第21讲 画角的和、差与角的平分线 余角、补角（四类知识点+七大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第21讲 画角的和、差与角的平分线 余角、补角（七大题型） 学习目标 1、了解角的和、差关系，并学会计算； 2. 学会角的平分线的定义、作图及有关计算； 3、掌握余角、补角的概念及计算。 1.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 2.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 角平分线的画法：①用量角器作角平分线 例 5 如 图 4 - 2 - 1 9 , 已 知 ∠ABC, 画出它的平分线. 解如图4 - 2 - 20, ①用量角器量得∠ABC=48°,所 以 ② 以B 为顶点，射线 BA为一边，在∠ABC的内部用量角器画∠ABM=24. BM 就是所要画的∠ABC的平分线. ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 3、余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【即学即练1】如图，点O在直线上，射线平分，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，由角平分线可知，即可求出的大小． 【解析】解：射线平分， ， ， ， ， 故选：C． 【即学即练2】已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求． 【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 【即学即练3】如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用角平分线的定义分别分析得出答案． 【解析】解：A、，不能确定平分，故此选项不合题意； B、，不能确定平分，故此选项不合题意； C、，能确定平分，故此选项符合题意； D、不能确定平分，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键． 【即学即练4】已知，则的余角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义即可求解 【解析】解：的余角的大小是， 故答案为：． 【即学即练5】一个角的余角比它的补角的还多，求这个角． 【答案】 【分析】 先设出这个角的度数为，可写出它的余角为，补角为，根据题意，可得出余角和补角之间的一个等量关系，解之即可求得这个角的度数． 【解析】 解：设这个角为，则它的余角为，补角为， 根据题意得，， 解之得，， 答：这个角等于． 【点睛】本题考查了角的互余和互补关系，要求学生掌握． 题型1：尺规作图 【典例1】．根据图形，写出OC与∠AOB的位置关系，并用数学符号写出∠AOB与∠COB的大小关系． 【答案】OC在∠AOB内部，∠AOB>∠COB，OC在∠AOB外部，∠AOB<∠COB，OC与∠AOB的边射线OA重合，∠AOB=∠COB 【分析】根据图形及角度大小关系即可判断． 【解析】如图①，OC在∠AOB内部，故∠AOB>∠COB； 如图②，OC在∠AOB外部，故∠AOB<∠COB； 如图③，OC与∠AOB的边射线OA重合，∠AOB=∠COB． 【点睛】此题主要考查角度之间的关系，解题的关键是根据图形数形结合进行求解． 【典例2】．已知射线BC，∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠β（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】根据尺规作角的方法即可求解． 【解析】如图，∠ABC为所求． 【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知尺规作角的方法． 【典例3】．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求． 【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 【典例4】．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．    【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 题型2：角平分线有关的计算 【典例5】．如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义求出即可解答． 【解析】解：平分， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟记概念与性质并准确识图是关键． 【典例6】．如图，平分，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【解析】解：平分， ， 故选D． 【典例7】．如图，点O在直线上，射线平分，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，由角平分线可知，即可求出的大小． 【解析】解：射线平分， ， ， ， ， 故选：C． 【典例8】．如图所示，点在直线上，射线平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平角的定义，角的分类，熟记定义是解本题的关键． 【解析】解：∵点在直线上，射线平分， ∴， ∴是钝角，是锐角，是直角，不是平角； 故选：D． 【典例9】．如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用角平分线的定义分别分析得出答案． 【解析】解：A、，不能确定平分，故此选项不合题意； B、，不能确定平分，故此选项不合题意； C、，能确定平分，故此选项符合题意； D、不能确定平分，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键． 【典例10】．如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=20°,则∠AOB等于(　　). A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】B 【分析】由题意，根据角平分线的性质可知∠AOD= ∠COD=∠AOC ，根据角之间的等量关系∠BOC=2∠AOB ，∠BOC=∠COD+∠ BOD以及∠AOB=∠AOD- ∠BOD ，进行求解即可． 【解析】因为OD平分∠AOC ，所以∠COD =∠AOD =∠AOC ；又因为∠BOC=2∠AOB ，所以∠COD+∠BOD=2(∠AOD-∠BOD) ，所以3∠BOD=2 ∠AOD-∠COD =∠AOD =∠COD ；因为∠BOD=20°，所以∠AOB= ∠AOD- ∠BOD =2∠BOD =40°． 【点睛】本题主要考查角的运算和角平分线的性质定理． 题型3：角的n等分线有关的计算 【典例11】．如图，的内部有射线OC、OD，且，，则OC是 的平分线，OC是 的一条三等分线，OC也是 的一条四等分线，OD是 的平分线，OD也是 的一条四等分线． 【答案】 【分析】根据角平分线及三等分线和四等分线的定义逐个判断即可． 【解析】解：∵， ∴OC是的平分线， ∵，， ∴， ∴， ∴OC是的一条三等分线， ∵，， ∴， ∴OC、OD是的两条四等分线， ∵， ∴OD是的平分线， 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查了角的角平分线及三等分线和四等分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． 【典例12】．如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【答案】D 【分析】根据，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题． 【解析】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角的倍分关系，正确得到∠AOC与∠AOB 的关系是解题的关键． 【典例13】．如图，OB，OC分别是，的三等分线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由角的三等分线的含义先求解 再结合角的三等分线可得从而可得答案. 【解析】解： ，OB是的三等分线， OC分别是的三等分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角的三等分线的应用，结合角的和差关系理解图形中的三等分线是解本题的关键. 【典例14】．如图，已知，且图中所有角的和等于，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】设，找出图中有6个角，它们相加的和为，从而求出，进而可求得． 【解析】解：如图，设， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的计算，根据图象列出所有角和为是解此题的关键． 【典例15】．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【解析】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 【典例16】．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】根据角的和差即可得到结论． 【解析】解：∵∠BOE=∠BOC， ∴∠BOC=n∠BOE， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE， ∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE， ∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键． 题型4：余角 【典例17】．已知，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了余角，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90度．本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角． 【解析】解：根据定义的余角度数是． 故选：A 【典例18】．如图所示，的大小可由量角器测得，则的余角的大小为（  ）    A．60° B．120° C．30° D．90° 【答案】C 【分析】根据和为90度的两个角互余，进行求解即可． 【解析】解：由图可知：， ∴的余角的大小为； 故选C． 【典例19】．如图，点A、O、D在同一条直线，，则图中互为余角的角有（    ） A．2对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】A 【分析】本题结合图形考查了余角的和等于的性质，找出和等于的两个角是解题的关键． 根据余角定义，数形结合即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴，， ∴， ∴图中互为余角的角有2对， 故选：A． 题型5：补角 【典例20】．若是的补角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义即可求解，掌握补角的定义是解题的关键． 【解析】解：∵是的补角， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【典例21】．一个角的补角比这个角的2倍还多，则这个角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了补角的定义以及一元一次方程的实际应用，设这个角的度数为，则这个角的补角为：，根据题意列出关于的一元一次方程， 解方程即可求解． 【解析】解：设这个角的度数为，则这个角的补角为：， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 【典例22】．下列结论中不正确的是（    ） A．一个角的补角一定大于这个角． B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，那么． D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度． 【答案】A 【分析】此题考查的是对角的性质的理解，根据余角、补角的性质、同角的余角相等的性质进行判断即可． 【解析】解：A、角的补角等于这个角，故原说法错误，符合题意； B、一个角的度数为，则这个角的补角的度数为，故原说法正确，不符合题意； C、若，那么，故原说法正确，不符合题意； D、一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度，故原说法正确，不符合题意． 故选：A． 题型6：与余角、补角有关的计算 【典例23】．如果， 的余角= ， 的补角= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角与补角的含义，掌握余角与补角的定义是关键．根据余角与补角的定义容易求出的余角，的补角． 【解析】 解：的余角； 的补角； 故答案为：，． 【典例24】．已知和互为补角，并且的一半比大，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查补角，角度的和差运算，掌握补角的概率及计算，角度的运算，解方程的方法是解题的关键． 【解析】解：根据题意得，，，则， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 【典例25】．已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】根据题意得和的度数相等，解出n的值，求出的度数，再根据互为补角的两个角的和为，即可求出的度数． 本题考查了余角和补角的计算，关键是知道一个角与另外两个角互为补角，则这两个角相等． 【解析】∵是的补角，是的补角， ∴， 解得， ， 。 故答案为： 【典例26】．