专题18 统计与概率综合（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题18 统计与概率综合（练习） 一、填空题 1．某校高二年级有300人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ． 2．同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，则“两个点数之和不小于4”的概率为 . 3．甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为 . 4．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 ． 5．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则 .    6．已知，，则 ． 7．三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则 . 8．袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 . 9．已知随机变量X服从二项分布，且，则 . 10．若随机变量，，则 . 11．如图所示，该分布的0.25分位数为 ． 12．已知变量y与x线性相关，若，且y与x的线性回归直线的斜率为2，则线性回归方程是 ． 13．对变量x、y有观测数据（i=1，2，…，10），得散点图如图1所示；对变量u、v有观测数据（i=1，2，…，10），得散点图如图2所示.由这两个散点图函可以判断变量x与y ，u与v .（填写“正相关”或“负相关”） 14．近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7    若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则 （填，，，） 15．一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表： 注意力稳定 注意力不稳定 男生 29 7 女生 33 5 依据，该 实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持）， 参考公式： 16．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ． 二、单选题 17．已知有8个数据：1，2，3，3，4，5，5，6，则以下选项正确的是（    ） A．众数为 B．第25百分位数为 C．极差为 D．平均数为4 18．用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 19．设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 20．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 21．下列命题正确的是（    ） A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．若随机变量，，则 22．如果、分别是A、B的对立事件，下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 23．将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为a和b，设事件A：“是3的倍数”，事件B：“”，事件C：“a和b均为偶数”. (1)写出该试验的一个等可能的样本空间，并求事件A发生的概率； (2)求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 24．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试.已知小明只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数X的分布及期望； (2)他能通过初试的概率. 25．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理得相关信息： 高一年级成绩分布表 等级 E D C B A 成绩（分数） 人数 1 2 3 4 10 (1)从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？ (2)分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望． 26．COP15大会原定于2020年10月15－28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11－24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》､《遗传资源议定书》缔约方会议．为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采．会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布直方图：    (1)求的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数. (2)用分层抽样的方法从这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图： ①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求的值； ②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是这组的概率． 27．某学校组织竞赛，有A，B，C三类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错只有2分，C问题答对得4分，答错0分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对3种问题的概率均为0.5，小明答对A，B，C问题的概率分别为0.3，0.7，0.5. (1)小红一共参与回答了3题，且该题分为为、和这类题，记X为小红的累计得分，求X的分布列； (2)小明也参与回答了3道问题，3道问题可以是同一类，也可以不是同一类，记Y为小明的累计得分，求该如何分配问题，使得E[Y]最大. 28．