专题02 三角形全章期考真题专项复习（3大考点11种题型）（拔尖篇）2024—2025学年人教版 数学八年级上册

专题01 三角形全章期考真题专项复习 （培优篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•与三角形有关的线段 知识点一：三角形的有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的三要素 角：相邻两边组成三角形的内角，简称三角形的角 顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点 边：组成三角形的线段叫做三角形的边 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 知识点二：三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 (1) 按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2） 按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点三：三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 知识点四：三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点五：三角形的中线 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 知识点六：三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部，这个点叫做三角形的内心. 知识点七：三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 题型1 利用三边关系求参数范围 【例1】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 【变式1-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（    ） A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6 【变式1-2】（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（    ） A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5 【变式1-3】（23-24八年级·河北邢台·期末）为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型2 利用三边关系取舍值 【例2】（23-24八年级·福建泉州·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【变式2-1】（23-24八年级·河南许昌·阶段练习）某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为（　　） A．11 B．11或8 C．11或8或5 D．与x的取值有关 【变式2-2】（23-24八年级·江苏无锡·期末）若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ． 【变式2-3】（23-24八年级·上海浦东新·期末）在等腰中，，一腰上中线BD将三角形周长分为12和21两部分，则这个三角形的腰长为 ． 题型3 由高的位置分类讨论求角度 【例3】（23-24八年级·贵州毕节·阶段练习）是的高，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为 ． 【变式3-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是 ． 【变式3-3】（23-24八年级·江苏镇江·期中）已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 题型4 由三角形的中线（重心）求面积 【例4】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知为的中线，E为的中点，F为边的三等分点，连接．若四边形的面积为12，则的面积为 ． 【变式4-1】（23-24八年级·山东泰安·阶段练习）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．    【变式4-2】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，在中，，点E是的中点，交于点F，则四边形的面积的最大值是 ． 【变式4-3】（23-24八年级·江苏连云港·阶段练习）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为 ．    题型5 面积转化与面积法 【例5】（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为14，则的面积为（  ） A．24 B．28 C．35 D．30 【变式5-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【变式5-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 【变式5-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则 ．    考点二•与三角形有关的角 知识点一：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点二：直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 知识点三：三角形的外角 1. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD 是 △ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 题型6 三角形的折叠求角 【例6】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，是直线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时， ． 【变式6-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【变式6-2】（23-24八年级·浙江湖州·期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【变式6-3】（23-24八年级·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 题型7 双角平分线的夹角模型 【例7】（23-24八年级·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，和相交于点． (1)如图，若，平分，，求的度数； (2)如图，若，平分，平分，求证：； (3)如图，若平分，平分，和分别是和外角平分线，试探究，，之间的数量关系． 【变式7-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在中，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，得，则与的关系是 . 【变式7-2】（23-24八年级·上海浦东新·期末）如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为 .（用表示） 【变式7-3】（23-24八年级·山西吕梁·期中）综合与探究 如图1，已知，是其内部一点，过点作，，分别交，于点，，平分，平分． 图1                                 图2 (1)①写出所有等于的角：______． ②试猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，点在射线上，连接，，且，平分，交于点，延长交于点，若，求的度数． 题型8 高与角平分线夹角模型 【例8】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 【变式8-1】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图，在中，是的平分线，是边上的高，于，，，求的度数． 【变式8-2】（23-24八年级·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，．给出下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【变式8-3】（23-24八年级·甘肃武威·期末）如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，且，求的度数； (3)如图3，过点作交的平分线于点交于点，，垂足为．若，求与之间的数量关系． 考点三•多边形及其内角和 知识点一：多边形的有关概念 1.在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 3.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 4.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 5.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图，AC,AD是五边形ABCDE的两条对角线. 总结：n边形有n 个顶点，n 条边，n个内角，2n个外角. 