第四章一次函数单元测试题 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版2024-2025学年八年级数学上册第四章一次函数单元测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2．（本题3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 3．（本题3分）已知函数y=（m+1）是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 4．（本题3分）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．该函数图象不经过第四象限 C．该函数图象与轴交点坐标是 D．该函数图象与轴所成的锐角是45° 5．（本题3分）两个一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（本题3分）已知自变量为 的一次函数的图象经过第二、三、四象限，则（  ） A．＞0，＜0 B．＜0，＞0 C．＜0，＜0 D．＞0，＞0 7．（本题3分）一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是（    ） A． B． C．7 D．11 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点A．下列结论： ①；②；③当时，则有；④关于x的方程的解是：x＝2；⑤；⑥．其中正确的有（    ） A．①②⑥⑤ B．②③④⑥ C．②③④⑤ D．③④⑤⑥ 9．（本题3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图是汽车行驶速度（千米/时） 和时间（分）的关系图，下列说法其中正确的个数为（　　） （1）汽车行驶时间为40分钟；（2）AB表示汽车匀速行驶； （3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米/时；（4）汽车共加速行驶了10分钟 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 评卷人 得分 二、填空题（共21分） 11．（本题3分）已知一次函数为，则的值为 ． 12．（本题3分）若一次函数的函数值y随自变量x增大而减小，则实数k的取值范围 ． 13．（本题3分）将直线向左平移（）个单位后，经过点(1，−3)，则的值为 ． 14．（本题3分）下列表格描述的是y与x之间的函数关系： x … ﹣1 0 1 3 … y＝kx+b … ﹣2 1 m n … 则m与n的大小关系是 ． 15．（本题3分）在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为 ． 16．（本题3分）如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ． （2）当时，y的值为 ． 17．（本题3分）如图，在平而汽角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1、l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2020的坐标为 ． 评卷人 得分 三、解答题（共49分） 18．（本题5分）已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值． （1）y随x的增大而增大； （2）图象经过第二、三、四象限； （3）图象与y轴的交点在x轴上方． 19．（本题6分）分别画出函数和的图象，再根据图象，回答下列问题： （1）两个图象各经过哪些象限？ （2）判断点、是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什么？ 20．（本题7分）如图，在长方形．中，，点P从点A出发，沿折线A→B→C→D运动，到点D停止；点P以每秒的速度运动5秒，之后以每秒的速度运动，设点P运动的时间是x（秒），的面积是，请回答下列问题：      (1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的自变量x的取值范围，并在指定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据这个图象，写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时x的值． 21．（本题7分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离为千米，轿车离甲地的距离为千米，、关于x的函数图像如图所示： (1)根据图像，写出、关于x的函数关系式（并写出x的取值范围）； (2)当两车相遇时，求此时客车行驶的时间； (3)两车相距200千米时，求客车行驶的时间． 22．（本题7分）某企业生产一种收音机，其成本24元．直接由厂家门市部销售，每台售价32元，门市部的销售需消耗费用每月2400元，如果委托商店销售，出厂价每台28元，销售多少台时两种销售方式所获得的利润相等？若销售量达每月2000台，问采用哪种销售方式，取得的利润较多？ 23．（本题8分）下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务： 专题：一元一次方程的解法  时间：2023年2月20日 例：求一元一次方程的解． 解答方法如下： 方法一：按照七年级所学解一元一次方程的步骤求解， 移项，合并同类项，未知数系数化1，… 方法二：方程的解可以看成两个一次函数和的图象交点的横坐标，由图可知该方程的解为．    任务： (1)上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是（    ） A．整体思想       B．公理化思想     C．数形结合思想       D．分类讨论思想 (2)参照“方法二”的思路，求解一元一次方程的解．请在下图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．    24．（本题9分）今年年初，我国爆发新冠肺炎疫情，某省邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救援物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援．已知C市有救援物资240吨，D市有救援物资260吨，现将这些救援物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用分别为每吨15元和30元，设从C市运往A市的救援物资为x吨． (1)请填写下表； 　 A B 合计（吨） C x 　        　 240 D 　        　 　     　 260 总计（吨） 200 300 500 (2)设C、D两市的总运费为W元，则W与x之间的函数关系式为　 　，其中自变量x的取值范围是　 　； (3)经过抢修，从C市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少n元（），其余路线运费不变，若C、D两市的总运费的最小值不小于7920元，则n的取值范围是　 　． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D B C B B B C 1．A 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，据此即可确定哪一个是函数图象． 