广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

第 1 页 共 10 页 2024-2025 学年上学期佛山市 S6 高质量发展联盟 高二年级期中联考试卷 数学学科 2024 年 11月 本试卷共 4 页，22小题.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在 答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求 作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过 (0, 2)A ， ( 1,0)B 两点的直线的方向向量可以为（ ） A. ( )1,0 B. ( )1,1 C. ( )1,2 D. ( )1,3 2. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互为对立的是( )． A．至少一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 3.若点 ( )2,5,4M 关于平面Oxz 和 x轴对称的点分别为 ( ) ( ), , , , ,a b c d e f ，则b f+ =（ ） A． 9− B． 1− C．1 D．9 4. 如图，四面体OABC 中，点 E 为OA中点，F 为 BE 中点，G 为CF 中点，设OA a= ， OB b= ，OC c= ，若OG 可用a ，b ， c 表示为（ ） A. 1 1 1 4 4 2 a b c+ + B. 1 1 1 8 4 2 a b c+ + C. 1 1 1 8 4 4 a b c+ + D. 1 1 1 8 8 2 a b c+ + 5. 已知直线 2 1 0ax ay+ + = 与 ( ) ( )1 1 1 0a x a y− − + − = 垂直，则实数 a 的值是（ ） A．0 或 3 B．3 C．0 或 3− D． 3− 第 2 页 共 10 页 6. 已知二面角 l − − 的棱上两点 A，C ，线段 AB 与CD 分别在这个二面角内 的两个半平面内，并且都垂直于棱 l .若 6AB = ， 8CD = ， 2AC = ， 12BD = . 则这两个平面的夹角的余弦值为（ ） A. 5 12 B. 4 5 C. 3 5 D. 3 4 7. 由甲､乙､丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为 1 3 ， 乙猜对丙未猜对的概率为 1 4 ，丙猜对甲也猜对的概率为 1 8 ，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也 互不影响，则乙､丙都猜对的概率是（ ） A． 1 24 B． 1 12 C． 1 6 D． 1 4 8. 在空间直角坐标系Oxyz 中，定义：经过点 ( )0 0 0, ,P x y z 且一个方向向量为 ( )( ), , 0m a b c abc=  的直线 l 方 程 为 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = ， 经 过 点 ( )0 0 0, ,P x y z 且 法 向 量 为 ( ), ,n   = 的 平 面 方 程 为 ( ) ( ) ( )0 0 0 0x x y y z z  − + − + − = ，已知：在空间直角坐标系Oxyz 中，经过点 ( )0,0,1P 的直线 l 方程为 1 2 x y z= = − ，经过点 P 的平面 的方程为 2 2 0x y z+ + − = ，则直线 l 与平面 所成角的正弦值为（ ） A. 1 6 B. 35 6 C. 5 6 D. 11 6 二.多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对 得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．则下列说法正确的是（ ） A．若 cbba //,// 则 ca // B．若 ,0)(,0)(  BPAP 则事件 BA, 相互独立与 BA, 互斥不能同时成立 C．O为坐标原点，向量 (1,2,0), ( 1,0,6)OA OB= = − ，其中线段 AB 的中点C 的坐标为 (0,1,3) D．已知 为任意实数，当 变化时，方程 0)22(243 =+++−+ yxyx  表示过点 ）（ 2,2− 的所有直线方程 10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结 果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M =“n 次实验结果中，既出现正 面又出现反面”，事件 N =“ n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）． A．若 2n = ，则M 与 N 不互斥 B．若 2n = ，则M 与 N 不相互独立 C．若 3n = ，则M 与 N 互斥 D．若 3n = ，则M 与 N 相互独立 第 3 页 共 10 页 11．数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图 1 所示的《垂直时光》.已知《垂 直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN 折成了直二面角（其 中M 对应钟上数字3, N 对应钟上数字 9）.设MN 的中点为 , 4 3O MN = ，若长度为 2 的时针OA指向了钟上数字 8，长度为 3 的分针OB 指向了钟上数字 12.