专题01 三角形全章期考真题专项复习（3大考点11种题型）（培优篇）2024—2025学年人教版 数学八年级上册

专题01 三角形全章期考真题专项复习 （培优篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•与三角形有关的线段 知识点一：三角形的有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的三要素 角：相邻两边组成三角形的内角，简称三角形的角 顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点 边：组成三角形的线段叫做三角形的边 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 知识点二：三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 (1) 按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2） 按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点三：三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 知识点四：三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点五：三角形的中线 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 知识点六：三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部，这个点叫做三角形的内心. 知识点七：三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 题型1 三角形的有关概念 【例1】（23-24八年级·上海浦东新·期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据各类三角形的概念即可解答. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选C． 【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形. 【变式1-1】（23-24八年级·北京朝阳·期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为 ．    【答案】4． 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC， ∴以BC为公共边的三角形的个数是4个． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题． 【变式1-2】（23-24八年级·湖北宜昌·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得两个角的度数为32°、74°，于是他很快判断这个三角形是（  ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和是180°，求得第三个内角的度数，然后根据角的度数判断三角形的形状． 【详解】第三个角的度数=180°-32°-74°=74°， 所以，该三角形是等腰三角形. 故选B. 【点睛】此题考查了三角形的内角和公式以及三角形的分类． 【变式1-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有 个各种大小的三角形． 【答案】27 【分析】把图中等腰直角三角形分成四类进行计数，从而可以不重复，不遗漏的得到答案． 【详解】解：最小的等腰直角三角形有16个， 由4个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有7个， 由9个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有3个， 由16个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有1个， ∴一共有（个）． 故答案为：27． 【点睛】本题考查的是三角形的计数问题，关键是计数要注意不重复，不遗漏． 题型2 构成三角形的条件及其应用 【例2】（23-24八年级·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)的周长为11或13 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，的周长为． 综上所述，的周长为11或13． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 【变式2-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三边关系进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不能摆成三角形， ，故选项B不能摆成三角形， ，故选项C能摆成三角形， ，故选项D不能摆成三角形， 故选：C． 【变式2-2】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是利用三角形的三边关系进行解题．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，进而可判断与的大小关系． 【详解】解：如下图， 根据题意，， ， ∵在中，， ∴ ， ∴． 故选：A． 【变式2-3】（23-24八年级·河南省直辖县级单位·期中）有四条线段，长分别是3厘米，5厘米，7厘米，9厘米，如果用这些线段组成三角形，可以组成不同的三角形的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】试题解析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”， 其中的任意三条组合有3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9四种情况． 根据三角形的三边关系，则其中的3+5＜9，不能组成三角形，应舍去． 故选C． 题型3 三角形的高 【例3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图，，与相交于点E，设的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底等高的两个三角形面积相等得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，在中，边上的高是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：根据高的定义，为中边上的高． 答案为：． 【变式3-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线． 故选：D． 【变式3-3】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高线，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．首先求出，再求出，根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵为高线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 题型4 中线的性质与应用 【例4】（23-24八年级·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线．熟练掌握三角形中线定义，三角形周长定义，解二元一次方程组，是解决问题的关键．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形中线．三角形三边长的和叫做三角形的周长． 根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；因为与的和为，则可求出的长度． 【详解】解：是边上的中线， ． 的周长比的周长少， ， 即． 又， 得． 【变式4-1】（23-24八年级·内蒙古·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义；根据三角形重心的定义，三角形的中线等分面积，得出，再根据等式的性质判断． 【详解】解：∵F是的重心， ∴ ∴， ∴； 故选：A． 【变式4-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长-当的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【变式4-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E、F分别为、、的中点，且阴影部分的面积，则为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形分别计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是的中点，即是的中线， ∴ 又点是的中点， ∴ ∴ 故答案为：12 题型5 三角形的角平分线 【例5】（23-24八年级·浙江湖州·期中）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（　　） ①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意； ②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意； ③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意； ④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意； 说法正确的有③④，共2个， 故选：B． 【变式5-1】（2024·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 【答案】C 【分析】由折叠的性质可求解． 【详解】解：当与重合时，折痕是的角平分线； 当点A与点B重合时，折痕是边上的中线， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级·北京·期中）如图，已知 ，平分，若点B可表示为，点C可表示为，则点D可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，正确理解题意所给点的表示方法是解题关键，由题意设点D可表示为，其中，根据角角的和差关系以及角平分线的性质求得即可． 【详解】解：由题意设点D可表示为， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即， ∴点D可表示为． 故选：C． 【变式5-3】（23-24八年级·北京·期中）共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，平分，，则当为（    ）度时，与平行． A．69 B．64 C．59 D．52 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义，由题意可得，可得出，即可求出，由角平分线的定义可得出，即可得出当时，与平行． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴当时，与平行． 故选：B． 题型6 三角形的稳定性 【例6】（23-24八年级·新疆阿克苏·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对图形稳定性的理解和判断．解题的关键在于理解稳定性的定义，即图形在受到外力作用时能够保持其形状和大小不变的性质，并熟悉哪些基本图形具有稳定性． 在判断组合图形的稳定性时，可以根据图形中是否包含三角形或者能否通过三角形的组合来增强图形的稳定性即可解答． 【详解】A． 正方形状：正方形在受到外力作用时，容易变形，因此不具有稳定性，故该选项不符合题意； B． 梯形和三角形组合：这个组合包含了梯形和三角形，由于梯形的是四边形，这个组合的整体不具有稳定性，故该选项不符合题意； C． 三角形组合的六边形：这个图形是由三角形组合而成的六边形，由于三角形具有稳定性，这个六边形在受到外力时能够保持其形状不变．因此，这个图形具有稳定性，故该选项符合题意； D． 平行四边形：平行四边形在受到外力作用时，容易变形，因此不具有稳定性．故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了，他所应用的数学道理是（   ） A．两点确定一点直线 B．两点之间线段最短 C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识． 根据三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形， 所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性， 故选：D． 【变式6-2】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性的应用是解题的关键． 根据三角形的稳定性作答即可． 【详解】解：由题意知，蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【变式6-3】（23-24八年级·广东韶关·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．平行四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．点到直线的距离垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的不稳定性．生活中常见的机械臂、升降机等，这是应用了四边形不稳定性进行制作的，便于伸缩． 【详解】解：月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了四边形不稳定性的特性． 故选：B． 考点二•与三角形有关的角 知识点一：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点二：直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 知识点三：三角形的外角 1. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD 是 △ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 题型7 利用三角形的内角和求角 【例7】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理． （1）在中根据三角形三个内角的和是即可求出的度数； （2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，从而判断出的形状． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵，， ， 由（1）得， ， 为直角三角形． 【变式7-1】（23-24八年级·安徽滁州·期末）如图，在中，，平分，于点F，和相交于点O．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程应用，角平分线定义，解题关键是根据三角形内角和定理求出，，． 【详解】解：设，则，，根据题意得： ， 解得：， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（23-24八年级·广东江门·期中）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和的应用，结合物理知识得到，是解题的关键．由题意得，，，，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 【变式7-3】（23-24八年级·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合． （1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果； （2）根据，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕， ∴， ∵将对折，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 题型8 利用直角三角形的两锐角互余求角 【例8】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在中，是边上的高，平分交于点，平分交于点，相交于点，． (1)求 的度数； (2)求 的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解； （）由三角形高的定义可得，即可得，再根据角的和差关系即可求解 本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，，，，求的度数．        【答案】． 【分析】本题考查了垂直的定义以及直角三角形的性质．分别求出和以及的度数，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴． 【变式8-2】（23-24八年级·陕西铜川·期末）如图，点、分别在的边、上，过点作于点，过点作于点，点在上，连接，，与平行吗？为什么？    【答案】与平行，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定、等角的余角相等、直角三角形两锐角互余，，，得到，则，又由，即可得到，即可证明 【详解】解：与平行， 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式8-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴ ， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 题型9 三角形外角的性质 【例9】（23-24八年级·广东东莞·课后作业）如图，和是分别沿着、边翻折形成的，若，则的度数为 度． 【答案】80 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．根据三角形的内角和得出，，，再结合折叠的性质计算得，，，最后结合，即可作答． 【详解】解：如图： ∵， ∴设，，， 由得： ， 解得， 故，，， ∵和是分别沿着、边翻折形成的， ∴，， ∴， ∴， 故， 在与中，，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式9-1】（23-24八年级·甘肃张掖·期末）如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式9-2】（23-24八年级·山西忻州·期末）如图，左边是某房屋的骨架图案，数学小组的同学通过测量，将其绘制成右边的几何图形，得到． (1)直接写出与的位置关系：_____，并说明理由． (2)通过细致测量，发现的平分线是，于点E，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义 ，三角形外角的性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，根据平行线的性质得到，又，即可得出，即可得出结论． （2）先由，得到，从而求得，再由角平分线的定义与平行线的性质求得，即可由三角形外角性质求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵的平分线是， ∴， ∴， ∴． 