【详解】解：①②③的图象都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，故①②③的图象是函数， ④的图象不满足满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，故D不能表示函数． 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数．解决问题的关键是熟练掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2．D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：， 解得：x≥﹣2且x≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．B 【详解】解：函数y=（m+1）是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴m2﹣3=1，m+1＜0， 解得：m=±2，而2+1>0 则m的值是﹣2． 故选：B． 4．D 【分析】由题意根据一次函数的性质以及函数图象与坐标轴的交点的求法逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，随的增大而增大，选项错误； B. ，该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项错误； C. 该函数图象与轴交点坐标是，选项错误； D. 该函数图象与轴正方向所成的锐角是45°，选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查一次函数的性质，注意掌握在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 5．B 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，由于a、b的符号均不确定，因此分①，，②，，③，，④，四种情况，判断出和所经过的象限，即可求解． 【详解】解：分四种情况： ①当，时，和的图象均经过第一、二、三象限，不存在此选项； ②当，时，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合此条件； ③当，时，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，不存在此选项； ④当，时，和的图象均经过第二、三、四象限，不存在此选项． 故选B． 6．C 【分析】根据函数图象经过二、三、四象限，可知，进一步判断即可． 【详解】解：∵原函数为，图象经过二、三、四象限， ∴＜0，＜0， 解得＜0，＜0. 故选：C 【点睛】本题考查一次函数图象性质，熟记相关知识点是解题关键． 7．B 【分析】先根据一次函数的图象经过点求出一次函数的解析式，从而得到随的增大而减小，由于自变量的取值范围是，因此当时，最小为，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ， 一次函数的解析式为：， 随的增大而减小， 自变量的取值范围是， 当时，最小为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，使用待定系数法求出一次函数的解析式，从而得到一次函数的增减性，是解题的关键． 8．B 【分析】由正比例函数的性质可判断经过原点的直线为,另一条直线为,由函数的增减性与k的正负的关系可判断①⑤⑥,由直线与y轴交点位置可判断②,由与的交点横坐标为2可得x=2是可判断④．由函数与不等式的关系可判断③． 【详解】解：∵由k>0时y随x增大而增大, k<0时y随x增大而减小，结合图形可知：，，故⑤错误；⑥正确; ∴，故①错误; 由图像可知：与y轴交于上半轴, ∴，故②正确； 由图像可知：直线与直线交点的横坐标, ∴关于x的方程的解是：x＝2，故④正确； 由图像可知：直线与直线交点的横坐标, ∴当时，直线在直线的上方， ∴当时，则有，故③正确； 综上所述：正确的有：②③④⑥． 故选：B． 【点睛】此题考查一次函数的性质,解题关键是掌握―次函数与方程及不等式的关系，读懂函数图像是解题的关键． 9．B 【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2， 当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°， ∴PD=BD=x， ∴y=•x•x=； 当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°， ∴PD=CD=4﹣x， ∴y=•（4﹣x）•x=， 故选B． 10．C 【分析】观察图象，结合题意，明确横轴与纵轴的意义，依次分析选项可得答案． 【详解】解：读图可得，在时间为40时，速度为0，故（1）正确； AB段，汽车行驶的速度相等，故速度不变，故（2）正确； 在第30分钟时，汽车的速度是80千米/时；故（3）错误； 汽车共加速行驶的时间为：5+（15﹣10）＝10（分钟），故（4）正确． 综上可得（1）（2）（4）正确，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图形，解决本题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． 11． 【分析】根据一次函数的定义得到且，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数为， ∴且， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据时，函数值随自变量的增大而减小，得到，解答即可． 【详解】解：一次函数，函数值随自变量的增大而减小， ， 故， 解得， 故答案为：． 13．3 【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点(1，−3)的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数y=-x+1的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到， 把(1，−3)代入，得到：， 解得m=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 14．m＜n 【分析】观察表格中的数据可得，y随x的增大而增大，根据函数的性质解答即可. 【详解】观察表格中的数据可得，y随x的增大而增大， ∵1<3， ∴m＜n. 故答案为m＜n. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据表格中的数据得到y随x的增大而增大是解决问题的关键. 15． 【分析】的周长为，求周长最小即最小．作点关于轴的对称点，连接，求出的解析式，再计算解析式与轴的交点坐标即为点的坐标． 【详解】的周长为， 当最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点， ， ， 又， 当，，三点在同一直线上时最小，此时与轴的交点即为点． 设的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ， 当时，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，待定系数法求函数解析式；解题关键是找到对称点． 16． /4厘米 【分析】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解． （1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得的最大面积为8，此时P、D重合，，即可求解； （2）先抓住关键点，知道点P到终点时，的面积是6，此时P、C重合，，得，根据图象分析当时，点P在上，且，再求的面积． 