是直角，是位于内的一条射线，平分，平分，则补角的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】先根据题意得出，再根据角平分线的定义得出，于是问题得解． 本题考查了余角和补角，角平分线，熟练掌握角之间的和差计算是解题的关键． 【解析】解：是直角，是位于内的一条射线， ， 平分，平分， ，， ， ， 补角的度数为， 故答案为：． 题型7：角的计算综合解答题 【典例27】．已知为直线上一点，，平分．若，求、的度数． 【答案】，． 【分析】 本题主要考查了角平分线的定义及角的和差的有关运算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键，由，得．再根据角平分线的定义得，从而求得、的度数． 【解析】 解：， ． 平分， ， ， ． 【典例28】．如图，点O是直线上的一个点，从点O引两条射线、，使的度数之比为，那么： (1)的度数为 ； (2)余角的度数为 ； (3)与的度数之比为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题主要考查了角的计算，余角补角的相关计算，数形结合是解题的关键． （1）根据两角之比即可求解； （2）由余角的定义即可求解； （3）由周角定义可得结论． 【解析】（1） 解：， ； （2） （2）， ， 的余角； （3） ， ， ． 【典例29】．填空：已知，，平分，， (1)如图，在内部时，求的度数． 解：， ， ， ， （_________________）（填写推理依据）， ， ， 平分， _____=_____°（__________）（填写推理依据）， ______°． (2)若在外部，的度数为________． 【答案】(1)同角的余角相等，，，角平分线的定义， (2) 【分析】本题考查的是与余角相关的计算，角平分线的定义，理解角的和差的运算是解本题的关键． （1）利用同角的余角及角平分线的定义，根据每一步的提示结合条件，填写推理依据即可； （2）作出图形，类比（1）即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴（同角的余角相等）， ∵， ∴， ∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∴． 故答案为：同角的余角相等，，，角平分线的定义，； （2）在外部时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例30】．如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的放置图2的位置，其他条件不变，探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】 本题主要考查角度的计算和角平分线的特点，正确进行角度之间的转化是解题的关键． （1）根据是直角，可得，由平分，可得，从而可得． （2）先根据与之间的关系转化出，再根据这一关系代入化简即可得出． 【解析】（1） 是直角，， ， 又平分， ， ． （2） ．理由如下： 是直角，平分， ， ， ， ． 一、单选题 1．如图，射线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义可得． 【解析】解：∵射线平分，， ∴， 故选：C． 2．已知平分，则下列各式：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．只有（1） B．只有（1）（2） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义逐项判断即可，熟知角平分线的定义是解题的关键． 【解析】解：∵平分， ∴，， ∴结论正确的有（1）（2）（3）， 故选：D． 3．一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据余角和补角的定义得出结果． 【解析】解：∵一个角的度数为54°11′23″， ∴这个角的余角的度数为：90°-54°11′23″=35°48′37″； 补角的度数为：180°-54°11′23″=125°48′37″． 故选：A． 【点睛】本题考查了余角与补角的定义，主要记住互为余角的两个角的和为90度，互为补角的两个角的和为180度，比较简单． 4．如图，直线交于点O，平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平角结合角平分线的定义，求出的度数，再根据平角的定义，进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选：C 5．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，那么下列各式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，得出角与角的关系．再根据选项选取正确答案． 【解析】是的平分线，是的平分线， ， ， 即 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分的定义，解题关键是由角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解． 6．以下哪个角不能借助一副三角板的拼摆得到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算．解题的关键是在进行角的计算时，能够结合实际，动手操作拼摆． 先明确一副三角板的六个角共有四个度数，、、、．然后进行加减运算，找到符合条件的角． 【解析】解：借助一副三角板（分别含，，与，，的角）的拼摆，能画出的角： ，，，，，；． 不能画出的角是的角． 故选：C． 7．若，，则与的关系是（    ） A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 【答案】B 【分析】把两个角相加，然后根据余角的定义解答． 【解析】解：∵∠α+∠β=45°-n°+45°+n°=90°， ∴∠α与∠β互余． 故选：B． 【点睛】本题考查了余角的定义，求出两个角的和等于90°是解题的关键． 8．下列说法中错误的有（    ）． （1）一个锐角的余角比这个角大； （2）一个锐角的补角比这个角大； （3）一个钝角的补角比这个角大； （4）直角没有余角，也没有补角； （5）同角或等角的补角相等； （6）若与互余，与互余，则与也互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角进行解答即可． 【解析】（1）若已知的锐角＞等于45°，则它的余角＜等于45°．错误； （2）锐角的补角是钝角，正确； （3）一个钝角的补角一定是锐角，所以钝角的补角比这个角小，错误； （4）直角有补角，补角为90°，错误； （5）根据补角定义，同角或等角的补角相等，正确； （6）若与互余，与互余，则=，错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是余角和补角，熟知相关定义是解答此题的关键． 9．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余角的定义可直接进行排除选项． 