一场始于烟火，归于真诚的邂逅，让无数人赴山赶海“进淄赶烤”，淄博某烧烤店趁机推出150元烧烤套餐.某同学调研发现，烧烤店成本（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数（单位：份）的关系如下：    1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟． 参考数据与公式：设，则线性回归直线中，． 0.54 6.8 1.53 0.45 (1)试预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元．（利润=售价-成本，结果精确到1元） (2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为淄博配送的箱数的频率分布直方图，用这16天的情况来估计相应的概率．供货商拟购置辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 统计与概率综合（练习） 一、填空题 1．某校高二年级有300人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ． 【答案】120 【分析】根据样本量的定义求解即可. 【解析】由已知总体中的元素的个数为300，抽取变量为，故样本量为， 故答案为：120. 2．同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，则“两个点数之和不小于4”的概率为 . 【答案】 【分析】根据古典概型计算公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可. 【解析】同时抛掷两颗骰子，向上的点数有种情况， 两个点数之和小于4的情况为， 所以“两个点数之和不小于4”的概率为， 故答案为： 3．甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解 【解析】甲和乙下中国象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为， 甲乙和棋的概率为： 故答案为：. 4．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 ． 【答案】15 【分析】根据分层抽样原则直接计算即可 【解析】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人. 故答案为：15 5．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则 .    【答案】 【分析】根据茎叶图，以及极差和众数的定义，即可求解. 【解析】由茎叶图可知，甲的最低得分为6分，由甲得分的极差为32，可知，甲的最高得分为，所以的值为8， 乙得分的众数为26，所以的值为6， 所以. 故答案为： 6．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用条件概率公式可求得的值. 【解析】因为，由条件概率公式可得. 故答案为：. 7．三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则 . 【答案】 【分析】先分别计算事件和事件的情况数，在根据条件概率的定义计算. 【解析】根据条件概率的定义，的含义为在事件发生的前提下，事件发生的概率， 事件的情况数为， 对于事件，因为“三个点数都不相同”，则只有一个2点，故有种情况， 所以. 故答案为：. 8．袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 . 【答案】 【分析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，根据概率公式，即可得答案. 【解析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率， 所以. 故答案为： 9．已知随机变量X服从二项分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的期望公式，求得，得到，结合方差的公式，即可求解. 【解析】由题意知，随机变量服从二项分布， 因为，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 10．若随机变量，，则 . 【答案】0.77/ 【分析】根据正态曲线的对称性，即可求得答案. 【解析】由题意知随机变量，， 故，所以， 故答案为：0.77 11．如图所示，该分布的0.25分位数为 ． 【答案】 【分析】根据分位数的定义和正态分布的性质，即可求解． 【解析】且对称轴为轴， ， 该分布的0.25分位数为． 故答案为：． 12．已知变量y与x线性相关，若，且y与x的线性回归直线的斜率为2，则线性回归方程是 ． 【答案】 【分析】设线性回归方程为，根据回归方程的性质，把已知数据代入求得，则线性回归方程可求． 【解析】解：设线性回归方程为， ，，与的线性回归直线的斜率为2，即， ． 关于的线性回归方程为． 故答案为：． 13．对变量x、y有观测数据（i=1，2，…，10），得散点图如图1所示；对变量u、v有观测数据（i=1，2，…，10），得散点图如图2所示.由这两个散点图函可以判断变量x与y ，u与v .（填写“正相关”或“负相关”） 【答案】 负相关 正相关 【分析】根据散点图及正相关，负相关的概念即得. 【解析】由图1可知点散布在从左上角到右下角的区域，所以变量x与y负相关， 由图2可知点散布在从左下角到右上角的区域，所以变量u与v正相关. 故答案为：负相关；正相关. 14．近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7    若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则 （填，，，） 【答案】 【分析】根据散点图可知两个量呈负相关，且去掉数据后相关性变强，结合相关系数的概念判断即可. 【解析】根据散点图可知，羊只数量与草地植被指数呈负相关，则相关系数，， 当去掉第一年数据后，数据的线性相关性变强，所以，所以． 故答案为： 15．一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表： 注意力稳定 注意力不稳定 男生 29 7 女生 33 5 依据，该 实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持）， 参考公式： 【答案】支持 【分析】根据卡方公式计算即可做出判断. 