现在小王准备安装长度为 3 的秒针OC （安装完秒针后，不考虑时针 与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ） A．若秒针OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则OA BC⊥ B．若秒针OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则NA / /平面OBC C．若秒针OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则BC 与 AM 所成角的余弦值为 14 7 D．若秒针OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则四面体OABC 的外接球的表面积为 103 3  三.填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 从编号为1，2 ，3，4 的四张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字 能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 . 13. 已知平面 内一点 ( )8,9,5P ，点 ( )1,2,2Q 在平面 外，若 的一个法向量为 ( )4,3, 12n = − ，则Q到平面  的距离为______________． 14.设 Rm ，过定点 A 的动直线 1 0x my+ + = 和过定点 B 的动直线 2 3 0mx y m− − + = 交于点 ( , )P x y ，则 | | | |PA PB 的最大值 ． 四.解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （本小题满分 13 分）柜子里有 3 双不同的鞋，分别用 1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c c 表示 6 只鞋．如果从中随机地取出 2 只，那么 （1）写出试验的样本空间； （2）设事件 A =“取出的鞋不成双”；B =“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求出 ( )P A 与 ( )P B ． 16. （本小题满分 15 分）已知向量 ( 2, 1,2)= − −a ， ( 1,1,2)b = − ， ( , 2, 2)x=c . （1）当 3|| =c 时，若向量 ka b+ 与c 垂直，求实数 x和 k 的值； （2）若向量 c 与向量 a ，b 共面，求实数 x的值. 第 4 页 共 10 页 17.（本小题满分 15 分）如图所示，面积为 8 的平行四边形 ABCD，A 为坐标原点，B 坐标为 (2, 1)− ，C 、D 均在第一象限． （1）求直线CD的方程； （2）若 | | 13BC = ，求点 D 的坐标． 18. （本小题满分 17 分）新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．若正确答案为两项，每对一项得 3 分：若正确答案为三项， 每对一项得 2 分； (1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为 AC．求学生甲答此题得 6 分的概率； （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 p ，正确答案是三个选项的概率为1 p− （ 0 1p  ）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两 个选项． ①若 2 1 =p ，且学生乙选择方案Ⅰ，求学生乙本题得 0 分的概率． ②若 3 1 =p ，且学生乙选择方案Ⅱ，求学生乙本题得 4 分的概率. 19. （本小题满分 17 分）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4 ，E ，F 分别为 AD ，BC 的中点，将正方形 ABCD 沿 EF 折成如图 2 所示的二面角，且二面角的大小为60，点M 在线段 AB 上（包含端点）运动，连接 AD . 图 1 图 2 （1）若M 为 AB 的中点，直线MF 与平面 ADE 的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线 / /OD 平面EMC ； （2）是否存在点M ，使得直线 DE 与平面EMC 所成的角为60？若存在，求此时平面MEC 与平面CEF 所成角 的余弦值；若不存在，请说明理由. 第 5 页 共 10 页 2024-2025 学年上学期佛山市 S6 高质量发展联盟 高二年级期中联考试卷数学学科参考答案 1. 【解析】经过 (0, 2)A ， ( 1,0)B 两点的直线的方向向量为 (1, )k ， 2 0 0 ( 1) 1 AB k k ， 2k ． 故选 C． 2. 【解析】“至多一次中靶”表示两次射击中一次中靶，另一次没中靶或两次都没中靶，其对立事件为两次都中 靶． 故选 B． 3. 【解析】点 ( )2,5,4M 关于平面 Oxz 对称的点为 ( ) ( ), , 2, 5,4a b c = − ，关于 x 轴对称的点为 ( ), ,d e f = ( )2, 5, 4− − ，所以 5b = − ， 4f = − ，故 9b f+ = − . 故选 A. 4. 