【解析】解：A、∠1与∠2不互余，故本选项错误； B、∠1与∠2不互余，故本选项错误； C、∠1与∠2不互余，故本选项错误； D、∠1与∠2互余，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查余角的定义，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 10．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果． 【解析】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°， ∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠BOM=∠BOC=65°， ∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°， ∵ON平分∠AOC， ∴∠AON=∠AOC=20°， ∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°． ∴∠MON的度数是45°． 故选：A． 【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键． 二、填空题 11．已知，则它的余角等于 度． 【答案】40 【分析】直接根据互余的两个角的和为90°解答即可． 【解析】解：根据余角的概念，若，则它的余角为90°﹣50°＝40°． 故答案为：40． 【点睛】此题考查的是余角的概念，掌握其概念是解决此题关键． 12．一个角为57°13′、则它的补角等于 ． 【答案】122°47′ 【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解． 【解析】解：∵一个角是57°13′， ∴它的补角=180°-57°13′=122°47′， 故答案为：122°47′． 【点睛】本题考查了余角和补角，熟记补角的定义是解题的关键，计算时要注意度分秒是60进制． 13．点A在点B的北偏东方向上，点C在射线与正北方向夹角的角平分线上，那么点B测点C的方向是北偏东 度． 【答案】30 【分析】本题主要考查了方位角，角平分线的定义，根据方位角的定义和角平分线的定义可知射线与正北方向的夹角为30度，据此可得答案． 【解析】解：如图所示，∵点A在点B的北偏东方向上，点C在射线与正北方向夹角的角平分线上 ∴点B测点C的方向是北偏东30度， 故答案为：30． 14．如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD＝2：11，则∠AOB＝ ． 【答案】20° 【分析】由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD，设∠AOB=2α，则∠AOD=11α，故∠AOB+∠BOC=5α=90°，解得α即可． 【解析】解：∵∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD， ∴∠AOB=∠COD， 设∠AOB=2α， ∵∠AOB：∠AOD=2：11， ∴∠AOB+∠BOC=9α=90°， 解得α=10°， ∴∠AOB=20°． 故答案为20°． 【点睛】此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键． 15．如图，是的平分线，，，则 ， ， ． 【答案】 【分析】根据，可求出的度数，即可求的度数，然后根据是的平分线即可求出的度数． 【解析】∵，， ∴； ∴； ∵是的平分线， ∴． 故答案为：；；． 【点睛】此题考查了角平分线的概念，角度之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握角平分线的概念，角度之间的数量关系． 16．如图，若OC、OD三等分，则 ， ， ． 【答案】 3 AOD 【分析】根据OC、OD三等分可得，由此即可求得答案． 【解析】解：∵OC、OD三等分， ∴， ∴3，， ∴， ∴， 故答案为：3；；；AOD． 【点睛】本题考查了角的三等分线及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． 17．已知与互为补角，且的比大，则的余角等于 ． 【答案】 【分析】利用补角的定义，结合题意中的比大列二元一次方程组，从而求得的度数，然后利用余角的概念求解． 【解析】解：由题意可得：， 解得， ∴的余角为 故答案为：27°． 【点睛】本题考查余角和补角的定义及二元一次方程组的应用，掌握概念，利用题目中的等量关系式正确列方程组求解是解题关键． 18．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解． 【解析】∵射线、分别经过刻度117和153 ∴ 把绕点逆时针方向旋转到，得 ∵， ∴，即①正确； ∵射线经过刻度27 ∵ ∴射线经过刻度为： ∴ ∴ ∴，即②正确； ∵，且 ∴ ∴ ∴射线经过刻度为：，即③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解． 三、解答题 19．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．    【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 20．根据下列语句在图中画图，并回答相应问题； 已知：∠AOB． （1）作射线OA的反向延长线OE； （2）向上作射线OC，使∠AOC＝90°； （3）作一条射线OD，使∠COD＝∠AOB； （4）图中小于平角的角共有_____个角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）9 【分析】（1）根据题意画图即可，作射线OA的反向延长OE； （2）根据题意利用三角板画图即可，使∠AOC＝90°； （3）根据题意利用量角器画图即可，使∠COD＝∠AOB； （4）根据已知的图形，将所有的角表示出来，平角除外，即可求得答案． 【解析】（1）如图，作射线OA的反向延长OE； （2）如图， （3）如图 （4）图中小于平角的角有,共计9个角； 故答案为：9． 【点睛】本题考查了画射线，角的定义，理解题意，掌握角的定义是解题的关键． 21．已知一个锐角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据这个角的补角比它的余角的3倍大，列出方程，解方程即可． 【解析】解：设这个角的度数为x度，根据题意得： ， 解得：， 答：这个角的度数为． 22．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，方程思想的应用．由角平分线知；设，由建立方程即可求得x的值，从而得；再角平分线的定义及和角关系即可求解． 【解析】解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 23．如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线是解答的关键． （1）根据尺规作角平分线的作图方法即可； （2）设，则，，根据角平分线的定义得到，根据已知条件结合角的运算得到关于x的方程，然后求解x值即可． 