【变式9-3】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】延长交于点，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据已知可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 考点三•多边形及其内角和 知识点一：多边形的有关概念 1.在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 3.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 4.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 5.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图，AC,AD是五边形ABCDE的两条对角线. 总结：n边形有n 个顶点，n 条边，n个内角，2n个外角. 知识点二：多边形的内角和 名称 图形 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 从多边形的一顶点 引出的对角线分割 出的三角形个数 多边形内角和 三角形 1×180°=180° =180° 四边形 1 2 2×180°=360° =360° 五边形 2 3 3×180°=540° 六边形 3 4 4×180°=720° ... ... ... ... ... n 边 形 n-3 n-2 (n-2)×180° 知识点三：多边形的外角和 多边形的外角和等于360° . 多边形外角和的推导过程： n边形内角和为(n-2)×180°,设n边形的内角为∠1,∠2,∠3,…,∠n, 对应的外角度数为180°-∠1,180°-∠2,180°-∠3 ,…,180°-∠n,则外角和为(180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+…+(180°-∠n)=n×180°-(∠1+∠2+∠3+…+∠n)=n×180°-(n-2)×180°=360°. 题型10 多边形内外角与边数 【例10】（23-24八年级·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 【变式10-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m+n= ． 【答案】7 【分析】本题考查多边形的对角形，根据从多边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，将多边形分为个三角形，求出，；进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：，； ． 故答案为：7． 【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，根据多边形的内角和定理列式计算可求解． 【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，判定边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论． 【变式10-3】（23-24八年级·山东聊城·期末）近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图所示，若，，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的内角和定理，延长交于点，延长交于点，连接，先根据多边形内角和定理求出的度数，即可求出的度数，再根据平行线的性质得出，，即可求出度数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】延长交于点，延长交于点，连接， 由题意得，， ∴八边形 的内角和是：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型11 正多边形的内外角与边数的关系 【例11】（23-24八年级·江西上饶·阶段练习）如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形 和正六边形，和相交于点．求． 【答案】84° 【分析】利用正多边形内角和定理求得和的度数，利用正多边形外角和定理结合平角的定义求得的度数，利用四边形内角和定理即可求解． 【详解】解：在正五边形中， 每个内角的度数为， ∴， 同理可得正六边形每个内角的度数为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角和外角是解题的关键． 【变式11-1】（23-24八年级·四川成都·期末）已知正边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正边形的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和、正多边形的内角等知识点，掌握正多边形的内角和与外角和成为解题的关键． 根据题意列出方程求得边数，再求得内角和，最后求出每个内角即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴这个正n边形的内角和为：， ∴这个正边形的内角为． 故选：D． 【变式11-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数为 ． 【答案】/84度 【分析】本题主要考查正多边形的外角与内角，熟练掌握正多边形的性质、多边形的内角和与外角和是解决本题的关键．根据多边形的内角与外角、正多边形的性质解决此题． 【详解】解：如图． 由题意得，，，，． ． ． 故选： 【变式11-3】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若，则 °. 【答案】66 【分析】根据太阳光线是平行线，构造平行线，利用平行线的性质，结合正五边形的内角和定理解答解． 本题考查了平行线的性质，正五边形的内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设给出的一组平行光线如下图，设过点E的平行光线是直线，正五边形的顶点为M，E，Q， 根据题意，得， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：66． 实战演练 1．（23-24八年级·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个， 故选C． 2．（23-24八年级·福建福州·期末）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能为（     ） A．3 B．6 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为3和7， 则：第三边的的取值范围为：，即：； ∴第三边长可能为6； 故选：B． 3．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）画的边上的高，下列画法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，边上的高是从点C向作垂线，顶点C与垂足形成的线段，即如下所示， 故选：D． 4．（23-24八年级·山东潍坊·期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据得到，即可求出的大小． 【详解】解：由五边形的内角和公式得， ∵， ∴， ∴． 故选：C 5．（23-24八年级·全国·期末）如图，在中，平分，，且分别交，，及的延长线于点 ，，，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义可得，由可求出的度数，根据对顶角相等可得，利用外角性质求出的度数即可． 【详解】 ，， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， 故选：A． 6．（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，在中，是中线，已知的周长比的周长多，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，先根据是中线得出，再由“的周长比的周长多”可知，据此可得出结论．熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 【详解】解：∵在中，是中线， ∴， ∵的周长比的周长多，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级·重庆·期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质，可知∠ACD，进而根据三角形外角定理，即可求得∠A. 【详解】∵CE是角∠ACD的平分线，∠ACE=60° ∴∠ACD=120° 又∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠A=∠ACD-∠B=85° 故答案为85°. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角定理，熟知上述知识点是解答本题的关键. 8．（23-24八年级·甘肃兰州·期末）如图，在中，，于点D，若，则∠B的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，先求出，再由垂线的定义得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了 米． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的知识，解题的关键是掌握正多边形的外角和，求出有几条边，即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进米后向左转， ∴他走过的图形为正多边形， ∴正多边形的边数为：， ∴第一次回到出发地点时，一共走了， 故答案为：． 10．（23-24八年级·四川泸州·期末）如图，是的角平分线，是边上一点，交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知：三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 先利用三角形外角的性质及角的和差证得，再利用角平分线的定义和三角形外角的性质证得，最后三角形三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．的三个顶点均在小正方形的格点上． (1)在图中画出的边上的高，垂足为D； (2)在图中画出的边边上的中线． (3)直接写出 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)18 【分析】（1）找到所在水平网格线与点C所在竖直网格线的交点即为D点； （2）根据长为6个单位可找到的中点E，连接即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可． 本题考查了网格中画三角形的高线和中线，以及求三角形的面积，掌握三角形的高线和中线的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，是边上的高． （2）解：如图，取的中点E，连接，则线段即为的边边上的中线． （3）解：． 故答案为：18． 12．（23-24八年级·河南新乡·期末）如图，在中，是的平分线，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，平行线的性质，三角形内角和定理．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再利用三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24八年级·吉林长春·期末）在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为 (1)求的值； (2)正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为________，正五边形对角线的总条数为________． 【答案】(1)5 (2)2，5 【分析】本题考查正多边形的内角和外角，多边形的对角线： （1）设每个内角的度数为，每个外角的度数为，列出方程进行求解即可； （2）根据从一个多边形的顶点出发可以引出条对角线，总共有条对角线，进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个内角的度数为，每个外角的度数为， 则：， ∴， ∴， ∴； （2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为：，正五边形对角线的总条数为：； 故答案为：2，5 14．（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点的位置， (1)探索∠A与∠1＋∠2之间的数量关系，并说明理由． (2)如果点A落在四边形BCDE外点的位置，∠A与∠1、∠2之间的数量关系有何变化，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，从而得到，再由，，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点的位置， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点的位置， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 15．（23-24八年级·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形全章期考真题专项复习 （培优篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•与三角形有关的线段 知识点一：三角形的有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的三要素 角：相邻两边组成三角形的内角，简称三角形的角 顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点 边：组成三角形的线段叫做三角形的边 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 知识点二：三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 (1) 按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2） 按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点三：三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 知识点四：三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点五：三角形的中线 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 知识点六：三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部，这个点叫做三角形的内心. 知识点七：三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 题型1 三角形的有关概念 【例1】（23-24八年级·上海浦东新·期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】（23-24八年级·北京朝阳·期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为 ．    【变式1-2】（23-24八年级·湖北宜昌·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得两个角的度数为32°、74°，于是他很快判断这个三角形是（  ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式1-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有 个各种大小的三角形． 题型2 构成三角形的条件及其应用 【例2】（23-24八年级·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 【变式2-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12 【变式2-2】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级·河南省直辖县级单位·期中）有四条线段，长分别是3厘米，5厘米，7厘米，9厘米，如果用这些线段组成三角形，可以组成不同的三角形的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型3 三角形的高 【例3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图，，与相交于点E，设的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，在中，边上的高是 ．    【变式3-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 题型4 中线的性质与应用 【例4】（23-24八年级·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长． 【变式4-1】（23-24八年级·内蒙古·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【变式4-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E、F分别为、、的中点，且阴影部分的面积，则为 ． 题型5 三角形的角平分线 【例5】（23-24八年级·浙江湖州·期中）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（　　） ①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】（2024·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 【变式5-2】（23-24八年级·北京·期中）如图，已知 ，平分，若点B可表示为，点C可表示为，则点D可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24八年级·北京·期中）共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，平分，，则当为（    ）度时，与平行． A．69 B．64 C．59 D．52 题型6 三角形的稳定性 【例6】（23-24八年级·新疆阿克苏·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了，他所应用的数学道理是（   ） A．两点确定一点直线 B．两点之间线段最短 C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性 【变式6-2】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【变式6-3】（23-24八年级·广东韶关·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．平行四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．点到直线的距离垂线段最短 考点二•与三角形有关的角 知识点一：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点二：直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 知识点三：三角形的外角 1. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD 是 △ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 题型7 利用三角形的内角和求角 【例7】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 【变式7-1】（23-24八年级·安徽滁州·期末）如图，在中，，平分，于点F，和相交于点O．求的度数． 【变式7-2】（23-24八年级·广东江门·期中）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24八年级·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 题型8 利用直角三角形的两锐角互余求角 【例8】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在中，是边上的高，平分交于点，平分交于点，相交于点，． (1)求 的度数； (2)求 的度数． 【变式8-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，，，，求的度数．        【变式8-2】（23-24八年级·陕西铜川·期末）如图，点、分别在的边、上，过点作于点，过点作于点，点在上，连接，，与平行吗？为什么？    【变式8-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 题型9 三角形外角的性质 【例9】（23-24八年级·广东东莞·课后作业）如图，和是分别沿着、边翻折形成的，若，则的度数为 度． 【变式9-1】（23-24八年级·甘肃张掖·期末）如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级·山西忻州·期末）如图，左边是某房屋的骨架图案，数学小组的同学通过测量，将其绘制成右边的几何图形，得到． (1)直接写出与的位置关系：_____，并说明理由． (2)通过细致测量，发现的平分线是，于点E，且，求的度数． 【变式9-3】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ． 考点三•多边形及其内角和 知识点一：多边形的有关概念 1.在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 3.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 4.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 5.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图，AC,AD是五边形ABCDE的两条对角线. 总结：n边形有n 个顶点，n 条边，n个内角，2n个外角. 知识点二：多边形的内角和 名称 图形 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 从多边形的一顶点 引出的对角线分割 出的三角形个数 多边形内角和 三角形 1×180°=180° =180° 四边形 1 2 2×180°=360° =360° 五边形 2 3 3×180°=540° 六边形 3 4 4×180°=720° ... ... ... ... ... n 边 形 n-3 n-2 (n-2)×180° 知识点三：多边形的外角和 多边形的外角和等于360° . 多边形外角和的推导过程： n边形内角和为(n-2)×180°,设n边形的内角为∠1,∠2,∠3,…,∠n, 对应的外角度数为180°-∠1,180°-∠2,180°-∠3 ,…,180°-∠n,则外角和为(180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+…+(180°-∠n)=n×180°-(∠1+∠2+∠3+…+∠n)=n×180°-(n-2)×180°=360°. 题型10 多边形内外角与边数 【例10】（23-24八年级·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【变式10-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m+n= ． 【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ． 【变式10-3】（23-24八年级·山东聊城·期末）近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图所示，若，，，，则的度数为 ． 题型11 正多边形的内外角与边数的关系 【例11】（23-24八年级·江西上饶·阶段练习）如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形 和正六边形，和相交于点．求． 【变式11-1】（23-24八年级·四川成都·期末）已知正边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正边形的内角为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数为 ． 【变式11-3】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若，则 °. 实战演练 1．（23-24八年级·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级·福建福州·期末）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能为（     ） A．3 B．6 C．10 D．11 3．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）画的边上的高，下列画法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级·山东潍坊·期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 5．（23-24八年级·全国·期末）如图，在中，平分，，且分别交，，及的延长线于点 ，，，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，在中，是中线，已知的周长比的周长多，，则 ． 7．（23-24八年级·重庆·期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ． 8．（23-24八年级·甘肃兰州·期末）如图，在中，，于点D，若，则∠B的度数为 ． 9．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了 米． 10．（23-24八年级·四川泸州·期末）如图，是的角平分线，是边上一点，交于点．若，，则的度数为 ． 11．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．的三个顶点均在小正方形的格点上． (1)在图中画出的边上的高，垂足为D； (2)在图中画出的边边上的中线． (3)直接写出 ． 12．（23-24八年级·河南新乡·期末）如图，在中，是的平分线，，，，求和的度数． 13．（23-24八年级·吉林长春·期末）在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为 (1)求的值； (2)正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为________，正五边形对角线的总条数为________． 14．（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点的位置， (1)探索∠A与∠1＋∠2之间的数量关系，并说明理由． (2)如果点A落在四边形BCDE外点的位置，∠A与∠1、∠2之间的数量关系有何变化，请说明理由． 15．（23-24八年级·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$