【解析】由题意可得 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 4 4 4 2 BF BE BO BA BO BO OA a b= = + = + + = − ， 而 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 OG OC CG OC CF OC CB BF OC OB OC BF b= + = + = + + = + − + = 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 2 8 4 2 c a b a b c   + + − = + +    . 故选 B. 5. 【解析】因为直线 1 : 2 1 0l ax ay+ + = 与直线 ( ) ( )2 : 1 1 1 0l a x a y− − + − = 互相垂直， 所以 ( ) ( )1 2 1 0a a a a − +  − + =   ，即 ( ) ( )1 2 1 0a a a a − − + = ，解得 3a = − 或 0a = （不满足直线 1l ，舍去）. 故选：D. 6. 【解析】由题可知， A、C 在直线 l 上， AB  ，CD  ，且 AB l⊥ ，CD l⊥ ，如下图， 故 0AC AB = ， 0AC CD = ， 6AB = ， 8CD = ， 2AC = ， 12BD = . 因为 BD BA AC CD= + + ， 故 2 2 BD BA AC CD= + + 2 2 2 2 2 2BA AC CD BA AC BA CD AC CD= + + +   +   +   2 2 2 2 cos ,BA AC CD BA CD BA CD= + + +    ， 故144 36 4 64 96cos ,BA CD= + + + ，解得 5 cos , 12 BA CD = . 所以平面 和平面 的夹角的余弦值是 5 12 . 故选 A. 第 6 页 共 10 页 7. 【解析】设事件 A =“甲猜对”，事件 B =“乙猜对”，事件C =“丙猜对”，则由题意得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 3 1 1 , 4 1 , 8 P AB P A P B P A P B P BC P B P C P B P C P CA P C P A  = = − =     = = − =      = =  解得 ( ) ( ) ( ) 1 , 2 1 , 3 1 . 4 P A P B P C  =   =   =  故乙、丙都猜对的概率为 ( ) ( ) ( ) 1 12 P BC P B P C= = . 故选 B. 8. 【解析】经过点 ( )0 0 0, ,P x y z 的直线 l 方程为 1 2 x y z= = − ，即 0 0 1 2 1 1 x y z− − − = = − ， 故直线 l 的一个方向向量为 ( )2,1, 1m = − ， 又经过点 P 的平面 的方程为 2 2 0x y z+ + − = ，即 ( ) ( ) ( )0 0 2 1 0x y z− + − + − = ，故 的一个法向量为 ( )1,1,2n = . 设直线 l 与平面 所成角为 ，则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 62 1 1 1 1 2 m n m n  . 故选 A. 9．【解析】对于 A 选项，当 0b = 时， / / , / /a b b c 成立，但是a 与 c 不一定共线，即 / /a c 不一定成立，故 A 选 项错误. 对于 B 选项，因为 ( ) 0, ( ) 0,P A P B  所以若事件 BA, 相互独立，则 ( ) ( ) ( )P AB P A P B= 0 ，即事件 A 与 事件 B 能同时发生，故此时事件 A与事件B 不互斥；同理，当事件 BA, 互斥时， ( ) ( ) ( )0P AB P A P B=  ， 即此时事件 BA, 不相互独立.故 B 选项正确. 对于 C 选项，因为C 为线段 AB 的中点，所以 ( ) ( ) 1 0,1,3 2 OC OA OB= + = ，又O是坐标原点，故点C 的坐标 为 ( )0,1,3 .故 C 选项正确. 对于 D 选项，联立 3 4 2 0, 2 2 0, x y x y + − =  + + = 解得 2, 2, x y = −  = 所以当 变化时，直线3 4 2x y+ − + (2 2) 0x y + + = 恒经 过点 ( )2, 2− .但是当 2 2 0x y+ + = 时，必有3 4 2 0x y+ − = ，因此方程3 4 2 (2 2) 0x y x y+ − + + + = 表示过 点 ( )2, 2− ，除了直线2 2 0x y+ + = 的所有直线.故 D 选项错误. 故选 BC. 第 7 页 共 10 页 10．【解析】当 2n = 时，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共 4 种，其中（正，反） 和（反，正）这两种实验结果，事件 M和事件 N同时发生，故 M与 N不互斥，A 正确； ( ) 1 2 P M = ， ( ) 3 4 P N = ， ( ) 1 2 P MN = ， ( ) ( ) ( )P MN P M P N ，则 M与 N不相互独立，B 正确； 当 3n = 时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反， 正，反），（反，反，正），（反，反，反），共 8 种， 其中（正，正，反）、（正，反，正）和（反，正，正）这三种实验结果，事件 M和事件 N同时发生，故M与 N 不互斥，C 选项错误； ( ) 6 3 8 4 P M = = ， ( ) 4 1 8 2 P N = = ， ( ) 3 8 P MN = ， ( ) ( ) ( )P MN P M P N= ，则 M与 N相互独立，D 选项正确. 