【解析】由表中数据：， 所以没有足够把握认为学生在注意力的稳定性上与性别有关， 即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异. 故答案为：支持 16．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得. 【解析】由题意可知，X服从两点分布，可得，， ，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故最大值为． 故答案为：. 二、单选题 17．已知有8个数据：1，2，3，3，4，5，5，6，则以下选项正确的是（    ） A．众数为 B．第25百分位数为 C．极差为 D．平均数为4 【答案】B 【分析】根据众数、百分位数、极差和平均数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，根据众数的定义，可得数据的众数为和，所以A不正确； 对于B中，由，所以数据的第25百分位数为，所以B正确； 对于C中，根据极差的定义，可得数据的极差为，所以C不正确； 对于D中，数据的平均数为，所以D错误. 故选：B. 18．用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的定义判断即可. 【解析】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 即残差平方和最小. 故选：D 19．设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【解析】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 20．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 【答案】C 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【解析】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错. 故选：C. 21．下列命题正确的是（    ） A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．若随机变量，，则 【答案】D 【分析】根据百分位数、随机变量的方差的性质、二项分布的数学期望的性质、正态分布的对称性，逐项判断即可得结论. 【解析】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，因为，则，故C错误； 对于选项D，因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：， 则，所以，故D正确. 故选：D. 22．如果、分别是A、B的对立事件，下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据相互独立事件满足的关系即可判断A，根据假设即可判断BCD. 【解析】对于A，由，且， 可得， 所以，所以事件A与事件B相互独立，故A正确， 对于B，若事件A与事件B相互独立，则需满足， 由于，所以， 故无法确定事件A与事件B相互独立，B错误， 对于C， ， 若事件A与事件B相互独立，则或， 故事件A为必然事件或事件B为不可能事件， 显然无法确定事件A与事件B相互独立，故C错误， 对于D，由可得， 则，无法确定事件A与事件B相互独立，故D错误， 故选：A. 三、解答题 23．将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为a和b，设事件A：“是3的倍数”，事件B：“”，事件C：“a和b均为偶数”. (1)写出该试验的一个等可能的样本空间，并求事件A发生的概率； (2)求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 【答案】(1)样本空间见解析，； (2). 【分析】（1）列举法写出样本空间，古典概型的概率求法求事件A发生的概率； （2）列举出事件的基本事件，即可求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 【解析】（1）如下表格，行表示，列表示， 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格知：样本空间中基本事件有，共有36种； 事件的基本事件有，共有12种； 所以. （2）事件的基本事件有，共有5种； 事件的基本事件有，共有9种； 所以，事件的基本事件有，共有11种， 所以. 24．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试.已知小明只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数X的分布及期望； (2)他能通过初试的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据离散型分布列的解题步骤，结合数学期望的定义，可得答案； （2）根据题意，根据概率加法，可得答案. 【解析】（1）由题意可知， 则，， ，， 所以的分布列如下： . （2）由题意可知当与时，能通过初试， 则 25．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理得相关信息： 高一年级成绩分布表 等级 E D C B A 成绩（分数） 人数 1 2 3 4 10 (1)从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？ (2)分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先分别求出高一，高二中抽取一人，成绩不低于90分的概率，然后利用概率的乘法公式求解即可； （2）可取的值为，分别求出其概率即可得分布列，然后根据期望公式求期望即可. 【解析】（1）由已知得从高一的学生中抽取一人，成绩不低于90分的概率是， 从高二的学生中抽取一人，成绩不低于90分的概率是， 则从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是； （2）可取的值为， 则， ， ， ， 则的分布列为 所以 26．