【解析】（1）解：如图，射线即为所求作； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴，解得， 即． 24．如图，已知已知，，平分，平分．求：的度数． 解：，， 　　　　． 平分， 　　　　． 同理：　　， 　　． 【答案】见解析 【分析】首先计算出的度数，再根据角平分线的性质可得，，进而根据角的和差关系算出的度数． 【解析】解：平分， ， ，， ， ， 平分， ， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分线的定义求出角的度数是解题关键． 25．如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．    (1)写出图中的互余的角___________， (2)___________度． (3)利用直尺和圆规作的角平分线． (4)射线OA、OE分别表示从点O出发东、西两个方向，那么点F点O的___________方向． 【答案】(1)和，和∠DOE (2) (3)见解析 (4)北偏东 【分析】（1）和为的两角互余，根据这个概念结合图形找角即可； （2）根据，可求的度数，然后再根据即可求的大小； （3）利用尺规作图作出图形即可； （4）找出正北方向，利用角的和差计算即可求解． 【解析】（1）解：因为， 所以，， 故和互余；和∠DOE互余； 故答案为：和；和∠DOE； （2）解：由（1）知， 所以， 所以， 故答案为：； （3）解：的角平分线如图：   ； （4）解：如图，作，即为正北方向， 因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以，    那么点F点O的北偏东方向． 故答案为：北偏东． 【点睛】本题主要考查了余角、补角、角的计算和度量，熟练掌握余角和补角的概念是解题的关键． 26．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．    (1)如图1，，，是的内半角，则________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转角为何值时，是的内半角； (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当旋转角度为时是的内半角 (3)能，分别为2秒，18秒，54秒，70秒 【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出的度数，再根据，可得出结论； （2）由旋转可分别求出和的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出的值； （3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间． 【解析】（1）解：如图1，，是的内半角，   ， ， ； 故答案为：． （2）解：如图2，由旋转可知，，   ，， 是的内半角， ，即， 解得，； （3）解：能，理由如下： 由旋转可知，；根据题意可分以下四种情况： ①当射线在内，如图4，    此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； ②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，，，    则是的内半角， ，即， 解得（秒； 如图6，此时，，，    则是的内半角， ，即， 解得（秒； ③当射线在内，如图7，    此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； 综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；18秒；54秒；70秒． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 画角的和、差与角的平分线 余角、补角（七大题型） 学习目标 1、了解角的和、差关系，并学会计算； 2. 学会角的平分线的定义、作图及有关计算； 3、掌握余角、补角的概念及计算。 1.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 2.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 角平分线的画法：①用量角器作角平分线 例 5 如 图 4 - 2 - 1 9 , 已 知 ∠ABC, 画出它的平分线. 解如图4 - 2 - 20, ①用量角器量得∠ABC=48°,所 以 ② 以B 为顶点，射线 BA为一边，在∠ABC的内部用量角器画∠ABM=24. BM 就是所要画的∠ABC的平分线. ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 3、余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【即学即练1】如图，点O在直线上，射线平分，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【即学即练3】如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（    ）    A． B． C． D． 【即学即练4】已知，则的余角的大小是 ． 【即学即练5】一个角的余角比它的补角的还多，求这个角． 题型1：尺规作图 【典例1】．根据图形，写出OC与∠AOB的位置关系，并用数学符号写出∠AOB与∠COB的大小关系． 【典例2】．已知射线BC，∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠β（不写作法，保留作图痕迹）． 【典例3】．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【典例4】．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    题型2：角平分线有关的计算 【典例5】．如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【典例6】．如图，平分，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【典例7】．如图，点O在直线上，射线平分，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例8】．如图所示，点在直线上，射线平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 【典例9】．如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（     ）    A． B． C． D． 【典例10】．如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=20°,则∠AOB等于(　 　). A．50° B．40° C．30° D．20° 题型3：角的n等分线有关的计算 【典例11】．