知识点二：多边形的内角和 名称 图形 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 从多边形的一顶点 引出的对角线分割 出的三角形个数 多边形内角和 三角形 1×180°=180° =180° 四边形 1 2 2×180°=360° =360° 五边形 2 3 3×180°=540° 六边形 3 4 4×180°=720° ... ... ... ... ... n 边 形 n-3 n-2 (n-2)×180° 知识点三：多边形的外角和 多边形的外角和等于360° . 多边形外角和的推导过程： n边形内角和为(n-2)×180°,设n边形的内角为∠1,∠2,∠3,…,∠n, 对应的外角度数为180°-∠1,180°-∠2,180°-∠3 ,…,180°-∠n,则外角和为(180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+…+(180°-∠n)=n×180°-(∠1+∠2+∠3+…+∠n)=n×180°-(n-2)×180°=360° 题型9 多边形中的角平分线的夹角 【例9】（23-24八年级·四川绵阳·期中）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 【变式9-1】（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图，在五边形中，，分别平分，，则的度数是 ． 【变式9-2】（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B=10°，∠C=40°，则∠E= ． 【变式9-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题． 我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数． ②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）． ③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   题型10 多边形与多角求和 【例10】（23-24八年级·江苏镇江·期末）（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，． ①若，则______°； ②若，则的取值范围是______． （2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”． 如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．    【变式10-1】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24八年级·北京朝阳·期末）（1）如图1所示， ； （2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为 ；二环五边形的内角和为 ；二环n边形的内角和为 ． 【变式10-3】（23-24八年级·福建南平·期中）根据题意解答： (1)如图1，点、、、在同一直线上，平分，，若为度，求的度数（用关于的代数式表示），并说明理由． (2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，地面，地面，求的度数，并说明理由． (3)如图3，若，，，则__________度． 题型11 与三角形有关的情景创新题 【例11】（23-24八年级·山东济宁·期中）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于D．猜想的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值，得到下面几组对应值： 度 10 20 30 20 20 度 70 70 60 60 80 度 30 a 15 20 30 上表中　 　，于是得到的数量关系为 　 　． 【变式应用】 (2)小明继续探究，在图2中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“F是线段上一点，于点D．”．求的度数，并写出与的数量关系． 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点P在线段上”改为“点F是延长线上一点”其余条件不变，当时，度数为 　 　． 【能力提升】 (4)在图4中，若点F在的延长线上，于点D，，其余条件不变，分别作出和的角平分线，交于点P，试用x，y表示　 ．         【变式11-1】（23-24八年级·山西大同·阶段练习）阅读下面材料： 如图①是一个六分仪，六分仪是测量远方两个目标之间夹角的光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪按照一定的观测步骤（图②显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定的计算得出观测点的地理坐标． 如图③，在“六分仪原理图”中，所观测物体记为，两个反射镜面位于两处，处的镜面所在的直线自动与刻度线保持平行（即），并与处的镜面所在的直线交于点所在的直线与水平线交于点，六分仪上刻度线与刻度线的夹角，则观测角．（请注意小贴士中的信息） 求证：． 完成下面的证明． 证明：∵，（ ） ， （ ） （ ） ， 是 的外角， （ ） 即． 补全证明过程： 【变式11-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）阅读下列材料，并解答相关问题． 背景 在探究三角形内角和定理的课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． 问题初探 嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形的顶点作，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题． 已知：如图1，在三角形中，过顶点作． 求证：． 证明：， ①_____，②_____．（③_____） ，（平角定义） ④_____⑤_____．（等量代换） 类比分析 淇淇将顶点的位置一般化（如图2），换成三角形边上的任意一点，过顶点分别作平行于的平行线．由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于”这个命题． 学以致用 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中都与地面平行，，，当______时，． (1)补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容． (2)对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明． (3)在图4中，当______时，． 【变式11-3】（23-24八年级·江苏南京·期中）【概念学习】 我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”． 【概念理解】 （1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点D，则______． 【概念应用】 （2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数． （3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点P，若，，请直接写出分类情况和相应的的度数．    实战演练 1．（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 3．（23-24八年级·河南郑州·期末）如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一点F,使得OF=AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知中，，将，按照如图所示折叠，若，则的度数是（   ） A．245 B．255 C．265 D．275 5．（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④．    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）如图，的面积是15，，O是边上任意一点（不与点B、C重合），于点D，于点E，设，则代数式的值是 ． 7．（23-24八年级·四川德阳·阶段练习）如图， ． 8．（23-24八年级·山东·单元测试）已知等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长为 . 9．（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）是的一条高线，若，，则 . 10．（23-24八年级·湖北武汉·期中）平面直角坐标系中，点，，，在轴左侧一点（且点不在直线上）．若，与的角平分线所在直线交于点．则的度数为 °． 11．（23-24八年级·云南楚雄·期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 12．（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，在四边形中，，． (1)如图1，若，则________度； (2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数； (3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数； ②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系． 13．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”． 理解概念： (1)如图①，在中，，平分．求证：为“微妙三角形”； 概念应用： (2)若为“微妙三角形”，且．试判断的形状，并说明理由； (3)如图②，在中，若，平分，且是的“微妙分割线”，请直接写出的度数． 14．