COP15大会原定于2020年10月15－28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11－24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》､《遗传资源议定书》缔约方会议．为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采．会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布直方图：    (1)求的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数. (2)用分层抽样的方法从这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图： ①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求的值； ②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是这组的概率． 【答案】(1)，中位数为65，平均数63.6 (2)①；② 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，确定前三组频率之和，再计算中位数和平均数即可. （2）根据平均数的公式计算得到，根据分层抽样的比例关系得到人数，列举出所有事件，统计满足条件的事件，得到概率. 【解析】（1），解得， 前三组频率之和， 设中位数为，则，解得，所以中位数为65； 平均数为： . （2）①，解得， ②两组频率比为， 故组中所抽取2人编号为，组中所抽取4人标号为， 则基本事件如下： ，共15个． 所抽取2人都在的基本事件有6个，所以概率． 27．某学校组织竞赛，有A，B，C三类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错只有2分，C问题答对得4分，答错0分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对3种问题的概率均为0.5，小明答对A，B，C问题的概率分别为0.3，0.7，0.5. (1)小红一共参与回答了3题，且该题分为为、和这类题，记X为小红的累计得分，求X的分布列； (2)小明也参与回答了3道问题，3道问题可以是同一类，也可以不是同一类，记Y为小明的累计得分，求该如何分配问题，使得E[Y]最大. 【答案】(1) 2 3 6 7 8 11 12 (2)3道题均为类 【分析】（1）列出的所有可能取值，计算出各值的概率即可列出分布列； （2）列出所有选择情况，计算比较即可； 【解析】（1）的可能取值为、、6、7、8、11、12、， 因为当有1种情况，所以， 因为当有种情况，所以， 因为当有种情况，所以， 因为当有2种情况，所以， 因为当有1种情况，所以， 因为当有1种情况，所以 因为当有种情况，所以， 所以X的分布列为： 2 3 6 7 8 11 12 （2）若3道题均为类，因为， ， ， ， 所以， 若3道题均为类，因为， ， ， ， 所以， 若3道题均为类，因为， ， ， ， 所以， 若3道题分别为、、， 因为， ， ， ， ， ， 所以, 若3道题分别为、、， 因为， ， ， ， ， ， 所以， 若3道题分别为、、， 因为 ， ， ， ， ， 所以， 若3道题分别为、、， 因为， ， ， ， ， ， 所以， 若3道题分别为、、， 因为， ， ， ， ， ， 所以， 若3道题分别为、、， 因为， ， ， ， ， ， 所以， 若3道题分别为、、， 因为， ， ， ， ， ， 所以， 所以3道题均为类，可使得最大. 28．一场始于烟火，归于真诚的邂逅，让无数人赴山赶海“进淄赶烤”，淄博某烧烤店趁机推出150元烧烤套餐.某同学调研发现，烧烤店成本（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数（单位：份）的关系如下：    1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟． 参考数据与公式：设，则线性回归直线中，． 0.54 6.8 1.53 0.45 (1)试预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元．（利润=售价-成本，结果精确到1元） (2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为淄博配送的箱数的频率分布直方图，用这16天的情况来估计相应的概率．供货商拟购置辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议． 【答案】(1)3236元 (2)答案见解析 【分析】（1）根据所给数据求出、，即可求出回归方程，再代入求出预测值，即可得到利润； （2）根据频率分布直方图，得到送货箱数的概率分布表，设该运输户购辆车和购辆车时每天的利润分别为、元，求出分布列，计算出期望，即可判断. 【解析】（1）根据题意，， 所以， 所以， 又，所以， 所以时，（千元）， 即卖出份的成本为元，故利润（元）． （2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为： 箱数 设该运输户购辆车和购辆车时每天的利润分别为、元， 则的可能取值为1500，800，100，其分布列为： 故， 则的可能取值为2000，1300，600，，其分布列为 故， 因为，即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 统计与概率综合（讲义） 概率初步 一、随机现象与样本空间 1．随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 2．随机试验的特点 (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 3、样本空间与事件 （1）样本空间 定义：一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间.用表示，其中的元素称为基本事件或者样本点. ( 【 知识 注释 】 ① 样本空间中的基本事件须是互斥的，即任何两个均不会同时发生； ② 样本空间可以是有限集，也可以是无限集； )（2）事件 定义：一个事件是指满足所述条件的所有基本事件的集合；一个事件对应于样本空间的一个子集，即满足事件所述条件的所有基本事件的集合．