如图，的内部有射线OC、OD，且，，则OC是 的平分线，OC是 的一条三等分线，OC也是 的一条四等分线，OD是 的平分线，OD也是 的一条四等分线． 【典例12】．如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【典例13】．如图，OB，OC分别是，的三等分线，若，则的度数为 ． 【典例14】．如图，已知，且图中所有角的和等于，则的度数为 ． 【典例15】．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【典例16】．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示） 题型4：余角 【典例17】．已知，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【典例18】．如图所示，的大小可由量角器测得，则的余角的大小为（  ）    A．60° B．120° C．30° D．90° 【典例19】．如图，点A、O、D在同一条直线，，则图中互为余角的角有（    ） A．2对 B．5对 C．6对 D．7对 题型5：补角 【典例20】．若是的补角，，则（    ） A． B． C． D． 【典例21】．一个角的补角比这个角的2倍还多，则这个角的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例22】．下列结论中不正确的是（    ） A．一个角的补角一定大于这个角． B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，那么． D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度． 题型6：与余角、补角有关的计算 【典例23】．如果， 的余角= ， 的补角= ． 【典例24】．已知和互为补角，并且的一半比大，则的度数为 ． 【典例25】．已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ． 【典例26】．是直角，是位于内的一条射线，平分，平分，则补角的度数为 ． 题型7：角的计算综合解答题 【典例27】．已知为直线上一点，，平分．若，求、的度数． 【典例28】．如图，点O是直线上的一个点，从点O引两条射线、，使的度数之比为，那么： (1)的度数为 ； (2)余角的度数为 ； (3)与的度数之比为 ． 【典例29】．填空：已知，，平分，， (1)如图，在内部时，求的度数． 解：， ， ， ， （_________________）（填写推理依据）， ， ， 平分， _____=_____°（__________）（填写推理依据）， ______°． (2)若在外部，的度数为________． 【典例30】．如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的放置图2的位置，其他条件不变，探究和之间的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．如图，射线平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知平分，则下列各式：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（     ） A．只有（1） B．只有（1）（2） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 3．一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为（     ）． A．， B．， C．， D．， 4．如图，直线交于点O，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 5．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，那么下列各式中正确的是（     ）． A． B． C． D． 6．以下哪个角不能借助一副三角板的拼摆得到（    ） A． B． C． D． 7．若，，则与的关系是（    ） A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 8．下列说法中错误的有（    ）． （1）一个锐角的余角比这个角大； （2）一个锐角的补角比这个角大； （3）一个钝角的补角比这个角大； （4）直角没有余角，也没有补角； （5）同角或等角的补角相等； （6）若与互余，与互余，则与也互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，则它的余角等于 度． 12．一个角为57°13′、则它的补角等于 ． 13．点A在点B的北偏东方向上，点C在射线与正北方向夹角的角平分线上，那么点B测点C的方向是北偏东 度． 14．如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD＝2：11，则∠AOB＝ ． 15．如图，是的平分线，，，则 ， ， ． 16．如图，若OC、OD三等分，则 ， ， ． 17．已知与互为补角，且的比大，则的余角等于 ． 18．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 三、解答题 19．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    20．根据下列语句在图中画图，并回答相应问题； 已知：∠AOB． （1）作射线OA的反向延长线OE； （2）向上作射线OC，使∠AOC＝90°； （3）作一条射线OD，使∠COD＝∠AOB； （4）图中小于平角的角共有_____个角． 21．已知一个锐角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的度数． 22．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 23．如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 24．如图，已知已知，，平分，平分．求：的度数． 解：，， 　　　　． 平分， 　　　　． 同理：　　， 　　． 25．如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．    (1)写出图中的互余的角___________， (2)___________度． (3)利用直尺和圆规作的角平分线． (4)射线OA、OE分别表示从点O出发东、西两个方向，那么点F点O的___________方向． 26．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．    (1)如图1，，，是的内半角，则________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转角为何值时，是的内半角； (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$