第11章 三角形重难点检测卷（培优卷） 2024-—2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形重难点检测卷（培优卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（23-24八年级上·辽宁大连·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．(3分)（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列图形中有稳定性的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 3．(3分)（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，是边上的高，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．(3分)（23-24八年级下·江苏扬州·期中）若一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 5．(3分)（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，是的平分线，是的补角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 6．(3分)（23-24八年级上·山西运城·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 7．(3分)（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知分别为的边的中点，连接，为的中线．若四边形的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．(3分)（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点分别在和上运动，的平分线与的平分线的反向延长线交于点的平分线与的平分线交于点，当时，（    ） A． B． C． D． 9．(3分)（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，的度数是（    ） A． B． C． D． 10．(3分)（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，、分别是的高和角平分线，F是延长线上的一点，过点F作交于点G、交于点H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（23-24八年级上·河南安阳·期末）一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，则此正多边形是 边形，共有 条对角线． 12．(3分)（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）已知的三边长分别是a、b、c，化简 ． 13．(3分)（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．    14．(3分)（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在 中，，三等分，，三等分．若，则 ．    15．(3分)（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．    16．(3分)（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．(6分)（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 18．(6分)（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．的三个顶点均在小正方形的格点上． (1)在图中画出的边上的高，垂足为D； (2)在图中画出的边边上的中线． (3)直接写出 ． 19．(6分)（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由． 20．(8分)（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 21．(8分)（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 22．(9分)（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：，，是的三个内角． 对进行说理 小明给出如下说理过程，请补全证明过程．    证明：过点A作 ∵ ∴ ______=______（__________________） ∵（__________________） ∴ 听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．    23．(9分)（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 24．(10分)（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． (1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数； (3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系． 25．(10分)（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形重难点检测卷（培优卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（23-24八年级上·辽宁大连·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴三边不能构成三角形，不符合题意； 、∵， ∴三边不能构成三角形，不符合题意； 、∵， ∴三边能构成三角形，符合题意； 、∵， ∴三边不能构成三角形，不符合题意； 故选：． 2．(3分)（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列图形中有稳定性的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性依次判断即可解答． 【详解】解：正方形、长方形、平行四边形具有不稳定性，具有稳定性的是等腰三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题，需熟记． 3．(3分)（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，是边上的高，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、互余等知识，先由得到，再由直角三角形两锐角互余即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，解得， 是边上的高， 在中，， 故选：C． 4．(3分)（23-24八年级下·江苏扬州·期中）若一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，求正多边形的边数通常用外角和除以每一个外角的度数．根据正多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数先求出边数，然后再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：多边形的每一个外角等于，， 这个多边形是12边形； 其内角和． 故选：C． 5．(3分)（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，是的平分线，是的补角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考査了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为. 根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果． 【详解】解： 是的平分线，是的补角的平分线，，， ，． ，． ． ， ． ． 故选 C． 6．(3分)（23-24八年级上·山西运城·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【答案】C 【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】A、 ， ，，由 ，得 ，故A不符合题意； B、 ， ，，由 ，得 ，故B不符合题意； C、 ，，，无法证得三角形的内角和等于，故C符合题意； D、如图， ， ，， ， ，， ，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键． 7．(3分)（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知分别为的边的中点，连接，为的中线．若四边形的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积推出，再根据四边形的面积为，得到，据此求解即可，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴ ， ∴， ∴， 故选：． 8．(3分)（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点分别在和上运动，的平分线与的平分线的反向延长线交于点的平分线与的平分线交于点，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，三角形的外角的性质，设，，可得，可得，由，可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点， ∴设，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 9．(3分)（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识．根据折叠的性质，得到，再根据平行线的性质，得到，过点作，根据平行线的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，求得，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解： 由折叠的性质可知，，，，，， ， ， ， ， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10．(3分)（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，、分别是的高和角平分线，F是延长线上的一点，过点F作交于点G、交于点H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法． 根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义和三角形的外角证明结论②，根据直角三角形的两锐角互余再结合②的结论可得结论③，根据三角形的外角和等角的余角相等可以证明结论④． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高，， ∴，故④正确； 故选D 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（23-24八年级上·河南安阳·期末）一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，则此正多边形是 边形，共有 条对角线． 【答案】 九 27 【分析】设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α；依据n边形的对角线条数为：n（n-3），即可得到结果． 【详解】解：设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°， 由题意，得（3α+20）+α=180°， 解得：α=40°． 即多边形的每个外角为40°． 又∵多边形的外角和为360°， ∴多边形的外角个数=． ∴多边形的边数为9； ∵n边形的对角线条数为：n（n-3）， ∴当n=9时， n（n-3）=×9×6=27； 故答案为：九；27． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系以及多边形的对角线条数，运用方程求解比较简便． 12．(3分)（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）已知的三边长分别是a、b、c，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．(3分)（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．    【答案】 【分析】由是的中线可得的面积的面积，分别表达两个三角形的面积，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，解题的关键是掌握三角形中线及其应用． 14．(3分)（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在 中，，三等分，，三等分．若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角的等分线，灵活应用三角形的内角和定理是解答本题的关键．根据三角形内角和先确定的大小，然后确定，最后根据三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，三等分，，三等分， ∴， ∴ 故答案为：． 15．(3分)（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．    【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得，即可得． 【详解】解：如图，    由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得： ， 得． 故答案为：． 16．(3分)（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 【答案】 或 【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解； 分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可； 本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是的中点， ∴， ∴的周长的周长， 故答案为：； 如图，设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ∴， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．(6分)（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为7． (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，外角和定理列出方程，求解即可； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1，三种情况，依据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 18．(6分)（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．的三个顶点均在小正方形的格点上． (1)在图中画出的边上的高，垂足为D； (2)在图中画出的边边上的中线． (3)直接写出 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)18 【分析】（1）找到所在水平网格线与点C所在竖直网格线的交点即为D点； （2）根据长为6个单位可找到的中点E，连接即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可． 本题考查了网格中画三角形的高线和中线，以及求三角形的面积，掌握三角形的高线和中线的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，是边上的高． （2）解：如图，取的中点E，连接，则线段即为的边边上的中线． （3）解：． 故答案为：18． 19．(6分)（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由． 【答案】AB+BC+AC＞2BD，理由见解析 【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下： 在△ABD中，AB+AD＞BD， 在△BCD中，BC+CD＞BD， ∴AB+AD+BC+CD＞2BD， 即AB+BC+AC＞2BD． 【点睛】本题考查了三角形三边关系．关键是熟悉三角形两边之和大于第三边的知识点． 20．(8分)（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解： 为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 21．(8分)（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：，于D， ，， ； （2）证明：在中，， 同理在中，． 又平分， ， ， 又， ． 22．(9分)（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：，，是的三个内角． 对进行说理 小明给出如下说理过程，请补全证明过程．    证明：过点A作 ∵ ∴ ______=______（__________________） ∵（__________________） ∴ 听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．    【答案】；；两直线平行，内错角相等；平角定义；作图以及证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的证明；根据平行线的性质与平角的定义可得出推理的依据，如图，作，交于点，利用平行线的性质即可求解结论． 【详解】证明：过点作， ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， ， 故答案为： ；；两直线平行，内错角相等；平角定义 证明：作，交于点 ，如图所示：   ， ，， ， ， 即． 23．(9分)（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键． （1）直接运用三角形面积公式即可解答； （2）直接运用（1）的结论进行解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为． （2）解：由（1）可得：， 则，解得：． （3）解： ∵， ∴， ， ∴． 24．(10分)（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． (1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数； (3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解； （3）根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 证明：，， 又， ； （2）解： 平分，平分， ，， 由“8字形”得到， 两等式相减得到，即， ， ； （3）解： ， ，， ，， 由“8字形”得到， ，， ， ． 25．(10分)（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$