精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

衡阳县四中2024-2025学年上学期期中考试 高一数学试题卷（平行班） 命题人：杜超群 （本试题卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 下列函数在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数在上递增，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 6. 寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ） A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有__________个子集. 13. 已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为__________. 14. 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合，， （1）当时，求； （2）若是成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16. 求下列函数的解析式 （1）若，求； （2）已知是一次函数，且，求 17. 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数 （1）求，，的值; （2），求a的值； （3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）. 19. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，，都有；②当时，；③ （1）求和的值； （2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求的a的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2024-2025学年上学期期中考试 高一数学试题卷（平行班） 命题人：杜超群 （本试题卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出一元二次不等式的解集即可判断. 【详解】不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求函数的定义域. 【详解】由得：. 所以函数定义域为：. 故选：C 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 4. 下列函数在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，在上单调递减，故A错误； 对于B，在上单调递减，故B错误； 对于C，在上单调递增，故C正确； 对于D，在上单调递减，故D错误. 故选：C. 5. 幂函数在上递增，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质求的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，所以或. 又因为幂函数在上单调递增，所以. 所以. 故选：C 6. 寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案. 【详解】由于兔子睡了一下，所以所有选项中有一段不发生变化的折线为兔子的“路程一时间” 的图像 一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项C D， 最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合. 故选：B. 7. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B 8. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得， 即函数的定义域为， 又由函数当时，单调递减， 则不等式可化为， 可得不等式组，解得，即不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】求解函数不等式的方法： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】逐个选项分别判断函数的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】对于A，，定义域均为，是同一函数； 对于B，与解析式不同，不是同一函数； 对于C，，定义域为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数； 对于D，，定义域均为R，是同一函数. 故选：AD． 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项，逐一求解. 【详解】对于A，不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得或， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AB. 11. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ） A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A的真假；把、用表示出来，判断B的真假；把、用表示出来，判断C的真假；把、用表示出来，判断D的真假. 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：采用数形结合，分别表示出相应线段，结合图形中线段的长度关系，逐一分析各选项，即可得到答案. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有__________个子集. 【答案】4 【解析】 【分析】确定中元素的个数，可得其子集的个数. 【详解】图中阴影部分所表示的集合，所以C的子集有个. 故答案为：4 13. 已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据图象，写出当时，不等式的解集，再根据函数的奇偶性写出当时，不等式的解集，再合并起来即可. 【详解】由图可知，当时，，. 又函数是定义在区间上的一个偶函数， 所以当时，，且； 当时，，且. 综上可知，的解集为：. 故答案为： 14. 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是说利用时，必须是正数，定是指定值，相等指的是等号成立的条件，三者缺一不可.另外，如果是负数，求的最值，可转化为，再结合基本不等式来进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合，， （1）当时，求； （2）若是成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入求得，化简集合A，再利用补集、交集的定义求解. （2）将充分性、必要性转化为集合间的包含关系，列出关于m的不等式求解. 【小问1详解】 当时，，或， 解不等式，得，则， 所以. 【小问2详解】 由是成立的一个充分不必要条件，得且， 则，解得，所以m得取值范围是. 16. 求下列函数的解析式 （1）若，求； （2）已知是一次函数，且，求 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用配凑法即可得函数解析式. （2）利用待定系数法即可得到结论. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 由是一次函数，设，， 则， 则，，解得，，或，， 所以或. 17. 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）; （2）100（百辆），2300万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案. 【小问1详解】 由题意知利润收入-总成本， 所以利润 , 故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 . 【小问2详解】 当时，， 故当时，； 当时，, 当且仅当， 即时取得等号； 综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元． 18. 已知函数 （1）求，，的值; （2），求a的值； （3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）. 【答案】（1）3；1； （2）或4. （3），. 【解析】 【分析】（1）根据题意给的函数解析式直接求解即可； （2）分类讨论当、、时，根据求出对应的a值即可； （3）由函数解析式画出函数图象，结合图形即可得出函数的值域. 【小问1详解】 函数， ，，， . 【小问2详解】 ①当时，，（舍去）； ②当时，，解得， 又，； ③当时，，. 综上所述，的值为或4. 【小问3详解】 函数的图象，如图： 由图象可知，函数的值域为. 19. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，，都有；②当时，；③ （1）求和的值； （2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求的a的范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令可得；先令可得，后可得. （2）利用已知结合单调性定义可证明 （3）利用（1）将转化为，后利用函数单调性解决问题. 【小问1详解】 令有，得. 令有，又，得. 又令，得. 【小问2详解】 证明：任取且. 则 因且，则.得. 则.故函数在上是减函数. 【小问3详解】 由（1）知，则由可得. 由定义域为.得，则. 由（2）知函数在上是减函数，则由可得. 因，，则. 要使任意，恒成立， 只需，其中. 令，任取且， 则 因且，则，， 则，故在上单调递增.则 得. 综上的范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的单调性，涉及到的做题方法如下： （1）求抽象函数的函数值时，常采用赋值法.常利用相反数，倒数找到合适的赋值. （2）证明抽象函数的单调性时，常利用对进行等价变形. （3）解函数不等式时，常利用函数单调性转化为常规不等式，但要注意定义域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $