精品解析：甘肃省酒泉市金塔县等4地2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的规律及通项可得数列的项. 【详解】由已知数列，，，，，…，，…， 即，，，，，…，，…， 则数列的第项为， 第项为， 故选：A. 2. 已知数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的前项和，可得数列的项，进而可得值. 【详解】由已知数列的前项和， 则， 故选：C. 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角. 【详解】由题意可得直线的斜率为， 设其倾斜角为，则， 又，所以， 故选：B 5. 设为数列的前项和，若，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果. 【详解】当时，，∴， 当时，，则， ∴，即数列是首项，公比的等比数列， 即， ∴ 故选：D. 6. 若点在圆的外部，则的取值一定不是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解. 【详解】因为点在圆：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，的取值一定不是. 故选：D. 7. 已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 公差 B. C. 使成立的n的最小值为20 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，由，得， 即，即， 又，所以，所以；故AD错， ，故B错 因为，，所以，， 所以成立的n的最小值为20. 故C正确. 故选：C 8. 已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出的轨迹方程为，设到直线的距离为，由此可得，将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解. 【详解】根据已知有，圆心，半径，因为弦， 所以圆心到所在直线的距离， 又因为为的中点，所以有， 所以的轨迹为圆心为，半径为的圆， 的轨迹方程为； 令直线为，则到直线的距离为， 则，即，所以当最大时， 也取得最大值， 由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍， 设圆心到直线的距离为，则，所以， 所以的最大值为6. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意知直线过点，所以根据直线是否存在斜率进行分类讨论，结合等腰三角形等知识，即可求解. 【详解】设为点A，易知点在直线上， 直线与轴的交点， 当直线的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线的方程为，与轴的交点为； 此时，，， 所以不是等腰三角形，故直线存在斜率； 设关于轴的对称点为， 当直线过，两点时，，是等腰三角形， 同时直线的斜率为，倾斜角为，所以是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，化简得， 设直线与轴相交于点，如图所示， 若，则， 所以直线，即直线的斜率为， 此时方程为，整理得； 所以直线l的方程可能为：或 故选：AD. 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用和的关系即可判断A，B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项；通过举例即可判断D选项. 【详解】对于A，若，则当时，， 当时，，符合，故， 则是等差数列，故A正确； 对于B，若，则，，， 故，不是等比数列，故B错误； 对于C，若是等差数列，则，故C正确； 对于D，若，符合是等比数列，且， 此时，， 不满足，故D错误. 故选：AC 11. 已知圆和圆，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为 C. 圆与圆的公共弦AB的垂直平分线方程为 D. 若AB为圆与圆的公共弦，P为圆上的一个动点，则△PAB面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆的一般方程确定圆心、半径，判断的关系判断A，两圆方程相减求相交线方程判断B；应用点斜式写出公共弦AB的垂直平分线方程判断C；数形结合判断使△PAB面积最大时点的位置，进而求最大面积判断D. 【详解】由题设，则，半径， ，则，半径， 所以，两圆相交，A对； 两圆方程相减，得公共弦所在直线为，B对； 公共弦AB的垂直平分线方程为，即，C对； 如下图，若与重合，而到的距离，且， 要使△PAB面积最大，只需到的距离最远为， 所以最大面积为，D错. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，且直线经过点，则直线的一般式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式求得直线方程，并化为一般式. 【详解】直线的方向向量为， 所以直线的斜率为， 所以直线方程为. 故答案为： 13. 圆C：，为圆C上任意一点，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则直线与圆有公共点，联立方程消元后，利用判别式即可得解. 【详解】设，则， 联立，消元得， 由，解得， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 已知等比数列的前n项和，，则a＝________；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合，有，即可求值，进而有即， 结合对恒成立求的范围即可. 【详解】由等比数列的前n项和知，， 所以，所以， 而，， ∴，即， 由上知：，则， ∴， 即， 当时，的最小值为， 所以. 故答案为：1； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，，且满足，垂足为. （1）求的值及点的坐标. （2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程. 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. 【小问1详解】 解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点． 【小问2详解】 解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且. （1）求、的通项公式： （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程求出，即可求出通项公式； （2）分组求和，分别求出数列和的前项和，相加即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，设等比数列的公比为， 因为， 所以，即， ，即，则， 所以，整理可得即， 解得或（舍去）. 所以，则，解得或（舍去），故. 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，则. . 17. 已知圆C：，点． （1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程； （2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）对直线l的斜率是否存在讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算； （2）要使圆C上存在到点P的距离为1的点，则圆心C到的距离满足，，运算得解. 【小问1详解】 因为，所以圆C的方程为 ①当l的斜率不存在时，l的方程为，与圆C相切，符合题意； ②当l的斜率存在时，设l的方程为，即， 圆心C到l的距离，解得， 则l的方程为，即， 综上可得，l的方程为或． 【小问2详解】 由题意可得圆C：，圆心，半径， 则圆心C到的距离， 要使C上存在到P的距离为1的点， 则，即， 解得， 所以m的取值范围为． 18. 已知数列满足：，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【小问1详解】 由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由数列满足， 则. 【小问3详解】 由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 19. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）证明：； （3）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）证明：令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明； （2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可； （3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由上知，则， 则，即， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 设为数列的前项和，若，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 6. 若点在圆的外部，则的取值一定不是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 公差 B. C. 使成立的n的最小值为20 D. 8. 已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且，则 11. 已知圆和圆，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为 C. 圆与圆的公共弦AB的垂直平分线方程为 D. 若AB为圆与圆的公共弦，P为圆上的一个动点，则△PAB面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，且直线经过点，则直线的一般式方程为________． 13. 圆C：，为圆C上任意一点，则的最大值为______． 14. 已知等比数列的前n项和，，则a＝________；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，，且满足，垂足为. （1）求的值及点的坐标. （2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程. 16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且. （1）求、的通项公式： （2）求数列的前项和． 17. 已知圆C：，点． （1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程； （2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围． 18. 已知数列满足：，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求的值； （3）求的值. 19. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）证明：； （3）若，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $