四川省乐山第一中学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

乐山一中高2027届高一（上）10月月考数学 一、单选题（每题5分，共8题） 1. 下列集合符号运用不正确的是( ) A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中f（x）和表示相同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．已知函数，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为，设物体的真实质量为G，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，不全得2分，有错不得分，共4题） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10．下列选项中正确的是（    ） A．已知集合，若，则 B．若不等式的解集为，则 C．若集合满足，则满足条件的集合有8个 D．已知集合，若，则的取值范围为 11．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 12．下列说法正确的有（    ） A．若，则的最大值是 B．若，，都是正数，且，则的最小值是3 C．若，，，则的最小值是2 D．若实数，满足，则的最大值是 三、填空题（每题5分，共4题） 13. “，”的否定为___________. 14．某班共有30名学生，在校运会上有20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，则两项都参加的人数为 . 15．已知，且，则实数的值 . 16．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17. 设 ​. （1）求 ​的值及​; （2）求​ 18．已知命题：关于的方程有实数根， 命题． (1)若命题是真命题， 求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围． 19. （1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值． （2）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋最小值； 20. 不等式：的解集为. （1）求集合； （2）若不等式的解集为，且，求的取值范围. 21. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 22．已知函数． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A A C B C AC CD 题号 11 12 答案 AC ABD 1、【答案】B 【解析】 【分析】根据集合知识,逐项分析,即可求得答案. 【详解】对于A,由,故A正确; 对于B,因为,故B错误; 对于C,因,故C正确; 对于D,因为,故D正确. 故选:B. 【点睛】解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题. 2、【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项. 【详解】根据图像可知，阴影部分表示，，所以. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题. 3、【答案】D 【解析】 【分析】根据函数相等：对应关系相同，定义域相同，逐项分析判断. 【详解】对A：的定义域为R，的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，A错误； 对B：∵，解得或，则的定义域为， 又∵，解得，则的定义域为， 则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，B错误； 对C：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系不相同，定义域相同，C错误； 对D：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系相同，定义域相同，D正确； 故选：D. 4．A 【知识点】求分段函数值 【解析】根据分段函数的解析式直接计算求值. 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：A 5．A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项. 【详解】不等式在R上恒成立 ，即， 因为，但不能推出成立， 故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件， 故选：A 6．C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据物理知识可求真实重量为，利用基本不等式可得两者之间的大小关系. 【详解】解：设天平的左右臂分别为，物体放在左右托盘称得的重量分别为, 真实重量为, 所以，由杠杆平衡原理知：，, 所以，由上式得，即， 因为,， 所以，由均值不等式， 故选：C. 7．B 【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【详解】由二次函数的图象可知，函数的图象开口向上，且该函数的图象与轴相切，对称轴为直线， 所以，，且，则，， 不等式即，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 8．C 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、解含有参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 【详解】解：由得， 因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式 则不等式的解集是的子集， 又由得， 当，，符合； 当，，则，， 当，，符合， 故实数的取值范围为. 故选：C. 9、【答案】AC 【解析】 【分析】通过反例可说明BD错误；根据不等式的性质可证明AC正确. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，若，，则，B错误； 对于C，，，又，，C正确； 对于D，若，，，，则，，，D错误. 故选：AC. 10．CD 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据集合的包含关系及集合元素的性质可判断A，根据二次不等式的解法可判断B，根据集合的关系及集合子集的个数可判断C，根据集合的包含关系可判断D. 【详解】由，可知，所以或， 解得或或，根据集合元素的互异性，可得或，故A错误； 因为的解集为，所以， 解得，故B错误； 由，可知集合必有2,4，的个数为集合的子集数8个，故C正确； 因为，， 所以，故D正确。 故选：CD. 11．AC 【知识点】抽象函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 12．ABD 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用换元法，设，，可将原式化简为，结合基本不等式，可得答案． 【详解】对于A，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确； 对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立）， 因为，所以，所以， 所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4，故C错误； 对于D，，设，， ∵，当且仅当，即时，取等号 ∴ 则的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 13、【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式直接写出结果即可. 【详解】因为该命题是全称量词命题,所以命题的否定为特称量词命题， 则该命题的否定为： ，. 故答案为：，. 14．5 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，根据题意，可得、、中元素的数目，由集合间元素数目的关系计算可得答案. 【详解】根据题意，设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合， 可得，（B），， 所以（A）（B）， 所以两项都参加的有5人. 故答案为：5. 15．3 【知识点】已知f（g（x））求解析式、已知函数值求自变量或参数 【分析】运用配方法、换元法求出函数的解析式，最后利用代入法，通过解方程求解即可. 【详解】 ，令 ，即， ，且， 解得：（舍去）或， 所以实数的值3. 故答案为：3 【点睛】本题考查了已知函数值求自变量的值，考查了配方法、换元法的应用，考查了数学运算能力. 16． 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】求出第一个不等式的解，讨论的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组织含有一个整数得出第二个不等式的端点的范围，从而求得的范围. 【详解】由不等式，即，解得或， 解方程，解得或， 1.若，即时，不等式的解集为，不合题意； 2.若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有1个整数解，则，解得； 3.若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有1个整数解，则，解得； 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 17、【答案】（1）​，​，​ （2）​ 【解析】 【分析】（1）由题意得，代入方程中可求出​的值，从而可求出， （2）先求出和，从而可求出. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 解得，， 所以​ 【小问2详解】 因为 所以 所以. 18．(1) (2) 【知识点】已知命题的真假求参数、根据必要不充分条件求参数、根据或且非的真假求参数 【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题． 所以方程无实根， 所以． 即，即，解得或， 所以实数a的取值范围是． （2）解：由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得）， 解得，所以实数的取值范围是． 19、【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将原式改为，进而用基本不等式解决； （2）根据x＋y＝4，，将原式改为，进而化简，最后根据基本不等式得到答案. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为. （2）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为. 20、【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）分式不等式转化为整式不等式求得解集 （2）分类讨论，当时，不符合题意，当时，求得 利用得到； 【详解】（1） ，，， 且 ， （2）∵，∴ 当时，，不符合题意，舍去； 当时，不等式可化为：，注意到， ∴，∴，∴ 当时，不等式可化为：，注意到无论与大小关系，均包含趋于部分，一定不符合，舍去. 综上可知： 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 21．(1) (2)当时，取得最大值为3680万元 【难度】0.65 【来源】湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 22、【分析】（1）将，恒成立，转化为，恒成立求解. （2）由时，得到，令，将问题转化为存在，有两个不等正根求解. 【详解】（1）因为，恒成立， 所以，恒成立； 时，恒成立，满足题意； 时，只需，，即； 综上，实数的取值范围是； （2）时，令， 则存在，有四个不等实根， 即有四个不等实根， 令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应； 则存在，有两个不等正根， 则，存在，， 即存在，， 即，且存在，， 时，时最大值为， 则， 由可得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2))其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$