（23-24八年级·山西大同·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用如图1，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：．下面是该性质的证明过程： 证明：如图2，连接并延长到点． ∵是的外角， ∴（根据1）． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴．       任务： (1)填空：材料中的根据1是指___________________________________________． (2)你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． (3)一个零件的形状如图3所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件________．（填“合格”或“不合格”） 15．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接、． (1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________； (2)如图2，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，F是纸带上另一点，连接、，，和的平分线交于点，延长交于点G，．过点E的直线交于点M，交于点N，，直线绕点E以的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，将右侧纸带沿翻折，当和首次重合时，直线停止转动，此时直线翻折后与直线交于点．求直线停止转动时的值及的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形全章期考真题专项复习 （培优篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•与三角形有关的线段 知识点一：三角形的有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的三要素 角：相邻两边组成三角形的内角，简称三角形的角 顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点 边：组成三角形的线段叫做三角形的边 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 知识点二：三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 (1) 按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2） 按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点三：三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 知识点四：三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点五：三角形的中线 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 知识点六：三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部，这个点叫做三角形的内心. 知识点七：三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 题型1 利用三边关系求参数范围 【例1】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 【答案】C 【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】解：已知、、、， 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 故选：C． 【变式1-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（    ） A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6 【答案】D 【详解】如图所示:    AB=5，AC=7， 设BC=2a，AD=x， 延长AD至E，使AD=DE， 在△BDE与△CDA中， ∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE， ∴△BDE≌△CDA， ∴AE=2x，BE=AC=7， 在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5， ∴1＜x＜6． 故选D． 【变式1-2】（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（    ） A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5 【答案】D 【分析】先设长度为4、12的高分别是a、b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，根据三角形面积公式，可求a=；b=；c=，结合三角形三边的不等关系，可得关于h的不等式，解不等式即可． 【详解】设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=；b=；c= ∵a-b＜c＜a+b， ∴-＜c＜+， 即 ＜＜， 解得3＜h＜6， ∴h=4或h=5， 故选D. 【点睛】主要考查三角形三边关系；利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键. 【变式1-3】（23-24八年级·河北邢台·期末）为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，点到直线的距离，先找出点的位置，画出所有情况即可得到答案． 【详解】解：过点作于， 点B到射线的距离为d， ①当点和点重合时，，此时是一个直角三角形； ②当时，此时点的位置有两个，即有两个； ③当时，此时形状、大小是唯一确定， 所以x的取值范围是或． 故选A． 题型2 利用三边关系取舍值 【例2】（23-24八年级·福建泉州·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 【变式2-1】（23-24八年级·河南许昌·阶段练习）某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为（　　） A．11 B．11或8 C．11或8或5 D．与x的取值有关 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质列出方程即可求出x的值． 【详解】解：当x＝3时， 此时2x﹣1＝5， ∴3+3＞5，能组成三角形， 此时三角形的周长为：3+3+5＝11， 当x＝2x﹣1时， 此时x＝1， ∴1+1＜3，不能组成三角形， 当2x﹣1＝3时， 此时x＝2 ∴3+2＞3，能组成三角形， 此时三角形的周长为：3+3+2＝8， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键运用分类讨论的思想，本题属于基础题型． 【变式2-2】（23-24八年级·江苏无锡·期末）若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三角形的条件判断即可． 【详解】 ①-②得：y=3-m 把y=3-m代入②，得x=3m-3 故方程组的解为 若x为腰，y为底，则2x+y=7 即2(3m-3)+3-m=7 解得：m=2 此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件 若y为腰，x为底，则2y+x=7 即2(3-m)+3m-3=7 解得：m=4 此时x=9，y=-1，不合题意 若x=y，即3m-3=3-m 解得： 此时腰为，底为 但+<4，不符合构成三角形的条件 故不合题意 所以满足条件的m为2 故答案为：2 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件． 【变式2-3】（23-24八年级·上海浦东新·期末）在等腰中，，一腰上中线BD将三角形周长分为12和21两部分，则这个三角形的腰长为 ． 【答案】14 【分析】设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答． 【详解】设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x， ∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成12和21两部分， ∴有两种情况： （1）当3x＝21且x＋y＝12时， 解得：x＝7，y＝5， ∴三边长分别为14，14，5． （2）当3x＝12，且x＋y＝21， 解得：x＝4，y＝17， ∴三边长分别为8，8，17， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而8＋8＝16＜17， 故这种情况不存在； ∴腰长只能是14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意分两种情况讨论是正确解答本题的关键． 题型3 由高的位置分类讨论求角度 【例3】（23-24八年级·贵州毕节·阶段练习）是的高，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】①如图1，当高在的内部时，； ②如图2，当高在的外部时，， 综上所述，的度数为或． 故选：D． 【变式3-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为 ． 【答案】0.5或1.5 【分析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解． 【详解】解： AD、AE分别是△ABC的高和中线，，， 如图，当是钝角三角形时， 当是锐角三角形时， 当是直角三角形时，，不合题意， 故答案为：或 【点睛】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分情况讨论当为锐角三角形时，利用同角的余角相等推出，根据对顶角相等和已知条件求出度数，即可求出度数；当为钝角三角形时，根据垂直定义，利用同角的余角相等求证，从而求出度数，最后结合邻补角定义即可求出度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，即为锐角，如图所示， ，， ，， ， ， ． 当为钝角三角形时，即为钝角，如图所示， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了三角形的高，对顶角的性质以及余角和邻补角，解题的关键在于考虑三角形的形状以及熟练掌握相关性质定理． 【变式3-3】（23-24八年级·江苏镇江·期中）已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：． 【详解】解：（1）如图1所示：时， 图1 ∵CD是AB边上的高， ∴，， ∵，， ∴， ∵CE平分， ∴， 在中，， ∴； （2）如图2所示：时， 图2 ∵CD是AB边上的高， ∴，， ∵，， ∴， ∵CE平分， ∴， 在中，， ∴； 综合（1）（2）两种情况可得：． 故选：D． 【点睛】题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形． 题型4 由三角形的中线（重心）求面积 【例4】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知为的中线，E为的中点，F为边的三等分点，连接．若四边形的面积为12，则的面积为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查三角形的面积，根据“F为边的三等分点”，可分为两种情况讨论：点F靠近点B、点F靠近点A．用字母表示，根据“等高三角形的面积比等于底边比”分别将其它各部分的面积表示出来，求出，从而求出的面积． 【详解】解：如图1和图2，连接． 如图1： 设，则， ∵为的中线， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵F为边的三等分点， ∴， ∴，即，解得， ∴的面积为9． 如图2： 设，则， ∵为的中线， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵F为边的三等分点， ∴， ∴，即，解得， ∴的面积为． 综上，△ACE的面积为9或． 故答案为：9或． 【变式4-1】（23-24八年级·山东泰安·阶段练习）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．    【答案】10 【分析】如图，利用三角形重心的性质得、为三角形的中线，，，然后根据三角形面积公式出，则，，从而得到图中阴影部分面积． 【详解】是的重心， 、为三角形的中线，，， ， ，， 图中阴影部分面积． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形面积公式． 【变式4-2】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，在中，，点E是的中点，交于点F，则四边形的面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形得面积及中线的性质，等高的三角形面积比等于它的底边的比，三角形得中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键，连接，设，根据，点是的中点分别表示出和，根据时最大，即可得出答案． 【详解】解：如图， ， 连接，设，根据 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴边上的高最大值为， ∴时最大，即的值最大， ∴的最大值=， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级·江苏连云港·阶段练习）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为 ．    【答案】60 【分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：在图①中，连接，    ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：60. 【点睛】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律． 题型5 面积转化与面积法 【例5】（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为14，则的面积为（  ） A．24 B．28 C．35 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出的值，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：D． 【变式5-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定取最大值时，取最小值，并掌握垂线段最短的性质． 根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，即 化简可得： 解得， 则取最大值时，取最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， ∴的最大值为． 故答案为：10． 【变式5-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，根据面积法求得的长，即可通过三角形面积公式求得的长，再根据，可得，再利用，即可解答． 【详解】解：如图，连接，    ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，熟练运用面积法得到是解题的关键． 考点二•与三角形有关的角 知识点一：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点二：直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 知识点三：三角形的外角 1. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD 是 △ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 题型6 三角形的折叠求角 【例6】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，是直线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时， ． 【答案】30或45或60或75 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分当点在线段上时，当点D在线段延长线上，两种情况当的三边与的三边有一组边垂直时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当点在线段上且时，如图， ∴    由折叠可知：， ∵， ∴； 当点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ∴； 当点D在线段延长线上且时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 当点在线段延长线上且时，如图， ∴， ∵， ∴；      当点在线段延长线上且时，如图所示， 同理可得； 当点在线段延长线上且时，如图所示， ∴， ∵， ∴； ∴由折叠的性质可得； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：30或45或60或75． 【变式6-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 【变式6-2】（23-24八年级·浙江湖州·期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 【变式6-3】（23-24八年级·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可； （2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可； （3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠得： . ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠得： ∴， ∴的度数为； （3）解：如图：    ∵， ∴， 由折叠得： ， ∴ ， ∴与x，y之间的数量关系：． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 题型7 双角平分线的夹角模型 【例7】（23-24八年级·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，和相交于点． (1)如图，若，平分，，求的度数； (2)如图，若，平分，平分，求证：； (3)如图，若平分，平分，和分别是和外角平分线，试探究，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的判定，求得，再根据角平分线的性质，进而求解； （2）根据角平分线的性质可以得到设，，过点作，则，即可得到，即可求解； （3）设，，根据角平分线的性质可以得到 ，进而求出，，之间的数量关系，进而求解； 【详解】（1）， ， 又， ，                  平分， ，                      （2）平分，平分， ，， 设，， ， ， ．              