故选 ABD. 11．【解析】如图，以O为坐标原点， ,OM OB 所在直线分别为 y 轴､ z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ( ) ( ) ( )1, 3,0 , 0,0,3 , (0,2 3,0), 0, 2 3,0A B M N− − . 若秒针OC 指向了钟上数字 5，则 3 3 3 , ,0 2 2 C        ， ( )1, 3,0OA = − ， 3 3 3 , , 3 2 2 BC   = −     ， ( )0,0,3OB = ， 则 0OA BC = ， 0OA OB = ，所以OA BC⊥ ，A 正确. OA OB⊥ ，故OA是平面OBC 的一个法向量.因为 ( )1, 3,0NA = ，所以 2 0OA NA = −  ，所以OA与 NA不垂直， 从而 NA与平面OBC 不平行，B 错误. 若秒针OC 指向了钟上数字 4，则 3 3 3 , ,0 2 2 C        ， ( ) 3 3 31,3 3,0 , , , 3 2 2 AM BC   = − = −     ， 12 14 cos , 72 7 3 2 AM BC AM BC AM BC  = = =  ，C 正确. 由 1 5 3 , ,0 2 2 AC   =      ，得 19AC = .因为 120AOC = ，所以 OAC 外接圆的半径 19 2sin 3 AC r AOC = =  ，则四 面体OABC 的外接球的半径 2 9 4 R r= + ，则 2 103 12 R = ，故外接球的表面积为 2 1034π π 3 R = ，D 正确. 故选 ACD. 12. 【解析】该试验的样本空间为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 ， 所以 ( ) 16n  = . 第 8 页 共 10 页 记 事 件 A = “ 第 二 次 抽 得 的 卡 片 上 的 数 字 能 被 第 一 次 抽 得 的 卡 片 上 数 字 整 除 ”， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,3 , 4,1 , 4,2 , 4,4A = ，所以 ( ) 8n A = ，所以 ( ) ( ) ( ) 1 2 n A P A n = =  . 故答案为： 1 2 . 13. 【解析】因为 ( )8,9,5P ，点 ( )1,2,2Q ，所以 ( )7, 7, 3PQ = − − − ，又 的一个法向量为 ( )4,3, 12n = − ，所 以Q到平面 的距离为 ( ) ( ) 22 2 7 4 7 3 3 12 13 1 134 3 12 PQ n n  −  −  −  − = = = + + − . 故答案为：1． 14.【解析】由题意，动直线 1 0x my+ + = 过定点 ( 1,0)A − ， 直线 2 3 0mx y m− − + = 可化为 ( 2) 3 0x m y− + − = ，令 2 0 3 0 x y − =  − = ，可得 ( )2,3B ， 又1 ( 1) 0m m +  − = ，所以两动直线互相垂直，且交点为 P ， 所以 2 2 2 2 2| | | | | | ( 1 2) (0 3) 18PA PB AB+ = = − − + − = ， 因为 2 218 | | | | 2 | | | |PA PB PA PB= +   ，所以 | | | | 9PA PB  ，当且仅当 | | | | 3PA PB= = 时取等号． 故答案为：9. 15. 【 解 析 】 解 ：（ 1 ） 从 6 只 鞋 中 任 取 2 只 ， 共 有 15 种 等 可 能 的 结 果 ， 样 本 空 间 为 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2Ω { , , , , , , , , , }, , , , ,a a a b a b a c a c a b a b a c a c b b b c b c b c b c c c= . ………………7 分 （2）因为 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2{ , , , , , , , , , , , }A a b a b a c a c a b a b a c a c b c b c bb cc= ， 所以 ( ) 4 ( ) (Ω) 5 n A P A n = = . …………………………10分 因为 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1{ , , , , , }B a b a c a b a c b c b c= ，所以 ( ) 2 ( ) (Ω) 5 n B P B n = = ． ……………13 分 16.【解析】解：（1）因为 3|| =c ,所以 11322 2222 ===++ xxx . ka b =+ ( 2 1,1 ,2 2)k k k− − − + .因为向量 ka b+ 与c 垂直,所以 ( ) 0ka b c =+  , 当 1=x 时，有 05 = 不成立舍去，当 1−=x 时，有 074 =+k 解得 4 7 −=k . 所以实数 x和 k 的值分别为 1− 和 4 7 − . …………………8 分 第 9 页 共 10 页 （2）因为向量 c 与向量a ，b 共面,所以设 c a b = + （ , R  ）. 