题首先根据三种洗衣机的数量比为设未知数，然后根据今年计划生产洗衣机的总台数列出方程，由此即可解决问题． 【变式10-4】某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作镜架，女工负责制作镜片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，那么要调多少名女工帮男工制作镜架？ 【答案】(1)该工厂有男工36人，女工52人； (2)12名女工． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，确定等量关系列方程是解题的关键． （1）设该工厂有男工x人，则女工有人，利用总人数是88人列方程求解即可． （2）设调y名女工帮男工制作镜架，利用镜片是镜架的二倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人． 由题意得， 解得， 所以女工有（人）． 答：该工厂有男工36人，女工52人． （2）设调名女工帮男工制作镜架． 由题意得， 解得． 答：如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，要调12名女工帮男工制作镜架． 【题型11：古代问题】 【典例11】我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 【详解】设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 【变式11-1】《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键．根据题意设甲出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式． 【详解】解：设甲出发x日，甲乙相逢，则乙出发日，故可列方程为： ． 故选：A 【变式11-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少?若设人数为x人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，每人出八钱，会多三钱得到总钱数为，每人出七钱，又差四钱得到总钱数为，根据总钱数相等建立方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 【变式11-3】中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，三车空；三人共车，十人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每四人乘一车，最终剩余3辆车，若每3人共乘一车，最终剩余10个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解题的关键．设有x辆车，根据每四人乘一车，最终剩余3辆车，若每3人共乘一车，最终剩余10个人无车可乘，进而表示出两种情况的总人数，得出等式即可． 【详解】解：设有x辆车，则可列方程为， ， 故答案为：． 【题型12：其他问题】 【典例12】轩轩公司现有甲、乙两级粉刷技工各3人，每名甲级技工每天可以粉刷，每名乙级技工每天可以粉刷，轩轩每天支付给每名甲级技工工资500元，轩轩通过计算得出，平均每粉刷墙壁，支付给每名甲级技工的工资比支付给每名乙级技工的工资多元． (1)求轩轩每天支付给每名乙级技工的工资是多少元； (2)现有一批房间墙壁需要粉刷，每间大房间的墙壁面积比每间小房间的墙壁面积多，5间小房间的墙壁面积比6间大房间的墙壁面积少，求每间大房间的墙壁面积是多少平方米； (3)在（2）的条件下，现有两个工程同时开工，A工程需要粉刷8间大房间，10间小房间，B工程需要粉刷12间大房间，7间小房间．A工程派1名甲级技工和2名乙级技工去完成，剩余技工派往B工程．粉刷一间大房间工程负责人需要支付给轩轩2500元，粉刷一间小房间支付给轩轩2300元．粉刷前轩轩去建材市场购买油漆，每桶油漆能粉刷墙壁进价2600元．请通过计算进行比较，完成工程后轩轩在哪个工程中获得的利润最大？ 【答案】(1)300元 (2)50平方米 (3)A工程17800元，B工程17500元，A工程利润大 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）先求出甲级技工平均每粉刷墙壁的工资，进而求出乙级技工平均每粉刷墙壁的工资，再根据乙级技工每天可以粉刷即可求出答案； （2）设每间大房间的墙壁面积是x平方米，则每间小房间的墙壁面积是平方米，根据5间小房间的墙壁面积比6间大房间的墙壁面积少列出方程求解即可； （3）根据（2）所求求出A工程的墙面总面积为平方米，B工程的墙面总面积为平方米，再分别计算出两个工程的利润，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：轩轩每天支付给每名乙级技工的工资是300元； （2）解：设每间大房间的墙壁面积是x平方米，则每间小房间的墙壁面积是平方米， 由题意得，， 解得， 答：每间大房间的墙壁面积是50平方米； （3）解：由（2）可知每间大房间的墙壁面积是50平方米，每间小房间的墙壁面积是40平方米 ∴A工程的墙面总面积为平方米，B工程的墙面总面积为平方米， ∴A工程的利润为元， B工程利润为 ， ∵， ∴A工程中获得的利润最大． 【变式12-1】某条公路的一侧原有电线杆103根（两端都有），相邻的2根相距．现计划把他们全部换成大型水泥电线杆，相邻的两根相距，则需要大型水泥电线杆（    ） A．67根 B．68根 C．69根 D．70根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设需要大型水泥电线杆x根，原有电线杆103根（两端都有），相邻的2根相距，则这条公路的一侧长为，再根据两根大型水泥电线杆相距以及一共有个间隔建立方程求解即可． 【详解】解：设需要大型水泥电线杆x根． 根据题意，得， 解得， ∴需要大型水泥电线杆69根， 故选：C． 【变式12-2】国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费的的税；（3）稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的的税．已知丁老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税420元，则丁老师的这笔稿费有 元． 【答案】3800 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，先求出当稿费为4000元时，应纳税元，则可推出丁老师的稿费在800元元之间，设丁老师的这笔稿费有x元，则，解方程即可得到答案． 【详解】当稿费为4000元时，应纳税（元）． 因为， 所以丁老师的稿费在800元元之间． 设丁老师的这笔稿费有x元． 根据题意可列方程， 解得． 故丁老师的这笔稿费有3800元， 故答案为：3800． 【变式12-3】参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销．保险公司制定的报销细则如下表：某人住院治疗得到保险公司报销金额是11000元，此人的住院医疗费为元 ． 住院医疗费（元） 报销率（） 不超过5000元的部分 0 5000—10000元的部分 60 超过10000元的部分 80 【答案】20000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，第二档最多报元，确定这人住院医疗费在第三档，其中5000元不报销，5000元报销率是60%，其余的报销率是80%，据此求解即可． 【详解】设住院医疗费为x元． ∵此人得到的报销金额为11000元， ∴在第三档， 可得 解得， 所以此人住院的医疗费为20000元． 故答案为：20000． 【变式12-4】如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案．    (1)第个图案中有根小棒；第个图案中有 根小棒；第个图案中有 根小棒 (2)第个图案中有 根小棒； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，由根小棒摆成？如果有，指出是第几个图案；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）根据图形计算出第个图案和第个图案中小棒的数量即可； （2）由图中小棒数量的计算规律可得出第个图案小棒的数量； （3）利用（2）中的规律建立方程求得答案即可； 解题的关键是找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第个图案中有根小棒． 【详解】（1）解：第个图案中有根小棒；第个图案中有根小棒， 故答案为：；； （2）由图可知：第个图案中有小棒：（根）， 第个图案中有小棒：（根）， 第个图案中有（根）， …， ∴第个图案中有小棒的根数为：（根）， 故答案为：； （3）不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵为正整数， ∴不存在由根小棒摆成的图案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 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