如果其中某个基本事件发生，就说该事件发生. 2、 古典概率 1、等可能性与概率 （1）等可能性： 若一个随机试验的所有结果出现的可能性一样，则称之为具有等可能性； （2）古典概率模型： ①包含有限个可能出现的结果（基本事件）；②这些结果出现是等可能的； （3）古典概率模型公式： ( . （其中 表示事件 中的基本事件个数，而 表示样本空间中的基本事件个数） 说明： 上式中 事件的概率是事件 中元素个数与样本空间中元素个数的比值. ) （4）概率性质1： ( 必然事件的概率是 ，不可能事件的概率是 . 即 【 知识 补充 】 概率是 不一定是 必然事件，概率是 也不一定是 不可能事件 ， 这个在大学里会有详细的解释. ) （5）概率性质2： ( 设 是一个事件，那么 . ) 2、事件关系和运算 设事件A对应于子集A，事件B对应于子集B： （1）事件间的包含关系：如果A的基本事件都在B中，那么A发生必然B发生，或等价于B不发生则A也不发生；此时，称B包含A或者A包含于B，即. （2）事件间的运算： ①两个事件A、B至少有一个发生，记为； ②两个事件A、B同时发生，记为； （3）事件间的互斥关系：如果A与B没有共同的基本事件，即两个子集不相交，记为，那么这两个事件不可能同时发生，或者说互斥. （4）事件间的对立关系：“事件A发生”的否定就是“事件A不发生”，称“事件A不发生”为“事件A发生”的对立事件，简称为“非A”，记为；显然A与不会同时发生，但肯定有一个会发生，即. （5），. 3、可加性 （1）概率性质3： ( 可加性： 两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和；换言之， 如果 ，那么 . )（2）概率性质4： ( 对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1；换言之有， . ) （3）如果是个两两互斥的事件，那么. 3、 频率与概率 1、伯努利试验 如果一个随机试验只有两种可能的结果，一个是“成功”，概率是，一个是“失败”，概率是，那么这个随机试验称为伯努利试验. 2、频率 假设我们可以独立地重复一个伯努利试验次，其中成功的次数记为，那么就被称为（试验中）成功的频率． 频率是一个数，依赖于试验次数．它不是一个确定的数，而是一个随机的数. 3、伯努利大数定律 ( 伯努利大数定律： 独立地重复一个伯努利试验 次，当 很大时，频率 逼近概率 . ) 补充： ①由于试验具有随机性，因此频率是一个不确定的量，而概率是一个确定的量. ②大数定律的名称中的“大数”是指需重复很多次才会出现“频率逼近概率”这个现象． ③伯努利大数定律的成立有一个条件，即“假设我们可以独立地重复一个伯努利试验”，这个条件非常关键 4、经验概率 频率也称为经验概率，计算它通常是为了估计概率．为了区别于概率，经验概率用来表示. 4、 随机事件的独立性 1. 事件与独立 如果两个随机试验的结果互相不影响，就说这些随机试验是独立的．具体定义如下表格： ( 定义 如果两个随机事件 与 同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即成立 ， 就称事件 与 独立． ) ( 【 知识注释 】 （1） 使用的前提是 为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积． （2）两个事件 相互独立事件的充要条件是 。 就称事件 与 独立． ) 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则. 统计 一、总体和样本 在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体； 总体中的每一个对象叫做个体； 总体中所含个体的个数，称为总体的容量． 从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本； 样本所包含个体的数量称为样本量，也称样本容量. 举例：①要考查班级全体同学的身高，就可以通过测量每个同学的身高组成一个总体，其中的每个数据就是一个 个体． ②年，教育部基础教育质量监测中心发布了《中国义务教育质量监测报告》，抽取了全国名学生进行体质调查，调查的指标包括心肺功能和米跑的速度．在这项研究中，“义务教育阶段全国学生的肺活量”和“义务教育阶段全国学生的米跑速度”是两个统计总体．“名学生的肺活量”和“名学生的米跑速度”就分别是上述两个总体的样本，就是样本容量. 二、数据的获取 1、数据分类 通常，按照数据的收集方法，可以将数据分为观测数据和实验数据． ①观测数据 指通过调查或观测而收集到的数据，是在没有对事物人为控制的条件下得到的． 例如全国人口普查，人口普查员通过请社区住户填写人口普查表来调查人口信息，但并不进行干预． ②实验数据 指在实验中控制实验对象而收集到的数据． 例如，我们想知道每天服用一定剂量的维生素能否预防感冒．为了完成实验，研究人员必须让一部分人每天服用一定剂量的维生素，另一部分人不服用维生素，然后收集两组对象的感冒发病率. ( 【 注释 】 ① 观测数据是观测现实世界时收集得到的数据 ② 观测数据是为了从收集得到的样本中得出有关总体的一些结论 ③ 观察数据用来对提出的问题研究各种导致它的可能性 ④ 实验数据是在实验中通过控制一个或多个变量而得到的测量结果 ⑤ 实验数据用来发现造成结果的原因，即鉴别因果关系 ) 2、数据获取 高中阶段的统计涉及到的主要是观测数据，它主要是通过普查或抽样调查获得． ①普查 普查对于我们而言可能并不陌生，最为熟悉的就是全国人口普查．一个国家或者一个地区为详细调查某项重要 的国情、国力，专门组织大规模的全面调查，对总体的每个个体进行调查，我们称之为普查. ②抽样调查 由于普查耗费财力和时间，并且在一般统计问题中，对总体的每一个个体进行考察并非必要．有些调查过程甚至具有一定的破坏性，比如测试一批灯管的寿命或汽车的抗撞性等．这时可以从总体中按照一定的方法抽取一个样本进行研究，然后通过分析样本数据对总体作出估计． 从总体中抽取一个样本的过程称为抽样，通过抽样进行调查研究的方法叫做抽样调查 ( 【 注释 】 以我国每 年进行一次的人口普查为例，在进行人口普查时，主要调查人口和住户的基本情况，包括姓名、性别、年龄、民族、受教育程度、行业、职业、婚姻等．这样虽然要耗费大量的人力、物力与财力，但可以全面掌握全国人口的基本情况，为制定人口政策和经济社会发展规划提供依据，为社会公众提供人口统计信息服务，对国家管理、制定各项方针政策具有重要的意义． 由于普查耗费财力和时间，并且在一般统计问题中，对总体的每一个个体进行考察并非必要．有些调查过程甚至具有一定的破坏性，比如测试一批灯管的寿命或汽车的抗撞性等，这时可以从总体中按照一定的方法抽取一个样本进行研究，然后通过分析样本数据对总体作出估计． ) 三、抽样方法 1、抽样方法 常用的抽样方法：简单随机抽样与分层随机抽样. 2、简单随机抽样 在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本，且总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，这种抽样方法叫做简单随机抽样. ①抽签法 假定从共有盒的一箱牛奶中抽取盒进行检测，可以按照如下方法抽取样本：先将盒牛奶进行编号：，并将这个数分别写在完全相同的纸片上，然后放入某容器中．将这些纸片混合均匀后取出张，这张纸片上的数所对应的盒牛奶就是要抽取的样本．这种抽取样本的方法叫做抽签法，张写好编号、形状大小等完全相同的纸片称为号签． ②随机数法 我们只要先把总体中的个体逐个编号，然后按照某种事先确定的规则直接从随机数表（或其他工具产生的随机数）中取一定量的随机数，这些随机数所对应的个体即组成一个样本．我们称这种抽样方法为随机数法 ( 【 注释 】 抽签法简单易行，适用于总体容量不大的情形．但当总体容量很大时，制作号签比较费时，且不易混合均匀，这时我们可以利用随机数表法．随机数表（见 课本 附录）就是一种现成的号签，它是由一连串的 之间的数字构成的，且满足以下两个条件： （ 1 ）对表中任何一个给定位置的数字，其为０～９中任何一个数字的概率都相等； （ 2 ）不同位置数字的取值是相互独立的． ) ③简单随机抽样的特点 抽签法和随机数法都属于简单随机抽样．一般地，简单随机抽样具有以下特点： （1）总体个数是有限的； （2）是不放回抽样； （3）总体中每个个体被选入样本的可能性相同 3、分层随机抽样 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为分层随机抽样，简称分层抽样. 分层抽样的方法如下：先将总体个数按要求分成层，每层的个体数分别记作；在每层中分别随机抽取个个体组成容量为的样本，使得 ，，． 显然，这里每个个体被抽到的概率均为． ( 什么时候选择分层抽样？ 比如：某高中为了解高一年级新生的身高情况，计划抽取 名学生测量身高．由于 不同性别的学生身高差异较大 ， 人数也可能不一样 ，因此不适合用前面介绍的简单随机抽样．我们希望抽取的样本中男女生的比例与全部高一年级新生的男女比例大致相同，这样得到的样本才具有代表性．这就要求在抽样的过程中，不仅要使得总体中每个个体被抽到的可能性相同，而且应注意总体中个体的某些分类属性，使得所抽取的样本能更明确地反映出总体的特征．那么这个时候就可以采用分层抽样. ) 分层随机抽样的特点: 分层随机抽样利用辅助信息分层，使得各层间的差异较大，各层内的差异较小，这样的分层抽样能够提高样本的代表性及抽样的效率．一般地，分层随机抽样适用于总体是由差异明显的几部分组成的情况，且在每一层进行抽样时，常常采用简单随机抽样或其他随机抽样方法. 4、 统计图表 Ⅰ、频率分布表和频率分布直方图 Ⅰ样本数据的频率分布表和频率分布直方图和频率分布折线图的步骤： ①求极差： 找出这一组数据的最大值和最小值，最大值与最小值的差称为极差，又称全距； ( 极差表示数据的波动范围； ) ②确定组距与组数： 取组距，用决定组数； ( 当数据在 个以内时，通常按数据的多少分为 组 ) ( ※ 如果组数太少，所有数据就会落在少数几个组里，导致这几个组的柱形太高；如果组数太多，大部分的组中只有少数的数据或者没有数据，均无法有效呈现数据的分布； ※ 一般地，第一组的下限应低于最小值，最后一组的上限应高于最大值． ) ③统计每组的频数及频率； ( 将样本数据分好组以后，每个小组内的数据个数称为频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率．统计每个小组的频数，再计算各组的频率. ) ④绘制频率分布表； ⑤绘制频率分布直方图： 在直角坐标系中把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，，然后以组距形成的线段为底作一矩形，矩形的高 为小组的，知小长方形的面积＝组距×＝频率． ( 频率分布直方图比频率分布表更能直观形象地反映样本数据的分布规律． ) ⑥绘制频率分布折线图： 在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．这两个组的频率取值为，然后从所加 的左边的区间的中点（称为组中值）开始，从左至右依次连接各矩形上底边的中点，直至右边所加区间的中点 ，再将矩形的边去除，就可以得到一条折线,这条折线就是频率分布折线图. ( 在绘制统计图时还应注意以下几点： （ 1 ） 标题：统计图一般要有标题，用以说明统计图的内容． 如果可能的话，列出数据来源． （ 2 ） 坐标的刻度和名称：一般纵轴和横轴也需要有名称，纵轴应清楚地标明刻度，横轴应标明类别或刻度． （ 3 ） 标注：如果要在一张图中呈现多元数据，应使用一些标注来识别单个数据． ) Ⅱ、茎叶图 制作茎叶图茎叶图的步骤： ①将数据分为“茎”、“叶”两部分； ②将最大茎与最小茎之间的数字按由小到大、从上往下排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出． ( 茎叶图既可以用于呈现单组数据，也可以用于对两组同类数据的比较分析 ) Ⅲ、散点图 在考虑两组数据时，为了对两组数据之间的关系形成大致的了解，通常将这两组数据所对应的点描在平面直角坐标系内，这些点组成的统计图称为散点图. 五、统计估计 Ⅰ、统计估计——估计总体的分布 总体是指考察对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，总体的分布指的是总体中不同范围或类型的个体所占的比例． 如果将样本容量取得足够大，且分组的组距取得足够小，那么相应的频率分布折线图将趋于一条光滑的曲线，称为总体分布密度曲线． 事实上，尽管总体分布密度曲线是客观存在的，但由于在实际中往往无法获得总体的数据，因此无法精确地得到它的密度曲线，只能通过样本的频率分布折线图来对总体分布的密度曲线进行估计．一般来说，样本容量越接近总体容量，样本的频率分布折线图与总体分布密度曲线的贴近程度越高 Ⅱ、统计估计——估计总体的数字特征 统计数据的数字特征 把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的数字特征． 