因为 ( , 2,2) ( 2, 1,2) ( 1,1,2)x  = − − + − ，即 2 , 2 , 2 2 2 , x       = − −  = −  = + 所以 1 , 2 1 , 2 3 . 2 x    = −   = −   =  所以实数 x的值为 1 2 − . …………………………15 分 17.【解析】解：（1）因为 ABCD是平行四边形，所以 / /AB CD ，所以 1 2 AB CDk k= = − ． 设直线CD的方程为 1 2 y x m= − + ，即 2 2 0x y m+ − = ． 因为四边形 ABCD的面积为 8， | | 5AB = ，所以 AB 与CD的距离为 8 5 ， 于是 2 2 | 2 | 8 51 2 m = + ，所以 4m =  ． 由图可知， 0m  ，所以 4m = ，直线CD的方程为 2 8 0x y+ − = ． …………………………………8 分 （2）设 D 坐标为 ( , )a b ，因为 | | 13BC = ，所以 | | 13AD = ． 所以 2 2 2 8 0, 13, a b a b + − =  + = 解得 6 5 a = ， 17 5 b = 或 2, 3a b= = ． 所以点 D 的坐标为 6 17 , 5 5       或 ( )2,3 . …………………………………15 分 18.【解析】解：（1）设事件M表示“学生答此题得 6 分”，即对于选项 A、C 作出正确的判断，且对于选项 B、D 作出正确的判断或判断不了， 所以 ( ) 0.8 (0.7 0.1) 0.6 (0.5 0.3) 0.3072P M =  +   + = ； ……………………5 分 （2）①记 X 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 对于方案Ⅰ：若正确答案是两个选项，选错的概率为 4 2 ，若正确答案是三个选项，选错的概率为 4 1 ，则 ( ) 1 2 1 1 3 0 2 4 2 4 8 P X = =  +  = . ……………………11 分 ②记事件Y 为“学生乙本题得 4 分”. 对于方案Ⅱ：应该正确答案是三个选项里面选对 2 题，假设 ABC 为正确项. 故而所有可能为 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种，满足条件的 AB，AC，BC 有 3 种. 则 ( ) 2 3 1 3 6 3 P Y =  = . ……………………17分 第 10 页 共 10 页 19.【详解】解：（1）因为直线MF 平面 ABFE ，故点 O在平面 ABFE 内，也在平面 ADE 内， 所以点 O在平面 ABFE 与平面 ADE 的交线（即直线 AE ）上. 如图，延长EA，FM 交于点 O，连接OD ， 因为 / /AO BF ，M为 AB 的中点，所以 OAM FBM ≌ ， 所以OM MF= ， 2AO BF= = ， 故点 O在EA的延长线上且与点 A间的距离为 2. 连接DF 交 EC 于点 N，因为四边形CDEF 为矩形，所以 N是DF 的中点. 连接MN ，则MN 为 DOF 的中位线，所以 / /MN OD ， 又MN 平面EMC ，OD 平面EMC ，所以直线 / /OD 平面EMC . （2）如图，由已知可得EF AE⊥ ，EF DE⊥ ，又EA DE E= ，所以 ⊥EF 平面 ADE ，所以平面 ABFE ⊥平面 ADE ， 因为 60DEA  = ， DE AE= ，所以 ADE 为等边三角形. 取 AE 的中点 H，连接DH ，则DH AE⊥ ，所以DH ⊥平面 ABFE ，过点 H作直线 / /HT EF ，以 H 为坐标原点， 以 , ,HA HT HD 分别为 , ,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ( )1,0,0E − ， ( )0,0, 3D ， ( )0,4, 3C ， ( )1,4,0F − ，所以 ( )1,0, 3ED = ， ( )1,4, 3EC = .设 ( )( )1, ,0 0 4M t t  ，则 ( )2, ,0EM t= ， 设平面EMC 的法向量为 ( ), ,m x y z= ， 0, 0, m EM m EC   =   = 即 2 0, 4 3 0, x ty x y z + =  + + = 取 2y = − ，则 ,x t= ， 8 3 t z − = ，所以平面EMC 的一个法向量为 8 , 2, 3 t m t −  = −    ， 要使直线DE 与平面EMC 所成的角为 60，则 2 2 8 3 cos , sin 60 28 2 4 3 DE m t t = = = −  + +     ，即 2 2 3 3 24 19t t = − + ，整理得 2 4 3 0t t− + = ，解得 1t = 或 3t = . 所以存在点 M，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60 . 取 ED的中点 Q，连接QA，则QA DE⊥ ，所以QA ⊥平面CEF . 则QA为平面CEF 的一个法向量，易得 1 3 ,0, 2 2 Q   −     ， ( )1,0,0A ，所以 3 3 ,0, 2 2 QA   = −     . 设二面角M EC F− − 的大小为 ，则 2 2 2 2 4 2 cos cos , 4 198 3 4 3 QA m t t QA m QA m t tt t   − − = = = =  − +−  + +     ， 当 1t = 时， 1 cos 4  = ，当 3t = 时， 1 cos 4  = .综上，平面MEC 与平面CEF 所成角的余弦值为 1 4 .