过点作，则， ， ， ， ，                    ．                                   （3）平分，平分，和分别是和外角平分线， ，，，， 设，， ，， 则①，          ， ， ②，                             ③，             由①②+③得：． 【变式7-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在中，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，得，则与的关系是 . 【答案】或 【分析】根据角平分线的性质和外角的性质，得到，同理可得，则，由此规律可得，然后得到答案. 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 同理可得：，…… ∴，…… ∴； 当时，有 或； 故答案为：或. 【点睛】本题考查了三角形的角平分线性质和外角性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和外角的性质得到，从而找到规律进行求解. 【变式7-2】（23-24八年级·上海浦东新·期末）如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为 .（用表示） 【答案】 【分析】连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数． 【详解】连接BC． ∵∠BDC=m°， ∴∠DBC+∠DCB=180°-m°， ∵∠BGC=n°， ∴∠GBC+∠GCB=180°-n°， ∴∠GBD+∠GCD=(180°-n°)-(180°-m°)=m°-n°， ∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线， ∴∠ABD+∠ACD=2∠GBD+2∠GCD=2m°-2n°， ∴∠ABC+∠ACB=2m°-2n°+180°-m°=180°+m°-2n°， ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°+m°-2n°)=2n°-m°， 故答案为2n°-m°. 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 【变式7-3】（23-24八年级·山西吕梁·期中）综合与探究 如图1，已知，是其内部一点，过点作，，分别交，于点，，平分，平分． 图1                                 图2 (1)①写出所有等于的角：______． ②试猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，点在射线上，连接，，且，平分，交于点，延长交于点，若，求的度数． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）①由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得答案；②延长交于H，由平行线的性质可得，则； （2）设交于K，由角平分线的定义得到，设，则，，由平行线的性质得到，则，进而得到，可得，再求出，得到，由平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，设交于K， ∵平分， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型8 高与角平分线夹角模型 【例8】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得； （2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得； （3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】（1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 平分.， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：在中，， 平分， ， 在中 ， ， . 【变式8-1】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图，在中，是的平分线，是边上的高，于，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，结合垂直的定义根据三角形内角和定理求出，则，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，，， ， 是的平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 于， ， ， ． 【变式8-2】（23-24八年级·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，．给出下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查三角线的三线，根据中线的定义，判断①，根据角平分线的定义以及同角的余角相等，判断③，根据等角的余角相等，对顶角相等，判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵，分别是的高和角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；故④正确； 条件不足，无法得到；故②错误； 故选A． 【变式8-3】（23-24八年级·甘肃武威·期末）如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，且，求的度数； (3)如图3，过点作交的平分线于点交于点，，垂足为．若，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线，直角三角形，角平分线等，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线定义的计算，是解题的关键． （1）根据垂直性质推出，得到，根据角平分线定义得到，推出，根据平行线性质得到，推出，进而求解即可； （2）过点作，根据平行线性质推出，，得到，根据角平分线性质得到，，推出，根据，得到，根据，得到； （3）延长交的延长线于点，根据垂直性质得到，，得到，设，则，根据角平分线定义设，得到，根据垂直性质得到，推出，根据，推出，得到． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）与之间的数量关系是：，理由： 如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴设，则， ∵平分， ∴设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点三•多边形及其内角和 知识点一：多边形的有关概念 1.在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 3.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 4.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 5.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图，AC,AD是五边形ABCDE的两条对角线. 总结：n边形有n 个顶点，n 条边，n个内角，2n个外角. 知识点二：多边形的内角和 名称 图形 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 从多边形的一顶点 引出的对角线分割 出的三角形个数 多边形内角和 三角形 1×180°=180° =180° 四边形 1 2 2×180°=360° =360° 五边形 2 3 3×180°=540° 六边形 3 4 4×180°=720° ... ... ... ... ... n 边 形 n-3 n-2 (n-2)×180° 知识点三：多边形的外角和 多边形的外角和等于360° . 多边形外角和的推导过程： n边形内角和为(n-2)×180°,设n边形的内角为∠1,∠2,∠3,…,∠n, 对应的外角度数为180°-∠1,180°-∠2,180°-∠3 ,…,180°-∠n,则外角和为(180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+…+(180°-∠n)=n×180°-(∠1+∠2+∠3+…+∠n)=n×180°-(n-2)×180°=360° 题型9 多边形中的角平分线的夹角 【例9】（23-24八年级·四川绵阳·期中）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2)平分 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据四边形内角和360度即可解答； （2）根据角平分线性质可得，再根据、，然后根据同角的余角相等可得结论； （3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度求解即可． 【详解】（1）解：，为直角， ， 根据四边形内角和等于得：， ， 故答案为： （2）解：平分，理由如下： 平分， ， ，为直角， ，， ， 平分； （3）解：与的位置关系是：，证明如下： 由（1）可知：， 又， ， 平分，平分， ∴，， ， 为直角， ， ， 又， ， ，即 【变式9-1】（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图，在五边形中，，分别平分，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵的平分线在五边形内相交于点O， ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键． 【变式9-2】（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B=10°，∠C=40°，则∠E= ． 【答案】15° 【分析】根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°，根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC，∠EDC=∠BDC，再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，进而可求得∠E的度数． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠C+(360°﹣∠BDC)=360°，∠B=10°，∠C=40°， ∴∠BDC﹣∠BAC=50°， ∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC， ∴∠EAC=∠BAC，∠EDC=∠BDC， ∴∠EDC﹣∠EAC==∠BDC﹣∠BAC=25°， 设CD与AE相交于F，则∠DFE=∠AFC， ∵∠E+∠EDC+∠DFE=∠C+∠EAC+∠AFC， ∴∠E+∠EDC=∠C+∠EAC， ∴∠E=∠C﹣(∠EDC﹣∠EAC)=40°﹣25°=15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查角平分线的定义、四边形的内角和为360°、周角定义、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握这些知识的运用与联系是解答的关键． 【变式9-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题． 我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数． ②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）． ③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   【答案】(1)见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据题干的结论列出，相加得到，继而得到，即可证明结论； （2）①如图所示，分作的角平分线交于H，根据（1）的结论得到，再由角平分线的定义和平角的定义证明，，再根据题干的结论可推出； ②如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知，，同理可得，，则由四边形内角和定理可得； ③由题干的结论可得，由角平分线的定义得到，再求出，由题干的结论可知，由此可得． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴， ∴， 由题干的结论得：，∠， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知， ∵分别平分， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得， 由题干的结论可得， ∴；    ②如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知，， 同理可得，， ∴；    ③由题干的结论可得， ∵平分，平分的外角， ∴， ∵， ∴， 由题干的结论可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 题型10 多边形与多角求和 【例10】（23-24八年级·江苏镇江·期末）（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，． ①若，则______°； ②若，则的取值范围是______． （2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”． 如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．    【答案】（1）①140；②；（2）五边形不是“完美五边形”；理由见解析 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出，，根据四边形内角和定理求出结果即可； ②根据三角形和四边形内角和定理求出，然后根据求出结果即可； （2）延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，根据，得出延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角，假设五边形为“完美五边形”，得出，根据平行线的性质和三角形内角和定理得出，，求出，得出、、、不可能相等，假设不成立，即可证明结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）五边形不是“完美五边形”；理由如下： 延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，如图所示：    ∵， ∴延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角， ∴假设五边形为“完美五边形”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中， 在中， ∴，这与矛盾， ∴、、、不可能相等，假设不成立， ∴五边形不是“完美五边形”． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，四边形内角和，平行线的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握三角形内角和为． 【变式10-1】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式10-2】（23-24八年级·北京朝阳·期末）（1）如图1所示， ； （2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为 ；二环五边形的内角和为 ；二环n边形的内角和为 ． 【答案】 360° 720° 1080° 【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案； （2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，连接AD，交于点M ∵，， ∴ ； 故答案为：360° （2）如图，连接，交于点M ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴二环四边形的内角和为： ∵二环三角形的内角和为： 二环四边形的内角和为： ∴二环五边形的内角和为： ∴二环n边形的内角和为： 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解． 【变式10-3】（23-24八年级·福建南平·期中）根据题意解答： (1)如图1，点、、、在同一直线上，平分，，若为度，求的度数（用关于的代数式表示），并说明理由． (2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，地面，地面，求的度数，并说明理由． (3)如图3，若，，，则__________度． 【答案】(1) ，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）根据平角定义表示，由角平分线定义得： ，最后根据平行线性质得结论； （2）作平行线，根据平行线的性质得：和，所以； （3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和列式后可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ， ∵， ∴ ． （2）解：过作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形， 由三角形外角定理得：， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，构建恰当的辅助线是解答本题的关键；熟练掌握外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知道四边形的内角和为． 题型11 与三角形有关的情景创新题 【例11】（23-24八年级·山东济宁·期中）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于D．猜想的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值，得到下面几组对应值： 度 10 20 30 20 20 度 70 70 60 60 80 度 30 a 15 20 30 上表中　 　，于是得到的数量关系为 　 　． 【变式应用】 (2)小明继续探究，在图2中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“F是线段上一点，于点D．”．求的度数，并写出与的数量关系． 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点P在线段上”改为“点F是延长线上一点”其余条件不变，当时，度数为 　 　． 【能力提升】 (4)在图4中，若点F在的延长线上，于点D，，其余条件不变，分别作出和的角平分线，交于点P，试用x，y表示　 ．         【答案】(1)25；； (2)20；； (3)28 ； (4)． 【分析】（1）求出和的大小即可得到的值，再通过找规律的形式得出三者的关系， （2）过点A作于M，先求得，再由平分，求得，从而即可求得，同理可求得； （3）过点A作于点M，先证明，得，再由（2）得，即可求解； （4）过点A作于点M，先求得，进而由、分别平分和，得，，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，． ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故答案为∶25；； （2）解：如图，过点A作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 同时， ∴可得出， ∴； （3）解：如下图，过点A作于点M， ∵，， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴， 故答案为∶28． （4）解：如下图，过点A作于点M， ∵，， ∴，， ∴， 由（2）得， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查三角形的内角和定理、直角三角形的两锐角互余、平行线的判定及性质以及角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式11-1】（23-24八年级·山西大同·阶段练习）阅读下面材料： 如图①是一个六分仪，六分仪是测量远方两个目标之间夹角的光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪按照一定的观测步骤（图②显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定的计算得出观测点的地理坐标． 如图③，在“六分仪原理图”中，所观测物体记为，两个反射镜面位于两处，处的镜面所在的直线自动与刻度线保持平行（即），并与处的镜面所在的直线交于点所在的直线与水平线交于点，六分仪上刻度线与刻度线的夹角，则观测角．（请注意小贴士中的信息） 求证：． 完成下面的证明． 证明：∵，（ ） ， （ ） （ ） ， 是 的外角， （ ） 即． 补全证明过程： 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；对顶角相等，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；补全证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 由E得，再由三角形的外角的性质得与，进而可得结论． 【详解】证明：，（两直线平行，内错角相等） ， （等量代换） （对顶角相等） ， 是的外角， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 即． ， ． 【变式11-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）阅读下列材料，并解答相关问题． 背景 在探究三角形内角和定理的课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． 问题初探 嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形的顶点作，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题． 已知：如图1，在三角形中，过顶点作． 求证：． 证明：， ①_____，②_____．（③_____） ，（平角定义） ④_____⑤_____．（等量代换） 类比分析 淇淇将顶点的位置一般化（如图2），换成三角形边上的任意一点，过顶点分别作平行于的平行线．由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于”这个命题． 学以致用 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中都与地面平行，，，当______时，． (1)补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容． (2)对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明． (3)在图4中，当______时，． 【答案】(1)①；②；③两直线平行，内错角相等；④；⑤ (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的证明，熟记平行线的性质是解本题的关键． （1）根据题干信息提示，完善推理过程与推理依据即可； （2）如图，过作，交于，再结合平行线的性质与平角的定义可得结论； （3）先证明，可得，结合，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：证明：， ①，②．（③两直线平行，内错角相等） ，（平角定义） ④ ⑤ ．（等量代换） （2）解：如图，过作，交于， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时， ∴． 【变式11-3】（23-24八年级·江苏南京·期中）【概念学习】 我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”． 【概念理解】 （1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点D，则______． 【概念应用】 （2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数． （3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点P，若，，请直接写出分类情况和相应的的度数．    【答案】（1）或；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据三角形内角和求出，再根据角三分线的概念求出，然后根据三角形外角的定义分两种情况即可得出答案； （2）根据题意得，，再根据三角形内角和求出，然后再一次利用三角形内角和即可得出答案； （3）分四种情况：①当是邻角三分线、是邻角三分线；②当是邻角三分线、是邻角三分线；③当是邻角三分线、是邻角三分线；④当是邻角三分线、是邻角三分线；先分别表示出和，再利用三角形外角即可得出答案． 【详解】（1）如图：    ，， 的角三分线交于点D， 当是“邻角三分线”时，； 当是“邻角三分线”时， 故答案为：或； （2） 、分别是邻角三分线和邻角三分线， ， ， ； （3）分四种情况： ①当是邻角三分线、是邻角三分线，如图1    ，， ，， 是的一个外角 ； ②当是邻角三分线、是邻角三分线，如图2    ，， ，， 是的一个外角 ③当是邻角三分线、是邻角三分线，如图3    ，， ，， 是的一个外角 ； ④当是邻角三分线、是邻角三分线，如图4    ，， ，， 是的一个外角 【点睛】本题考查了三角形的角平分线的计算、三角形内角和与外角以及邻补角，根据图形找到角之间的关系是解题的关键． 实战演练 1．（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B． 2．（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 【答案】A 【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论. 【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB， 同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC， 以上三式左右两边分别相加得到: 2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC, 即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)， ∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14， 即PA+ PB+ PC>14 故选A. 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论． 3．（23-24八年级·河南郑州·期末）如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一点F,使得OF=AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】重心定理：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等. 【详解】解：∵点D、E分别是边AC,AB的中点， ∴O为△ABC的重心， ∴ =4, ∴ =2, ∵OF=AF， ∴ =, ∴S阴=+=. 故选B. 【点睛】本题考查了重心及重心定理，熟练掌握相关定理是解题关键. 4．（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知中，，将，按照如图所示折叠，若，则的度数是（   ） A．245 B．255 C．265 D．275 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，注意“三角形的内角和是”、“四边形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠知． ∵， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 5．（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④．    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质和三角形外角的性质可得 ，易得，即可证明，故①正确；由平行线的性质和角平分线的性质可得，，易得，故②正确；首先证明，结合三角形内角和定理可得，进而证明，故③正确；首先证明 ④首先证明，结合，，，易得，进而可证明，故④正确． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解题关键． 6．（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）如图，的面积是15，，O是边上任意一点（不与点B、C重合），于点D，于点E，设，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形高的计算，解题的关键是正确作出辅助线．连接，根据，代入数据计算，即可求解． 