在初中阶段学习过的平均数、中位数和众数等，就是用来刻画一组数据集中趋势的数字特征，而方差和标准差则是用来刻画一组数据离散程度的数字特征. ①通过样本估计总体的集中趋势 利用初中阶段学习过的平均数、中位数和众数，我们可以描述有限样本的集中趋势． 例如，设样本数据为，由公式就得到样本平均数，它描述了样本数据的平均水平． 如果个数据中不同的数据的频数分别为，那么样本平均数为. ( 平均数反映的是平均水平，中位数反应的是中等水平，众数反应的是概率最大.它们都是用来刻画一组数据的集中趋势. ) ②通过样本估计总体的离散程度 在初中阶段我们已学习过用样本数据的方差来衡量一组数据的波动大小．一组数据的方差越大，表明这组数据波动越大. 我们把方差的算术平方根叫做样本数据的标准差，它同样是一个用来衡量样本数据波动大小的统计量 ( 方差和标准差都反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差的单位是观测数据的单位的平方，而标准差的单位与观测数据的单位一致，因此我们常常用标准差来描述数据的离散程度． ) 注：在实验中，为了消除系统性偏差，标准差公式中往往以代替，用来作为总体标准差的估计值. Ⅲ、统计估计——估计百分位数 百分位数 当样本容量很大时，还可以将数据分为个部分，每一部分包含的数据．第百分位数（为到之间的整数，记作）即是将一组数据从小到大排列后，将数据分成两部分：小于或等于第百分位数的数据占，大于或等于第百分位数的数据占. ( 计算第 百分位数时，首先将数据从小到大排列，然后计算指数 . ① 若 是整数，则第 百分位数是第 项与第 项的数据的平均值； ② 若 不是整数，则将 向上取整，得到的数即为第 百分位数的位置． ) 条件概率与全概率公式 1.条件概率 (1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝. (2)两个公式 ①利用古典概型，P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). 2.全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0且P()>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|). Ⅱ、随机变量及其分布列的数字特征 1.离散型随机变量 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pk≥0，k＝1，2，…，n； (2)pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1. 4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)方差 D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差. (3)标准差 称称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). 5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 分布列 1.n次独立试验与二项分布 (1)n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. (2)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n， 因此X的分布列如下表所示 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3.超几何分布 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s为M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且 P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s， 这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M). 4.正态分布 (1)正态曲线 φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差.φ(x)也常常记为φμ，σ(x). (2)正态曲线的一些性质 ①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 统计模型 1.变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. (2)相关关系的分类：正相关和负相关. (3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关. 2.相关系数 (1)r＝ ＝. (2)当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关. (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 3.一元线性回归模型 (1)我们将＝x＋称为y关于x的回归直线方程，其中 (2)残差：观测值减去预测值，称为残差. 4.2×2列联表和χ2 如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下. A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 记n＝a＋b＋c＋d，则 χ2＝. 5.独立性检验 统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示. α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 K 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 要推断“A与B有关系”可按下面的步骤 (1)作2×2列联表. (2)根据2×2列联表计算χ2的值. (3)查对分位数k，作出判断.如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关.若χ2<k成立，就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验. ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$