【详解】解：（1）设正方形的边长为a， 由图象可知，当P、D重合时，的面积为8， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴正方形的边长为4， 故答案为：4； （2）当点P在点C时，， 解得：，即， 当时，点P在边上，如图， ， 故答案为：． 17．（21010，-21010） 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2020＝505×4即可找出点A2020的坐标． 【详解】解：当x＝1时，y＝2， ∴点A1的坐标为（1，2）； 当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2， ∴点A2的坐标为（﹣2，2）； 同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…， ∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1）， A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）． ∵2020＝505×4， ∴点A2020的坐标为（21010，﹣21010）， 故答案为：（21010，﹣21010）． 【点睛】此题考查正比例函数的图象、一次函数图象上点的坐标特征、规律型，根据函数图象求出点的坐标得到点坐标的变化规律是解题的关键． 18．（1）a＞﹣2；（2）a＜﹣2，b＞3；（3）b＜3 【分析】（1）根据一次函数的性质及函数y随x的增大而增大解答即可； （2）根据一次函数的性质及函数图象经过第二、三、四象限解答即可； （3）根据一次函数的性质及函数图象与y轴的交点在x轴上方解答即可． 【详解】解：（1）∵y随x的增大而增大 ∴2a+4＞0 ∴a＞﹣2 （2）∵图象经过第二、三、四象限 ∴2a+4＜0，3﹣b＜0 ∴a＜﹣2，b＞3 （3）∵图象与y 轴的交点在x轴上方 ∴3﹣b＞0 ∴b＜3 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解： 直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系； k＞0时，直线必经过一、三象限； k＜0时，直线必经过二、四象限； b＞0时，直线与y轴正半轴相交； b=0时，直线过原点； b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 19．画图见解析；（1）函数的图象过第一、二、三象限，函数的图象过第二、三、四象限；（2）、在函数的图象上，在函数的图象上 【分析】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是画出函数的图象．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分别令、找出函数与坐标轴的交点坐标，根据交点坐标画出图象是关键． 利用画直线的方法画出两个函数的图象． （1）结合函数图象，即可得出两个图象各经过哪些象限； （2）分别将各点的横坐标代入这两个函数关系中，求解并判断即可． 【详解】解：在中，令，则，得，令，得， 函数的图象过点和， 在中，令，则，得，令，得， 函数的图象过点和， 在坐标轴上画出两函数图象，如图所示． （1）观察两函数的图象发现：函数的图象过第一、二、三象限，函数的图象过第二、三、四象限； （2）当时，，， 在函数的图象上； 当时，，， 在函数的图象上； 当时，，， 不在这两个图象上； 当时，，， 在函数的图象上； 20．(1) (2)y的最大值为 (3)或 【分析】分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解； 由函数图象可求解； 将代入解析式可求解. 【详解】（1）当,； 当,； 当,  ； 综上所述： 函数图象如图所示：    （2）由图象可得y的最大值为； （3）当点P在上时, ∴, 当点P在上时, , ∴, 综上所述: 当或时, . 【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，三角形的面积公式，函数图象的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. 21．(1)， (2)小时 (3)小时或5小时 【分析】此题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，综合运用性质进行计算是解此题的关键． （1）根据图象得出点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）当两车相遇时，据此求解即可； （3）分两种情况求解：若相遇前两车相距200千米，则，若相遇后相距200千米，则． 【详解】（1）设，则将代入得出：， 解得：， ∴， 设，则将，代入得出： ， 解得：， ∴； （2）当两车相遇时y1=y2，即60x=-100x+600， 解得：， ∴当两车相遇时，此时客车行驶了小时； （3）若相遇前两车相距200千米，则， ∴， 解得：， 若相遇后相距200千米，则，即， 解得： 综上可知，两车相距200千米时，客车行驶的时间为小时或5小时． 22．600台；销售量达每月2000台，采用门市部的销售销售方式，取得的利润较多 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据每件利润销量总利润得出等式是解题关键． （1）利用每件利润销量总利润，进而得出等式，解方程求出未知数即可； （2）利用每月销售达2000台，分别得出利润即可． 【详解】解：（1）设每月销售台时，所得利润相同，根据题意可得： ， 解得：． 答：每月销售600台时，所得利润相同； （2）当每月销售达2000台时，直接由厂家门市部出售的利润为：（元）， 委托商店销售的利润为：（元）． 因此销售量达每月2000台，采用门市部的销售销售方式，取得的利润较多． 23．(1)C (2)图见解析， 【分析】（1）“方法二”体现的是数形结合的思想，即可得到答案； （2）方程的解，可以看成两个一次函数和的交点的横坐标，画出函数图象，由交点的横坐标求得方程的解． 【详解】（1）解：根据题意可得： “方法二”体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C； （2）解：由题意可得： 方程的解，可以看成两个一次函数和的交点的横坐标， 画出图如图所示：   ， 由图可知，该方程的解为． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的求解和一次函数的性质的综合题，掌握解一元一次方程的解法和数形结合思想是解题的关键． 24．(1)；； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，求一次函数解析式以及一元一次不等式的应用等知识． （1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整； （2）根据题意可以求得W与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）根据题意可得 ，再根据x的取值范围解不等式即可求解n的取值范围． 【详解】（1）∵从C市运往A市的救援物资为x吨 ∴从C市运往B市的救援物资为吨，从D市运往A市的救援物资为 吨，从D市运往B市的救援物资为吨 故答案为： ，， ； （2）由题意可得 其中自变量x的取值范围是 解得： ； （3）由题意可得 ∵， ∴ ∵C、D两市的总运费的最小值不小于7920元 ∴ 解得： ∵ ∴ ∵ ∴ ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$