【详解】解：连接， ∵的面积是15，， ∴， 即， ， 故答案为：5． 7．（23-24八年级·四川德阳·阶段练习）如图， ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，多边形内角和问题，根据三角形外角的性质得到，再根据四边形内角和和即可求解． 【详解】解：如图： ， 故答案为： ． 8．（23-24八年级·山东·单元测试）已知等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长为 . 【答案】或 【分析】根据题意，边长为11cm，可能为腰，也可能为底边，分两种情况讨论并进行验证即可. 【详解】当腰长11cm时，三角形周长为：11+11+11=cm ， 当底边长11cm时，三角形周长为：2+11=cm ， 经检验：腰为11cm，底边为cm ；底边为11cm，腰为cm 都可构成三角形，符合题意. 故答案为cm或cm 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，并对各种情况是否能构成三角形进行验证是解题的关键． 9．（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）是的一条高线，若，，则 . 【答案】或． 【分析】本题考查了角的和差，分在内部和在外部两种情况画出图形，根据图形即可求解，根据题意，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：有两种情况： 在内部，如图， ∵，， ∴； 在外部，如图， ∵，， ∴； 故答案为：或． 10．（23-24八年级·湖北武汉·期中）平面直角坐标系中，点，，，在轴左侧一点（且点不在直线上）．若，与的角平分线所在直线交于点．则的度数为 °． 【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点在下方，设与交于点，过点作，先证明平分，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出，即可求解；②点在上方，设与交于点，过点作，先证明平分，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出，即可求解． 【详解】解：分两种情况， ①点在下方时， 设与交于点，过点作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， 平分， ， ， ， ； ①点在上方时， 设与交于点，过点作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， 直线平分， ， ， ， ， 或． 故答案为：70或110． 【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 11．（23-24八年级·云南楚雄·期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高，解题的关键是掌握相关知识．由平分，可得，根据是的高，推出，再根据可求出，根据三角形的内角和定理求出，由平分，可得，最后在中，根据三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解： 平分，， ， 是的高， ， ， ， ，， ， 平分， ， ． 12．（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，在四边形中，，． (1)如图1，若，则________度； (2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数； (3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数； ②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)65 (2) (3)①，②，理由见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据四边形内角和为，结合已知条件求解即可； （2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形内角和定理计算即可得出答案； （3）①先根据四边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （3）解： 四边形中， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； ②∵五边形的内角和为， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴． 13．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”． 理解概念： (1)如图①，在中，，平分．求证：为“微妙三角形”； 概念应用： (2)若为“微妙三角形”，且．试判断的形状，并说明理由； (3)如图②，在中，若，平分，且是的“微妙分割线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，从而推出，最后由“微妙三角形”的定义即可得出答案； （2）由三角形内角和定理可得，由微妙三角形”的定义可得或，从而推出或，分别进行计算即可得到答案； （3）分情况讨论：当为“微妙三角形”或当为“微妙三角形”，根据“微妙三角形”的定义进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴， 平分， ∴，即， ∴为“微妙三角形”； （2）解：是直角三角形， 理由：在中，∵， ∴， ∵为“微妙三角形”， ∴或， ∴或， 当时，，是直角三角形， 当时，，是直角三角形， 综上所述，是直角三角形； （3）解： 平分， ， 是的“微妙分割线”， 为“微妙三角形”或为“微妙三角形”， 当为“微妙三角形”时，则或， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：， ； 当为“微妙三角形”时，则或或， 当时， ， ， 由①②得：， ； 当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 14．（23-24八年级·山西大同·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用如图1，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：．下面是该性质的证明过程： 证明：如图2，连接并延长到点． ∵是的外角， ∴（根据1）． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴．       任务： (1)填空：材料中的根据1是指___________________________________________． (2)你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． (3)一个零件的形状如图3所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件________．（填“合格”或“不合格”） 【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 (2)见解析 (3)不合格 【分析】（1）根据三角形的外角性质即可解答； （2）延长交于点E，如图，根据三角形的外角性质证明即可； （3）根据材料中的性质即可判断． 【详解】（1）材料中的根据1是指：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 （2）延长交于点E，如图， 则， ∴；    （3）由“箭头图”图案的性质得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵按规定应等于才合格， ∴这个零件不合格； 故答案为：不合格． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 15．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接、． (1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________； (2)如图2，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，F是纸带上另一点，连接、，，和的平分线交于点，延长交于点G，．过点E的直线交于点M，交于点N，，直线绕点E以的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，将右侧纸带沿翻折，当和首次重合时，直线停止转动，此时直线翻折后与直线交于点．求直线停止转动时的值及的度数． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)， 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和，翻转的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）过点作，进而证明，即可求解； （2）过点作，如图2，设与的补角为，，，，进而证明出，即可求证； （3）根据对称性，当时，与会重合，转动速度为，此时，根据在四边形中，且，再列出有关于t的方程，求解的值，进而求出的度数； 【详解】（1）解：过点作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， ， （2）解：过点作，如图2，设与的补角为，， ， ， ，， ，， ，， 即， ， ， ， （3）解：根据对称性，当时，与会重合，如图， 转动速度为，此时， ， ， ， ， ， 在四边形中，且， ， ， ， 平分，平分， ，， 由（2）可知且， ， ， ， ， 在四边形中，， ， 解得：， 作关于对称点， ，， ， ， ， ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$