第11章 三角形重难点检测卷（拔尖卷）2024-—2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形重难点检测卷（拔尖卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（23-24八年级上·河南开封·期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（    ） A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 2．(3分)（23-24八年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 3．(3分)（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画了两锐角的角平分线，及其交点，小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数都是定值，则这个定值为（　　）．    A． B． C． D． 4．(3分)（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(3分)（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．(3分)（23-24八年级下·重庆·期中）如图，直线，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令，用含的式子表示∠EBC为（    ）． A． B． C． D． 7．(3分)（23-24八年级上·北京昌平·期末）用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 8．(3分)（23-24八年级上·福建福州·课后作业）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 9．(3分)（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．(3分)（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F，②2∠BEF＝∠BAF+∠C，③∠F＝∠BAC﹣∠C，④∠BED＝∠ABE+∠C，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知中，，，，点G是的中点，若的面积是27，则的面积为 ． 12．(3分)（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是边上的高， 交直线于点E，， ，则 ° 13．(3分)（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、上的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 °． 14．(3分)（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，根据每个正多边形中的变化情况，可以求得正十边形度数为 °． 15．(3分)（23-24八年级上·安徽合肥·期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 16．(3分)（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．(6分)（23-24八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）用一根长为18cm的绳子围成一个一边长为4cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的另两条边的长为多少？ 18．(6分)（23-24八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 19．(6分)（23-24八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，点是的平分线与的平分线的交点． (1)若，，则________； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 20．(8分)（23-24八年级上·重庆·开学考试）已知梯形的面积是36，，是上一点，问：与四边形的面积之差是多少？ 21．(8分)（23-24八年级下·山东聊城·期末）（1）在图1中，将四边形的四个内角剪下来，并将剪下来的各个内角按图2所示的方式拼在一起，这四个角恰好拼成了一个周角，由此你发现了四边形的内角和为______ （2）请你将下列四边形分别转化为2个、3个、4个三角形，画出图形． （3）请你利用（2）中的任意一个图形，求出四边形的内角和． 22．(9分)（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 23．(9分)（23-24八年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①直接写出，与之间的等量关系；_______ ②，则_______． 24．(10分)（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 25．(10分)（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与满足的数量关系式； (4)深入探究：如图2，过点A作直线，若，求的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形重难点检测卷（拔尖卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（23-24八年级上·河南开封·期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（    ） A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．    如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．    如图，锐角三角形或钝角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．    因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 2．(3分)（23-24八年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 3．(3分)（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画了两锐角的角平分线，及其交点，小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数都是定值，则这个定值为（　　）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．(3分)（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 5．(3分)（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出和的度数，最后根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以， ∵正五边形的每条边相等， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 6．(3分)（23-24八年级下·重庆·期中）如图，直线，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令，用含的式子表示∠EBC为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】在△ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=50°． 延长CE，交AB于点G， ∵， ∴，∠ACM=∠BAC=40°， ∴∠ACE=-40°， ∴∠BCE=90°-（-40°）=130°-． ∵∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE， ∴∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（-40°）=-20°． ∵EF平分∠CED， ∴∠CEF=， ∴∠CEB=， ∴∠EBC=． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合的三角形是解题的关键． 7．(3分)（23-24八年级上·北京昌平·期末）用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数． 【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍， 图2有共用部分，可以减少小木棍根数， 仿照图2得到图3，要7根小木棍， 同法搭建的图4，要9根小木棍， 如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍， 如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根． 故选：D 【点睛】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答． 8．(3分)（23-24八年级上·福建福州·课后作业）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 【答案】C 【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数． 【详解】设少加的2个内角和为x度，边数为n． 则（n-2）×180=830+x， 即（n-2）×180=4×180+110+x， 因此x=70，n=7或x=250，n=8． 故该多边形的边数是7或8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 9．(3分)（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线的定义可以得到，，设，假设，，通过角的等量代换可得到，代入的值即可． 【详解】∵平分，平分 ∴， 设 ∵ ∴可以假设， ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的等量代换，三角形的内角和定理，外角的性质，二元一次方程组的应用，灵活设立未知数代换角是解题的关键． 10．(3分)（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F，②2∠BEF＝∠BAF+∠C，③∠F＝∠BAC﹣∠C，④∠BED＝∠ABE+∠C，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】D 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，判断出错误； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F，故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确； ③∵∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，故③错误； ④∵∠BED＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠EBC， ∴∠BED＝∠ABE+∠C，故④正确， ∴正确的有①②④，共三个， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质，灵活运用有关性质求解是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知中，，，，点G是的中点，若的面积是27，则的面积为 ． 【答案】128 【分析】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉等高的三角形面积比与底边比的关系．根据等高的三角形面积比等于底边比依次求解可得的面积． 【详解】解：在中，点G是的中点，的面积是27， ∴的面积是， ∵， ∴的面积是， ∵， ∴的面积是， ， ∴的面积是． 故答案为：128． 12．(3分)（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是边上的高， 交直线于点E，， ，则 ° 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的高的含义，分两种情况画图，再进一步利用数形结合的方法解题即可； 【详解】解：如图，∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 综上：或； 故答案为：或 13．(3分)（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、上的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 °． 【答案】51 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 又∵在中，②， 由得， 在中，， ． 故答案为：51． 14．(3分)（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，根据每个正多边形中的变化情况，可以求得正十边形度数为 °． 【答案】18 【分析】此题考查了正多边形的内角和外角和计算，分别计算正三角形，正四边形，正五边形中的值，找到计算思路，据此求出正十边形的，熟练掌握正多边形外角和及内角与外角的关系是解题的关键 【详解】解：正三角形， 正四边形， 正五边形的每一个内角为，则 则正十边形的每个内角为，则 故答案为：18. 15．(3分)（23-24八年级上·安徽合肥·期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 【答案】5 【分析】根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值． 【详解】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x； 因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x， 因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x， 因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长， S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高， ∴6＞高＞3， ∵是不等边三角形，且高为整数， ∴高的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边． 16．(3分)（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果； 对于②，通过举反例“当，时，．”计算可得②的结论不成立； 对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果； 对于④，根据是的角平分线，，可得，再利用三角形的外角性质，可逐步推得结论成立． 【详解】对于①， 是的高线， ， ， ， ， ， ①正确； 对于②， 举反例，当，时，． 理由如下： 当，时， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ②错误； 对于③， 是的外角， ， 是的外角， ， 而由①知， ， ， ③正确； 对于④， 设与交于点，与交于点， 是的角平分线， ， ， ， 又，， ， ④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高，举反例的方法，熟练掌握相关知识及方法是解答本题的关键． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．(6分)（23-24八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）用一根长为18cm的绳子围成一个一边长为4cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的另两条边的长为多少？ 【答案】另两边长为. 【分析】题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析,注意利用三角形三边关系进行检验. 【详解】解：当这个的边长为底时，腰长； 当这个的边长为腰时，底边， 当这个的边长为腰时不能构成三角形，故舍去, 能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系,在解答此类题目时要注意分类讨论,不要漏解. 18．(6分)（23-24八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可； （2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 19．(6分)（23-24八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，点是的平分线与的平分线的交点． (1)若，，则________； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)70 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形和角平分线．熟练掌握角平分线定义，三角形外角性质，是解决问题的关键． （1）根据角平分线性质得到，根据三角形外角性质即得；（2）根据角平分线性质得到，，根据三角形外角性质即得，得到，由三角形外角性质得到，即得. ． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵ 则， 故答案为：70； （2）解：，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 20．(8分)（23-24八年级上·重庆·开学考试）已知梯形的面积是36，，是上一点，问：与四边形的面积之差是多少？ 【答案】8 【分析】本题考查平行线间的距离，与三角形的高有关的计算，根据同高三角形的面积比等于底边比求出，根据，四边形的面积，得到与四边形的面积之差为，进行求解即可． 【详解】解：∵梯形的面积是36，，是上一点， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， 四边形的面积， ∴与四边形的面积之差为， ∵， ∴， ∴与四边形的面积之差为． 21．(8分)（23-24八年级下·山东聊城·期末）（1）在图1中，将四边形的四个内角剪下来，并将剪下来的各个内角按图2所示的方式拼在一起，这四个角恰好拼成了一个周角，由此你发现了四边形的内角和为______ （2）请你将下列四边形分别转化为2个、3个、4个三角形，画出图形． （3）请你利用（2）中的任意一个图形，求出四边形的内角和． 【答案】（1）360°；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据图形即可回答； （2）在四边形内部找到一个点，分别和如图两个顶点，三个顶点和四个顶点进行连接，即可转化； （3）利用分成的三角形的总内角和减去中间公共顶点的所有角的和即可求证. 【详解】解：（1）∵这四个角恰好拼成了一个周角， ∴四边形的内角和为360°， 故答案为：360； （2）如图，分别将三个图形分成2个、3个、4个三角形如下： （3）如图：O为四边形ABCD内的一点，连接AO、BO、CO、DO， 可知：∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA， ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB， ∠COD=180°-∠OCD-∠ODC， ∠DOA =180°-∠ODA-∠OAD， ∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCD+∠ODC+∠ODA+∠OAD =180°-∠AOB+180°-∠BOC +180°-∠COD +180°-∠DOA =180°×4-360° =360°. 【点睛】本题考查了多边形的内角和，涉及到三角形和四边形的内角和，解题的关键是掌握内角和的求法. 22．(9分)（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 【答案】(1)60 (2)，理由见解析 (3)是定值，定值为2 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1），得到，，，得到，，角的和差关系，得到，角平分线得到，再利用三角形的内角和定理，求解即可； （2）先证明，得到，得到，得到，平分，得到，即可得出结论； （3）根据（2）的结论以及已知条件，分别求出，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：60； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）是定值： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 23．(9分)（23-24八年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①直接写出，与之间的等量关系；_______ ②，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 24．(10分)（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 【答案】（1），理由见解析；（2）图见解析，或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用定理进行计算是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （2）画出符合条件的图形，根据图形和（1）的结论解答即可． 【详解】解：（1）结论：，理由如下： 如图1所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴． （2）如图2， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图3， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴， 即． 综上所述，或． 25．(10分)（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与满足的数量关系式； (4)深入探究：如图2，过点A作直线，若，求的大小． 【答案】(1)140，90，50； (2)； (3)（2）中的结论不成立，，，； (4)． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形的内角和定理求解即可． （2）猜想：．利用三角形内角和定理即可解决问题． （3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可． （4）延长交于点Q，根据平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意，在中，； 在中， ∵， ∴ ． 故答案为：140，90，50． （2）解：猜想：． 理由：在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：判断：（2）中的结论不成立． ①如图中，结论：． 理由：设交于． ∵， ∴， ∴． ②如图中，结论：． 证明：设交于． ∵， ∴， ∴． ③如图中，结论：． 理由：∵，， ∴， ∴． （4）解：延长交于点Q， 由题意，∵， ∴． 又，, ∴． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$